заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

плоскости X 0Y вектор ak	a12	k ;	k , а множество всех решений
a11

системы есть множество векторов параллельных (коллинеарных) между собой. Поэтому, если выбрать один ненулевой век-

тор (например, a a12 ; 1 ), то любой другой вектор, координаты

1 a11

которого	являются	решением данной системы,	имеет	вид
ak = a1 k	( k — любое	действительное число). Если	a11 = 0,	то

a12 ≠ 0 (в противном случае система имеет нулевые коэффициенты). В этом случае y=0, x — свободная переменная и любая пара чисел (x,0), x — действительное число является решением системы. Таким образом, однородная система имеет ненулевые решения в том и только в том случае, когда ее определитель равен нулю.

Пример 5.1. Решить систему:

		x + 2 y = 0
	− 2x − 4 y = 0.
Преобразуем матрицу системы методом Гаусса
	1	2	1	2
			~		.
	− 2			0
		− 4	0

	Система равносильна одному уравнению				x + 2 y = 0 x = −2 y,
y	— любое действительное число. Решениями системы являют-
ся	пары (− 2k ; k )		или множество коллинеарных векторов
{− 2k, k}= k{− 2; 1}.
		Задания для самостоятельной работы
	1)	x + y = 0	Ответ: k{−1; 1}. 2)	2x − y = 0	Ответ: k{1; 2}.
		3x +3y = 0.		− 4x + 2 y = 0.
	3)	3x − 2 y = 0	Ответ: k{2; 3}. 4)	x +3y = 0	Ответ: k{−3; 1}.
		9x −6 y = 0.		4x +12 y = 0.
	5)	− x + 2 y = 0	Ответ: k{2; 1}.
		3x −6 y = 0.

101

§ 2. Изменение координат вектора при изменении системы координат (поворот системы вокруг центра)

y

y′										x′
										x
			j
		′						′
	j				i
0										x
							i

Рис. 5.1

Даны две прямоугольные системы координат (x 0 y) и (x′0 y′)

′

′

рис. 5.1; i , j

j

— единичные векторы на осях координат.

и i ,

′

′

в системе (x 0 y):

Находим координаты векторов i , j

i

′ = t11i +t21 j

.

(5.1)

+t22

j

′ = t12i

j

Матрица

t

t

в которой первый столбец есть коор-

11

12

,

T =

t22

t21

динаты вектора i ′, второй столбец – координаты вектора j′, называется матрицей перехода от системы координат (x 0 y) к системе (x′0 y′). Возьмем на плоскости произвольный вектор x , найдем его координаты (проекции на оси) в первой и во второй системах:

x = xi + y j = x i

+ y

j

(5.2)

′

′

′

′

. Под-

и определим зависимость между координатами x , y и x , y

′ ′

ставляя формулы (5.1) в (5.2), получаем

+ y

= x′(t11i

+t21

)+ y′(t12i

| +t22

)=

xi

j

j

j

= (t11 x′+t12 y′)i

+ (t21 x′+t22 y′)

.

j

Отсюда получаем равенства:

x = t11 x′+t12 y′

(5.3)

′

′

y = t21 x

+t22 y .

Записываем формулы (5.3) в матричном виде:

102

x		t				t	x′
				11			12
		=				t		.
y		t21					22 y′
Обозначив матрицы								x	,	x′	,
								X =		X ′ =
								y		y′
X	′	= T	−1		X ,			′
							X = TX .

(5.4)

получаем

(5.5)

Таким образом, формулы (5.3), (5.4), (5.5) устанавливают зависимость между координатами одного и того же вектора x в двух различных системах координат (x 0 y) и (x′0 y′).

Пример 5.2. Новая система координат определена ортого-

нальными единичными векторами

i

′

=

1

2

j,

j

′

=

2

1

j.

5 i +

5

5 i −

5

Найти координаты вектора x {2; −3} в новой системе координат. Решение. Составляем матрицу перехода от системы коор-

динат, определяемой векторами i , j к системе, определяемой векторами i ′, j′.

