Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mathematics_part_1_hamov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Индивидуальная работа № 5

ПРЯМАЯ

Задание I.

1.Даны точки А(-2; 0) и В(2; -2). На отрезке ОА построен параллелограмм ОАCD, диагонали которого пересекаются точке В. Написать уравнение стороны CD.

2.Даны точки А(2; 0) и В(-2; 2). На отрезке ОА построить параллелограмм ОАCD, диагонали которого пересекаются точке В. Написать уравнение сторон параллелограмма. Точка О – начало координат.

3.Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 5х-y+10=0 и 8х+4y+9=0 и параллельной прямой х+3y=0.

4.Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х-3y+5=0 и 3х+y-7=0 и перпендикулярной к прямой y=2х.

5.Даны точки М(0; -2) и Р(2; 2). На отрезке ОМ построен параллелограмм ОМКН, диагонали которого пересекаются в точке Р. Написать уравнение стороны МК.

6.Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+y+6=0 и 3х+5y+16=0 и через точку В(1; -2).

7.Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек А(2; 2) и В(4; 0). Найти это расстояние. Написать уравнение прямой.

Задание II.

1.Написать уравнение траектории точки М(х; у), движущейся так, что расстояние ее от прямой y=2х остается вдвое меньше, чем от прямой y=2x.

2.Даны прямая и точка А(5; 2). Найти проекцию точки А на данную прямую, если ее уравнение 4х+3y-1=0.

3.Дана прямая 2х+y-6=0 и на ней две точки М и Р с ордина-

тами уМ=6 и уР=-2. Написать уравнение МD – высоты треугольника МОР.

141

4.Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается втрое дальше от прямой y=2х-4, чем от прямой y=4-2х.

5.Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается двое дальше от прямой y=4х, чем от прямой y= -х.

6.Даны точки А(-4; 0) и В(0; 6). Через середину отрезка АВ провести прямую, отсекающую на оси 0х отрезок, вдвое больший, чем на оси 0у.

7.Написать уравнение множества точек, равноудаленных от оси 0у и точки В(4; 0), и построить линию по ее уравнению.

Индивидуальная работа № 6

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Задание I.

Выяснить геометрический смысл уравнения. Сделать чертеж.

1. 4xy + y2 = 0;

x2 −4y2 +8x −24y −24 = 0; y2 −16y = 0;

x2 +4y2 −6x +8y −3 = 0; x2 + y2 +2x +2 = 0;

x2 + xy = 0; 4x2 − y2 = 0.

Задание II.

Построить область, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств:

y > x2 −4,

y − x −2 ≤ 0.

x2 + y2 ≤16,

1 < x ≤ 3.

y ≤ 4 − x2

x + y + 2 ≥ 0.

4 < x2 + y2 < 9,

x ≥1.

142

4x + 2y ≤1,y > x2 −16,

x ≥ −y.

y2 > 2 − x,x < 4,

y ≤ 0.

x ≥ −2,

y < 4 − x2 ,y > −2.

Индивидуальная работа № 7

ВЕКТОРЫ

Даны точки A, B, C, D.

Номер			Координаты точек
варианта				C
варианта	A		B	C	D
				(3; -1; 3)
1	(1; -2; -1)		(0; -5; 4)	(3; -1; 3)	(-1; 0; 3)
2	(4; 5;	1)	(1; 0; -3)	(-2; 1; 5)	(0; 1; -4)
3	(1; 2;	0)	(3; 1; 4)	(0; 2; -1)	(-1; 3; -1)
4	(4; -5; 1)		(3; -1; 0)	(1; 0; 1)	(-2; 0; 1)
5	(3; -1; 0)		(4; 1; -2)	(2; 0; 3)	(-1; 0; 1)
6	(0; 3;	1)	(2; 1; 4)	(3; 1; 0)	(3; 2; 1)
7	(2; 0; -1)		(-1; 0; 3)	(1; 1; 1)	(-1; 2; -1)
8	(3; 4;	0)	(3; 2; 1)	(0; -1; 0)	(1; 2; -2)
9	(1; 1;	1)	(-1; 0; 3)	(-2; -1; 0)	(3; -3; 4)
10	(3; -5; 4)		(-3; -4; 0)	(-7; 0; 4)	(5; -6; 1)
11	(-1; 4; -1)		(3; 0; 4)	(1; 1; 2)	(-1; 3; -1)
12	(4; -3; -3)		(1; 4; 2)	(-3; 2; 1)	(0; 4; 0)
13	(0; 0; 1)		(3; 4; -1)	(2; - 2; 3)	(1; -4; 1)
14	(2; 1; 3)		(-2; 4; -1)	(0; 0; 3)	(2; -1; 3)
15	(0; 3; 0)		(1; 1; 2)	(4; -2; 1)	(-1; 0; -4)

143

Задание I. Найти AB, AB , направляющие косинусы вектора AB.

