заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

Каноническое уравнение параболы
y2 = 2 px (p > 0),	(2.20)

где p — расстояние от фокуса до директрисы. Ось Ox — ось симметрии параболы; точка параболы, лежащая на оси симметрии,

называется вершиной. Уравнение директрисы x = −			p	, фокус
p		2
F		; 0 . Эксцентриситет параболы ε =1.
2

Возможны другие расположения параболы на плоскости, которые задаются уравнениями:

а) y2 = −2 px ;

б) x2 = 2 py;

в) x2 = −2 py .

Эти уравнения тоже называются каноническими. Смотрите рис. 2.22.

а)

y

y

2

= −2 px

x =

p

2

p

O

x

F

−

; 0

2

б)

в)

y

y

p

y = −

x 2

= 2 py

2

p

O

x

F 0;

p

2

F 0;

−

2

O

p

x

x 2

= −2 py

y = −

2

Рис. 2.22

61

Если вершина параболы лежит в точке (x0 ; y0 ), то канонические уравнения имеют вид:

(y − y0 )2	= 2 p(x − x0 ), (x − x0 )2 = 2 p(y − y0 ),
(y − y0 )2	= −2 p(x − x0 ), (x − x0 )2 = −2 p(y − y0 ).

Пример 2.23. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A(2; 8) и симметрична относительно оси Oy . Написать уравнение.

Решение. Так как парабола симметрична относительно оси Oy и имеет вершину в начале координат, то ее уравнение имеет вид (рис. 2.22)

x2 = 2 py . Точка A(2; 8) лежит на параболе, подставим ее координаты в уравнение параболы: 22 = 2 p 8 . Отсюда получим p = 14 . Сле-

довательно, уравнение параболы x2 = 2 14 y, или x2 = 12 y.

Ответ: x2 = 12 y.

5. Преобразование уравнения второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение второй степени имеет вид:

Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

(2.21)

где A, B,C, D, E, F — действительные числа, причем A, B,C одновременно в нуль не обращаются.

В зависимости от соотношения значений коэффициентов уравнения оно может описывать ту или иную кривую второго порядка. Для выяснения какую именно, уравнение преобразуют.

Пусть в уравнении B = 0. Тогда рекомендуется выделить полные квадраты переменных.

Пример 2.24. Даны уравнения

а) x2 + y2 −8x + 2y −8 = 0; б) 4x2 + y2 + 6 y −7 = 0;

62

в) 5x2 − 4 y2 +10 y −15 = 0; г) y2 − 2x + 4 y + 2 = 0.

Выяснить, какие кривые описывают уравнения. Сделать чертеж.

Решение. а) x2 + y2 −8x + 2y −8 = 0; выделяя полные квадраты, получим

(x2 −8x)+ (y2 + 2 y)−8 = 0; (x2 −8x +16)+ (y2 + 2 y +1)−16 −1 −8 = 0, (x − 4)2 + (y +1)2 = 25.

Это уравнение окружности с центром C(4; −1) и R = 5 (см. рис. 2.23а);

б) 4x2 + y2 + 6 y −7 = 0, 4x2 + (y2 + 6 y)−7 = 0, 4x2 + (y2 + 6 y +9)−9 −7 = 0,

	x2		(y + 3)2
4x2 + (y +3)2 =16,		+		=1.
	4		16

Полученное уравнение является уравнением эллипса, причем фокусы лежат на оси Oy, а центр симметрии эллипса находится в точке C (0; −3) ( см. рис.2.23б);

в) 5x2 − 4y2 +10y −15 = 0, 5(x2 + 2x)− 4y2 −15 = 0,

	2	2	2		(x +1)2		y2
5(x2 + 2x +1)−5 − 4y2 −15 = 0, 5(x		+1) − 4y		= 20,		−		=1.
					4		5

Это уравнение гиперболы, центр симметрии которой находится в точке C(−1; 0), фокусы лежат на оси Ox (см. рис. 2.23в);

г) y2 − 2x + 4y + 2 = 0, (y2 + 4y)− 2x + 2 = 0, (y2 + 4y + 4)− 4 − 2x + 2 = 0, (y + 2)2 + 2x + 2 = 0, (y + 2)2 = 2(x +1).

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке C (−1; − 2), ось симметрии — параллельна оси Ox (см. рис. 2.23г).