	1		2					1		2
	5		5			2		5		5	x′
T =				. По формуле (5.4) имеем			=					.
	2	−	1			−3		2	−	1	y′
	5		5					5		5

Полученное матричное уравнение решаем одним из следующих двух способов:

1) Перемножаем матрицы, стоящие в правой части, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц левой и правой частей. Получаем систему

								−4	5 = − 4
	′	+2 y			′	= 2 5	x′ =
								5		5
x											.
			′		′		<=>
				− y		= −3 5		7 5		7
2x									=
							y′ =	5		5

2) Для матрицы T находим обратную матрицу T −1 , а далее находим X ′ по первой формуле (5.5):

103

1

1

2

5

−1

1

−1 − 2

T

=

= −

= −

5;

T

= −

5

2

−1

5

5

−

2 1

;

X

x′

= T

−1

X

= −

1

−1

− 2 2

= −

1

4

,

′ =

5

− 2 1

5

y′

−3

−7

то есть

x

′

= −

4

y

′

=

7

5 ,

5 .

Пример 5.3. Найти зависимость между координатами вектора в системах координат, если вторая система получена из первоначальной поворотом плоскости вокруг центра системы на угол α .

		y
y′									x′
			j			i′
		′			α
	j
0									x
								i

Рис. 5.2

Решение. Находим координаты векторов i ′, j′ в системе координат (xOy) (рис. 5.2)

i ′ = cosαi + cos (900 −α)j = cosαi +sin α j

j′ = cos (900 +α)i + cosα j = −sinαi + cosα j .

Матрица перехода от системы (x 0 y) к (x′0 y′) имеет вид:

cosα −sinα
T =	.
sinα	cosα

Зависимость между координатами вектора x в первой и второй системах координат находится по формулам (5.5)

x		cosα −sinα x′			<=>	x = x′cosα − y′sinα
		=
y		sinα	cosα y′			y = x′sinα + y′cosα.

104

Пример 5.4. Преобразовать уравнение гиперболы x y =1 , используя формулы, полученные в предыдущем примере для случая, когда поворот плоскости осуществлен на угол α = 450.

Решение. При повороте на угол α = 450 матрица перехода от одной системы координат к другой имеет вид

	2	−	2
	2		2
T =				.
	2		2
	2		2

Формулы преобразования координат точки (x; y) в (x′; y′):

	2	(x′− y′)
x =
	2
	2
		(x′+ y′).
y =	2

Подставляя в уравнение x y =1 получим уравнение той же

гиперболы в системе координат x′0 y′:	x′2		y′2
		−		=1.
	2		2

Задания для самостоятельной работы

1. Новая система координат определена ортогональными

единичными векторами

i

′

1

3

j ,

j

′

=

3

1

j.

Найти ко-

= 10 i +

10

10 i −

10

ординаты вектора x{− 2; −1} в новой системе координат.

Ответ: x

= −

5

; y

= −

5

10

10 .

′

′

2. Новая система координат получена из первоначальной поворотом плоскости вокруг центра на угол 300. Найти матрицу переходаикоординаты вектора x{3; − 2} вновойсистеме координат.

105

														3	−	1
					0	−sin 30				0				2		2
T =																			,
	cos 30										=
Ответ:				0			cos 30			0				1		3
	sin 30
														2		2
x′ =	3	3	−1,						y′ = − 3 −					3
		2												2 .
3. Новая система			координат										определена								ортогональными
единичными векторами							i	′	=	1				1	j ,	j	′	= −		1	1	Найти
										2 i +				2						2 i + 2 j.
координаты вектора x{− 2; 3} в новой системе координат.
2			5			2
Ответ: x′ = 2 ;	y′ =			2			.

