заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

Формулы преобразования:

				=						1			(3x′− 2 y′)
	x									13
										1			(2x′ + 3y′).
					=
	y									13
Формулы параллельного переноса системы (x′0 y′):
										5
X = x′−										13
										1							5			1
Y = y′				−										,					;
															0′					.
									13								13			13
																				′
Каноническое уравнение в системе (XO Y ):
	X	2	−			Y 2					=1			(гипербола).
4							9
в) Собственные числа λ1 = 0															λ2 = 2,				собственные векторы:
	1				;					1							1	;		1
e1′										2					e2′ −
	2											,					2			2 .
Формулы преобразования :
								=		1				(x′ − y′)
			x									2
										1				(x′+ y′).
								=
			y									2
Формулы параллельного переноса системы:
															= x′−		3		2
												X						2
																		1
		(x′0 y′)													′
												Y			= y	−		2 .
																				′
Каноническое уравнение в системе (XO Y )
	Y 2 =							8				X		(парабола).
										2

121

г) Собственные числа λ1 = 0 λ2 =5, собственные векторы:

		1	;	2			2	;	1
	e1′	5			e2′ −		5
				5	,				5 .
Формулы преобразования:
			=	1	(x′ − 2 y′)
	x			5
				1	(2x′ +		y′).
			=
	y			5
									′ ′	):
Каноническое уравнение в системе (x Oy
y′2 − 4 = 0 <=>	y′ = 2
	y′ = −2 (две параллельные прямые).

д) Собственные числа λ1 =5 λ2 = −5, собственные векторы:

	1	;	2			2	;	1
e1′	5			,	e2′ −	5
			5					5 .
Формулы преобразования:
			1		(x′ − 2 y′)
	x =			5
				1	(2x′ +	y′).
	y =			5

Каноническое уравнение линии в системе координат (x′0 y′):

x′2 − y′2 = 0 <=>	x′− y′ = 0
		(две пересекающиеся прямые).
	x′+ y′ = 0

122

Приложение I

Лабораторная работа № 1

МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.

Даны матрицы:

1 2

5

−1

Найти:

а) 2A −3B;

A =

,

B =

.

−3 4

− 2

3

б) 5A − 2B; в) − 2A + B; г) −3A + 2B; д) 3A − 4B.

1

0

− 2 4 5

−1 2 1

2 −1

2. Даны матрицы: A =

3

4

3 4

0

,

B =

, C

=

,

D =

.

0 5

2 5

1 0 −3

− 2 1

−3

Вычислить а) AB; б) BC; в) CA; г) DB; д) AD.

3. Найти значение матричного многочлена а) A2 −3A + 2E;

б) 2A2 − A −3E; в) 3A2 + A − 4E; г) − A2 +5A − 2E; д) 4A2 − 2A + E,

если

−1 3

A =

, где E – единичная матрица второго порядка.

4 8

4. Вычислить определитель второго порядка:

а)

11 2

б)

4 10

в)

− 2 1

г)

3 −1

д)

7 3

.

−3 4

− 2 0

3 −1

5 4

−5 8

5. Вычислить определитель третьего порядка:

а)

5

3 4

б)

6 −1 0

в)

10 2 −1

г)

−1 3 0

д)

0 −3 4

7 −1 0

− 2 0 −1

3 0 3

5 4 1

1 −1 1

2 0 − 2

1 − 2 3

1 − 2 4

1 2 −8

2 3 −5

6. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений:

а) 2x − y = 0,

б) x −7 y = −8,

в) 11x + y − 21 = 0,

г) 3x − 4 y +5 = 0,

5x + 2 y =1.

2x + y = −1.

− x +3y − 2 = 0.

2x +5y −12 = 0.

д) 7x − 2 y = −23,

x +5y = 2.

7. Найти матрицу, обратную данной а) A =

2

−1

1 −7

; б) B =

;

5

2

2 1

в)

11 1

г)

3 4

7 − 2

C =

;

D =

;

д) N =

.