63

а)

б)

y

y

-2

2

O

x

O

4

-1

C(4;−1)

x

C(0;−3)

x 2

(y +

3 )2

= 1

(x − 4 )2 + (y + 1)2 = 5 2

+

4

16

y

y

в)

г)

5

-1

1

C(−1;0)

O

x

-3

O 1

-1

x

C (− 1;−2 )

-2

− 5

(x +1)2

y 2

4

−

=1

(y + 2)2 = 2(x +1)

5

Рис. 2.23

Пусть в уравнении (2.21) B ≠ 0.

В этом случае кривая поверну-

та относительно осей. Например,

x y = a (a > 0 ). Это уравнение ги-

перболы, расположенной в I и III квадрантах (см. рис. 2.24).

y

xy = a (a > 0 )

O

x

Рис. 2.24

64

При проведении преобразований возможны случаи, когда уравнение (2.21) распадается на произведение линейных множителей:

(A1 x + B1 +C1 )(A2 x + B2 y +C2 )= 0.

Тогда это уравнение описывает совокупность двух прямых

A1 x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0.

Например, x2 − y2 = 0, то есть (x − y)(x + y)= 0. Уравнение описывает совокупность двух прямых x − y = 0, x + y = 0.

Возможны случаи, когда уравнению удовлетворяют координаты лишь одной точки, а может быть, что таких точек совсем не

существует.
Например, уравнение (x −1)2 + (y +8)2 = 0	описывает лишь одну
точку (1; −8), а уравнению (x −1)2 + (y +8)2 = −3	ни одна точка не удов-

летворяет. Последнее уравнение описывает пустое множество точек.

Задания для самостоятельной работы

1. Написать уравнение окружности радиуса R с центром в
точке C (a; b), если
а) R = 8, C (1; 6);	б) R = 4, C (−1; 2); в) R = 3, C (0; −3);
Ответ: а) (x −1)2	+ (y −6)2 = 64; б) (x +1 )2 + (y − 2)2 =16;
в) x2 + (y +3)2 = 3.

2. Доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, найти ее радиус и центр:

а) x2 + y2 +10y − 4x −35 = 0; б) x2 + y2 +8x − 4y −5 = 0. Ответ: а) R = 8, C (2; −5); б) R = 5, C (− 4; 2).

3. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего

через точку M 0 , если известно расстояние между фокусами 2c :

а) M 0 (−6; 0), c = 2; б) M 0 (6; 0), c = 2; в) M 0 (0; 6), c = 8;

65

г) M 0 (0; −6), c = 8;

x2

+

y2

=1;

x2

+

y2

=1;

x2

+

y2

=1;

x2

+

y2

=1.

Ответ: а)

36

32

б) 36

32

в) 100

36

г)

100

36

4. Записать уравнение эллипса в канонической форме:

а) 3x2 + 2y2

−12 = 0;

б)

64x2

+100y2 −6400 = 0;

в) 3x2

+ 2y2 + 6x −9 = 0;

г) 3x2 + 2y2 − 4y −10 = 0.

Сделать чертеж.

(x +1)2

Ответ: а)

x2

+

y2

=1;

б)

x

2

+

y2

=1;

в)

+

y2

=1;

4

6

100

64

4

6

1)2

x2

+

(y −

=1.

г)

4

6

5. Записать уравнение гиперболы в канонической форме. Найти полуоси. Сделать чертеж.

а) 4x2 −5y2

− 20 = 0;

б)

16y2 −10x2 −160 = 0;

в)

x2 − 2y2 + 4x − 20 = 0;

x2

y2

г) 4x2 − y2 +8y = 0.

x2

y2

Ответ: а)

−

=1,

a =

5, b = 2;

б)

−

+

=1, a = 10, b = 4;

5

4

16

10

в)

(x + 2)2

−

y2

=1, a = 2 6, b = 2 3;

24

12

x2

(y − 4)2

a = 4, b = 2.

г)

−

+

=1,

4

16

6. Напишите уравнение параболы, проходящей через начало

координат, точку (5; 3) и симметричной относительно а) оси ординат; б) оси абсцисс.

	Ответ: а)	y =	3	x2 ;	б)	x =	5	y2 .
			25				9

66

a = b.

Глава III. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Основные понятия

Отрезок называется направленным, если один из его концов считается началом отрезка, а другой — концом.