Задание II. Найти координаты вектора 2AB −3CB.

Задание III. Вычислить площадь треугольника ABC и внутренний угол B.

Задание IV. Найти объем пирамиды ABCD и длину ее высоты, опущенной из вершины D.

Индивидуальная работа№ 8

ПЛОСКОСТЬ

Даны точки M1 , M 2 ; векторы

; плоскости (Ρ1 ), (Ρ2 ).

№

ва-

M 2

Ρ1

Ρ2

ри-

анта

(1;-1;1)

(2;3;-2)

{-4,3,-2}

{1,-1,2}

3x-2y+5z-3=0

x+3y-4z+7=0

(3;0;-2)

(5;1;-1)

{2,-3,1}

{1,0,-2}

2x-y+4z-9=0

-x+2y-3z+5=0

(-1,2,4)

(3;1;-2)

{-3,1;-1}

{2,-1,-3}

4x-2y+5z+1=0

3x+y-5z-1=0

(2;-1;3)

(4;-2;1)

{1;1;-1}

{7;1;-3}

x+2y-z+2=0

5x+y+2z-3=0

(4;1;-3)

(1;2;-1)

{-2;1;-5}

{4;-2;-1}

2x+y-7z+3=0

x-3y+5z+2=0

(5;-2;2)

(-2;1;3)

{5;2;-1}

{3;1;-2}

-2x+3y-z+4=0

-3x+2y-z+3=0

(-3;1;-2)

(-4;3;0;)

{3;-4;1}

{-1;-5;1}

5x+2y-3z+1=0

2x-3y+4z-5=0

(-2;3;0)

(0;-3;-1)

{2;1;0}

{-3;5;1}

-3x-y+4z-5=0

4y-5z+1=0

(-4;5;-1)

(-1;4;1)

{0;-2;3}

{3;-4;5}

2x-5y+z-1=0

4x+5y-3z-2=0

(0;-2;1)

(-5;-2;-1)

{3;-5;2}

{1;-3;4}

-3y+4z+2=0

-2x+y-5z-7=0

(-5;3;1)

(4;1;5)

{-1;3;-2}

{6;3;-1}

6x-2y+z-1=0

-4x-2y-z-1=0

(6;2;-1)

(-3;2;4)

{6;-1;2}

{5;-1;2}

-4x-2y+z+4=0

x+6y+5z+1=0

(2;-6;1)

(3;5;-4)

{1;-6;3}

{-2;6;1}

-5x+7y-z+3=0

6x-y+4z+5=0

(3;2;1)

(4;3;2)

{2;1;6}

{4;3;-1}

4x+3y-2z+5=0

7x+y+2z-3=0

(3;-5;2)

(2;3;-4)

{2;5;-1}

{-7;2;1}

3x-4y+2z+9=0

-x+5y-2z+10=0

144

Задание I.

Составить уравнение плоскости:

1)проходящей через точку M1 параллельно плоскости Ρ1 ;

2)проходящей через точку M 2 перпендикулярно вектору

M 1 , M 2 ;

3) проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1 , a2 ;

4)проходящей через точку M1 параллельно плоскости XOZ ;

5)проходящей через ось OZ и точку M 2 ;

6)проходящей через точки M1 , M 2 параллельно оси OZ ;

7) проходящей через точки		M1 , M 2	параллельно вектору		;
				a2
8)	проходящей через точки	M1 , M 2	перпендикулярно плоско-
сти Ρ2 ;	проходящей через точкуM1 перпендикулярно плоскостям
9)
Ρ1 , Ρ2 .

Задание II.

Вычислить расстояние точки M 2 от плоскости Ρ2 .

Индивидуальная работа № 9

Даны точки M1 , M 2 , векторы a1 , a2 ; плоскости Ρ1 , Ρ2 (см. инди-

видуальную работу № 8) и прямые

(l1 ), (l2 ):