§ 3. Линейные преобразования
Формулы x2 = a11 x1 + a12 y1	(5.6)
y2 = a21 x1 + a22 y1

задают линейное преобразование, переводящее точку плоскости с координатами (x1 , y1 ) (или вектор a1 {x1 ; y1 }) в точку с координатами (x2 ; y2 ) (или вектор a2 {x2 ; y2 }). Поэтому говорят, что задается отображение плоскости в себя. Перейдем к матричной записи системы (5.6), обозначая

x				x				a		a
	1		,		2		,	11		12
X = y				Y = y	2			A = a	21	a	22
	1
получая												(5.7)
Y = AX .

Матрицу A называют матрицей линейного преобразования плоскости, которое определено формулами (5.6) или (5.7). Заметим, что любому линейному преобразованию, заданному формулами (5.6) соответствует единственная матрица A и обратно, любой матрице A соответствует единственное линейное преобразование вида (5.6) или (5.7).

Выясним, как изменяется матрица линейного преобразования, если от системы координат (x 0 y) перейти к новой системе (x′0 y′). . По формулам (5.5) получим:

106

X = TX ,

X

x′

Y

x′

Y = TY ,

(5.8)

′

=

1

,

′

=

,

′

2

′

y1′

y2′

′

′

′

′

),

′

′

(x1 ;

y1 ) — координаты точки (x1 ; y1 )

в системе (x

0 y

а (x2

; y2 ) —

координаты точки

(x2 ; y2 )

в системе

(x′0 y′). Подставим форму-

лы(5.8) в (5.7):

TY

′

=

′

Отсюда, умножая обе части равенства

ATX .

на

T −1 слева, получим

Y

′

= T

−1

′

(5.9)

ATX .

Из равенства (5.9) видим, что матрица линейного преобра-

′

зования (5.6) или (5.7) (обозначим ее A ) в новой системе коор-

′

′

принимает вид:

динат (x

0 y )

′

= T

−1

AT.

(5.10)

A

Матрицы A и

′

называются подобными.

A

Пример

5.5.

Найти

матрицу

линейного

преобразования

x

= x + y

заданного в системе координат (x 0 y) , в новой систе-

2

1

1

y2 = 2x1 − y1 ,

ме

(x′0 y′),

определяемой

единичными

векторами

i

′

=

1

2

j ; j

′

=

2

1

5 i +

5

5 i −

5 j .

Решение.

Матрица

линейного

преобразования

1

1

A =

,

2

−1

матрица перехода от системы (x 0 y)

к (x′0 y′) : T = 1

1

2

Тогда

.

5

2

−1

матрица линейного преобразования в новой системе координат по формуле (5.10) имеет вид:

A′ = T −1 AT = − 1		−1 − 2 1 1					1	1 2				= −1	−5		1 1 2				= −1	−3		−11
																							.
5		− 2 1		2			5		2			5		0		2	−1		5		−6	3
					−1					−1					−3

Задания для самостоятельной работы
1. Найти матрицу линейного преобразования x2	= −2x1	−	y1 ,
y2	= x1	+	3y1

заданного в системе координат (x 0 y), в системе (x′0 y′) , опреде-

ляемой

единичными

перпендикулярными

векторами:

i

′

=

1

+

3

j ; j

′

=

3

1

j .

10 i

10

10 i −

10

107

				5			−	1
Ответ:				2				2
	A′ =
			−		5		−		3		.
				2				2

2.

Найти матрицу линейного преобразования

x2

= x1 −3y1 ,

y2

= 2x1 − y1

заданного

в

системе

координат

(x 0 y ), в системе

координат

(x′0 y′),

определяемой перпендикулярными единичными векто-

рами:

i

′

=

2

3

j

′

3

2

j .

13 i + 13 j ;

= 13 i −

13

Ответ:

A′ = −

1

11 − 42

.

13

23 −11

3.

Найти матрицу линейного преобразования

x2 = 3x1 + 2 y1 ,

y2 = 2x1 +3y1

заданного

в

системе

координат

(x 0 y ), в системе

координат

(x′0 y′),

определяемой перпендикулярными единичными векто-

рами:

i

′

=

1

1

j

′

1

1

2 i + 2 j ;

= − 2 i +

2 j .