Вектором называется направленный отрезок. Изображается вектор отрезком со cтрелкой на конце (см. рис. 3.1). Вектор обо-

→

значают симвoлом AB или AB , причем первая буква всегда указывает начало вектора, а вторая буква — его конец. Вектор также обозначают и одной малой латинской буквой со стрелкой или

→

чертой над ней: a или a.

B

a

A

Рис. 3.1.

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной (или модулем) вектора. Длина вектора AB обозначается через AB , длина вектора a обозначается через a .

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором. Обозначают его символом 0 или просто 0 . Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для нулевого вектора не вводится.

Два вектора a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Два вектора a и b называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. В этом случае пишут: Все нулевые векторы считаются равными.

67

Из понятия равенства векторов вытекает, что если данный вектор AB перенести параллельно самому себе, помещая его начало в любую другую точку пространства, то получаем вектор, равный данному.

Два вектора a и b называются противоположными, если они коллинеарны, имеют равные длины, но противоположно направлены. Для вектора AB противоположным будет вектор BA .

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Рассмотрим операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на число.

Пусть даны два вектора a и b . Возьмем произвольную точку A пространства и построим вектор AB , равный a . Затем построим вектор BC , равный b . Вектор AC , соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора, называется суммой векторов a и b и обозначается a +b (см. рис. 3.2). Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

а)

б)

в)

a

B

a

a

a

b

b

b

A

C

b

+

a

b

A C

B

A

a B b

C

+

a

b

a+b

Рис. 3.2

Для сложения двух неколлинеарных векторов используют правило параллелограмма (см. рис. 3.3,а).

а)

B

б)

a

a

b

C

a

C

c

D

+

b

a

b

b

B

A

d

d

c

b

a

a

+b +

c

+

d

D

A

M

Рис. 3.3

68

Сумму нескольких векторов можно найти так: из произвольной точки A строится вектор AB, равный первому слагаемому вектору, из точки B строится вектор BC, равный второму слагаемому вектору, из точки C строится вектор CD, равный третьему слагаемому и так далее. Вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего слагаемого вектора, является суммой данных векторов (см. рис. 3.3б).

Вычитание векторов определяется как действие, обратное сложению: разностью двух векторов a и b называется вектор c , сумма которого с вектором b равна вектору a , то есть b + c = a . Обозначение: c = a −b . Вектор a −b можно построить следующим образом: из произвольной точки A пространства строят векторы AB = a и AC = b. Вектор CB равен a −b (см. рис. 3.4).

В

−

a

a

b

a

А

С

b

b

Рис. 3.4

Произведением вектора a (a ≠ 0) на действительное число k ≠ 0 называется вектор, коллинеарный вектору a , имеющий длину,

равную

k

и то же направление, что и вектор

, если k > 0, и

a

a

направление,

противоположное направлению вектора

, если

a

k < 0 . Обозначение: k

.

a

Если k = 0

или

=

a

0, то произведение k a считается равным ну-

левому вектору.

Пример 3.1. Пусть точка C — середина отрезка AB . Доказать, что DC = 12 (DA + DB), где D — произвольная точка пространства.

Решение. На рис. 3.5 изображен отрезок AB и произвольная точка D пространства. Рассмотрим векторы DA, DB, DC, DK. Очевидно что

DC = 12 DK = 12 (DA + DB),

69

D

b

C

B

N

M

a

P c

A

C

B

A

Q

D

K

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Пример 3.2. Дан четырехугольник ABCD. Точки M , N, P, Q — середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.

Пусть AB = a, BC = b, CD = c. Выразить через a, b, c и построить следующие векторы:

а) AB + BC; б) AP; в) QP; г) AD − AB; д) AB + BC +CP; е) AC − AD

(см. рис. 3.6).

Решение. а) AB + BC = AC = a +b; б) AP = a +b + 12 c;

в) QP = 12 AC = 12 (a +b); г) AD − AB = BD = b + c;

д) AB + BC +CP = AP = a +b + 12 c; е) AC − AD = −c.

§ 2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по компонентам на координатные оси

Пусть в пространстве заданы ось OL и вектор AB. Определение 3.1. Компонентой (или составляющей) вектора

AB на ось OL называется вектор A1 B1 , где A1 , B1 соответственно проекции точек A и B на ось OL (см. рис. 3.7).

B

	A
O	A1	B1	L

Рис. 3.7

70