№

вари-

анта

x +1

y −3

z +5

x = −2t − 4; y = t +1; z = 4t − 2

− 2

x − 2

y +1

z − 4

x = t +3; y = −3t + 2; z = −2t

−3

− 2

x + 4

y −3

z + 6

x = 3t + 2; y = 5t − 4; z = −t +3

−1

y + 2

z +3

x = −4t −1; y = −2t +1; z = 3t −3

− 4

− 2

145

x +3

z + 2

x = 2t +5; y = −4t + 7; z = t −6

− 4

x −5

y +1

= z −3

x = 6t − 2; y = −3t + 4; z = 4t +1

−3

x + 2

y + 6

z −1

x = −t +3; y = 4t +1; z = 5t −3

−1

x −3

y + 2

z − 4

x = −5t −3; y = t + 2; z = 3t −7

−5

x −6

y −5

z +1

x = 4t + 4; y = 3t − 2; z = −t

−1

x +5

y − 2

z + 4

x = 2t +1; y = 3t −5; z = −2t +3

− 2

x − 2

y + 4

z −1

x = 3t +5; y = −t −3; z = 5t +1

−1

x − 4

y + 2

z +3

x = −3t + 2; y = 2t +5; z = −2t + 4

−3

− 2

x + 6

y +3

z − 2

x = −4t +1; y = −5t +3; z = −3t − 2

− 4

−5

−3

x −1

y +5

z +1

x = 5t + 2; y = 3t −1; z = −4t + 2

− 4

x + 7

y − 2

z + 7

x = −6t +1; y = 2t +3; z = −5t −1

−6

−5

Задание I.

Составить уравнения прямой, проходящей: а) через точки M1 , M 2 ;

б) через точку M1	параллельно оси OY ;
в) через точку M 2	параллельно прямой l1 ;
г) через точку M1 параллельно прямой, образованной пересе-
чением плоскостей Ρ1 , Ρ2 ;
д) через точку M 2	перпендикулярно плоскости Ρ1.

146

t = 2.

Задание II.

Определить направляющие косинусы прямой l2 .

Задание III.

Найти точку пересечения прямой l1 и плоскости Ρ2 .

Задание IV.

Точка M (x, y, z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M1 в направлении вектора a2 со скоростью V = 1. Составить уравнения движения точки M и определить точку, с которой она совпадает в момент времени

Индивидуальная работа № 10

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

Координаты точек M1 , M 2 , векторов a1 , a2 , уравнения плоскостей Ρ1 , Ρ2 даны в индивидуальной работе №8, уравнения прямых l1 , l2 в индивидуальной работе №9.

Задание I.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно прямой l2 .

Задание II.

Найти проекцию точки M 2 на прямую l2 .

Задание III.

Найти проекцию точки M1 на плоскость Ρ1.

Задание IV.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 и прямую l2 .

147

Задание V.

Через прямую l1 провести плоскость перпендикулярную к плоскости Ρ1.

Задание VI.

Найти проекцию прямой l2 на плоскость Ρ2 .

Задание VII.

Провести плоскость через перпендикуляры, опущенные из точки M1 на плоскости Ρ1 , Ρ2 .

Задание VIII.

Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые l1 , l2 .

Задание IX.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 параллельной прямой l1 и вектору a1 .

Задание X.

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l2 и параллельно вектору a2 .

Задание XI.

Через точку M1 провести прямую перпендикулярную прямой

l1 .

148

Оглавление
Предисловие.................................................................................................	3
Глава I. Матрицы, определители, системы
линейных уравнений ................................................................................	4
§ 1. Матрицы. Действия над матрицами...................................................	4
§ 2. Определители второго и третьего порядков....................................	11
§ 3. Миноры. Алгебраические дополнения. Обратная матри-
ца.........................................................................................................................	15
§ 4. Системы линейных уравнений..........................................................	20
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости ..........................	33
§ 1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние
между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении....................	33
§ 2. Уравнение линии в декартовых координатах..................................	39
§ 3. Прямая в декартовых координатах...................................................	43
§ 4. Кривые второго порядка....................................................................	56
Глава III. Элементы векторной алгебры...........................................	67
§ 1. Основные понятия..............................................................................	67
§ 2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по компо-
нентам на координатные оси............................................................................	70
3. Нелинейные операции над векторами.................................................	73
Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве......................	80
§ 1. Плоскость............................................................................................	80
§ 2. Прямая линия в пространстве...........................................................	88
Глава V. Преобразование системы координат на плоско-
сти. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду .....................................................................................	100
§ 1. Однородная система линейных уравнений....................................	100
§ 2. Изменение координат вектора при изменении системы
координат (поворот системы вокруг центра) ...............................................	102
§ 3. Линейные преобразования ..............................................................	106
§ 4. Собственные числа, собственные векторы квадратной
матрицы. Условия, при которых матрица подобна диагональной.............	108
§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду........................................................................................	114
Приложение I. Лабораторные работы...................................................	123
Приложение II.Индивидуальные работы..............................................	136

149

МАТЕМАТИКА

Часть 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

Под редакцией доктора педагогических наук Г. Г. Хамова

Редактор Л. Г. Савельева

Верстка Т. В. Соболевой

Подписано в печать 21.07.2004 г. Формат 60 х 841/16. Гарнитура Таймс.

Печать офсетная. Бумага газетная. Объем: 9,5 уч.-изд. л.; 9,5 усл. печ. л. Тираж 500 экз. Заказ ____.

Издательство РГПУ им. А.И. Герцена. 191186, С.- Петербург,

наб. р. Мойки, 48

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>