Ответ:

5

0

A′ =

.

1

0

§ 4. Собственные числа, собственные векторы квадратной матрицы. Условия, при которых матрица подобна диагональной

Определение 5.1. Ненулевой вектор — столбец						x		на-
						X =
						y
зывают собственным вектором матрицы	A =	α		α		, если су-
			11	12
			α21	α22
ществует действительное число λ, такое, что AX = λX ,						при этом

число λ называют собственным значением (или собственным числом) матрицы A.

Пример 5.6. Для матрицы	3		2		векторы	X1	1		,	X 2		−1
	A =						=				=
		2	3
							1					1

являются собственными векторами с собственными значениями соответственно λ1 = 5, λ2 =1, так как

108

AX			3 2 1			5		= 5	1		= 5 X		, AX			3 2	−1		−1		−1	=1 X		.
	1	=			=							1		2	=			=		=1			2
			2 3 1			5			1							2 3	1		1		1

Теорема		5.1. Число λ является собственным значением
матрицы	α		11	α	12		тогда и только тогда, когда выполняется
	A =
		α21		α22
равенство
	(α11 −λ)			α12				= 0.	(5.11)
	α21			(α22 −λ)
Действительно, по определению число λ									— собственное
значение матрицы A,							если существует такой ненулевой вектор

X= x , что

y

AX = λX <=> AX −λX = 0 <=> AX −λEX = 0,

где	1		0	единичная матрица. Отсюда следует, что λ	— соб-
	E =
		0
			1

ственное значение тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор X , являющийся решением матричного уравнения

(A −λE)X = 0.

(5.12)

Матричное уравнение (5.12) равносильно однородной системе линейных уравнений:

(α11 −λ)x + α12 y = 0	(5.13)
α21 x + (α22 −λ)y = 0.

Система (5.13) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

(α11 −λ)	α12		= 0.
α21	(α22 −λ)

Теорема доказана.

109

Определение 5.2. Уравнение (5.11) называют характеристическим уравнением матрицы A.

Из доказанной теоремы следует, что собственные числа матрицы A являются корнями характеристического уравнения (5.11). Для нахождения собственных чисел надо раскрыть определитель стоящий в левой части равенства (5.11), получим квадратное уравнение относительно λ , его корни — собственные числа A.

Для нахождения собственных векторов составляем однородную систему (5.13) для каждого из двух (или одного, если корни характеристического уравнения равны) собственных чисел. Ее решения – собственные векторы. Каждому собственному числу будет соответствовать бесконечное множество собственных векторов, но все они между собой имеют пропорциональные координаты. Матрица размера 2 ×2 может иметь не более двух собственных векторов с непропорциональными координатами. Если матрица A имеет два собственных вектора с непропорциональными координатами:

x1		x2			x			y
				,			≠			,
					x			y
X1 = y		, X 2 = y				1			1
1		2				2			2

соответствующих собственным значениям λ1 , λ2 , то матрица A

	λ	0
	1
	0
будет подобна диагональной матрице		λ2 и выполняется ра-

венство:

T	−1	λ		0			,	где	x		x			,	(5.14)
		AT =	0	λ					T = y		y
			1							1	2
					2					1		2

причем столбцы матрицы T есть собственные векторы, соответ-

ствующие собственным значениям λ1 , λ2 : AX1			= λ1 X1 ;	AX 2 = λ2 X 2 .
Среди матриц выделяются матрицы, которые называются
a	a
симметрическими: A =	12	— симметрическая, если a12 = a21.
11
a21	a22
Любая симметрическая матрица имеет два ортогональных
(перпендикулярных) собственных вектора			X10 , X 20	единичной

длины (орты). Тогда матрица T (см. 5.5) будет матрицей перехода от прямоугольной системы координат (x 0 y), определяемой векторами i , j к прямоугольной системе координат (x′0 y′), опре-

110