−1 3

2 5

1 5

123

8. Решить систему уравнений методом обратной матрицы

а) 2x − y = 0,	б) x −7 y = −8,	в)	11x + y − 21 = 0,	г) 3x − 4 y +5 = 0,
5x + 2 y =1.	2x + y = −1.		− x +3y − 2 = 0.	2x +5y −12 = 0.

д) 7x − 2 y = −23,

x +5y = 2.

9. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений

4 y − 2z = −2, а) 3x +5y − z = 2,

2x +5y − 4z = −2.

x − 4 y +5z = 2, б) 2x −3z = −6,

4x −3y + z = −4.

2x +3y + z = 7, в) x − z = −4,

− x − 2 y + z = 0.

− x − y = 2, г) x + 2 y + z = −1,

2x +3y = −7.

x +3z = 9, д) 2x − y − z = 3,

x +3y + 4z =14.

10. Найти матрицу, обратную данной

	0 4		− 2			1			− 4 5					2	3 1
а)		3 5	−1				2		0 −3					1		;
	A =			; б)		B =				; в) C =					0 −1
		2 5	− 4				4		−3 1
														−1 − 2 1
				−1 −1 0						1 0			3
		г) D =			1	2 1					2	−1
								;	д) N =				−1 .
					2	3 0					1	3	4

11.Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы

иметодом Гаусса

4 y − 2z = −2, а) 3x +5y − z = 2,

2x +5y − 4z = −2.

x − 4 y +5z = 2, б) 2x −3z = −6,

4x −3y + z = −4.

2x +3y + z = 7, в) x − z = −4,

− x − 2 y + z = 0.

− x − y = 2, г) x + 2 y + z = −1,

2x +3y = −7.

x +3z = 9, д) 2x − y − z = 3,

x +3y + 4z =14.

12.	Найти множество значений λ , при которых система
x + λy + z = 0,
	+5y −3z = 0, имеет единственное решение.	Найти решение
2x
	− 2 y + z = 0.
4x
системы при условии а) λ =1; б) λ = 0; в) λ = −2; г)		λ = 3; д) λ = −1.

124

Лабораторная работа № 2

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ

1. Выбрав прямоугольную систему координат, постройте точки:

A(− 4; 2), B (2,5; −6,5), C (0; 3), Д(−5; 0), E (−5; −5).

2.Начертите ось l , проходящую через точку E (−5; −5) и имеющую то же направление, что и ось абсцисс. Каковы координаты точки O1 , в которой ось l пересекает ось ординат?

3.Дана точка A(−3; 7). Написать координаты точки A1 , симметричной точке A относительно оси абсцисс, точки A2 , симметричной точке A относительно оси ординат, точки A3 , симметрич-

ной точке A относительно начала координат.

4.Доказать, что треугольник, вершинами которого служат точки A(3; 2), B (6; 5), C (1; 10), прямоугольный.

5.Найти периметр треугольника ABC по данным задачи 4.

6. Найти длины медиан треугольника с вершинами A(2; 1),

B (− 2;,3), C (0; −1).

7.Проведен отрезок от точки (1; −1) до точки (− 4; 5). До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?

8.В точке A(2; 5) сосредоточена масса 2 кг, в точке B (12; 0) — масса 3кг. Найти точку с — центр масс этой системы.

9.Отрезок между точками (x; 5) и (− 2; y) делится в точке (1; 1) пополам. Найти эти точки.

125

Лабораторная работа № 3

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБРАЗ УРАВНЕНИЯ

Изобразить множество точек на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат по соотношениям, приведенным

ниже:

а) x =1;

б) x ≥ 3 ;

в) x = −2 ;

г) y = 2;

д) y ≥ −3 ;

е) x ≥ a (a > 0);

ж) y ≤ в(в > 0);

з) x ≥ 0 ;

и) x > 0 ;

к) y ≥ 0;

л) y > 0 ;

м) xy = 0 ;

н) x = y ;

о)

x

=

y

;

п) x + y = 5 ;

р) x + y > 5 ;

с) x + y ≥ 5 ; т) x + y < 5 ;

у) x2 + y2 = 9 ;

ф) x2 + y2 < 9 ;

х) x ≥1,

ц)

x ≥1,

ч) (x −1)2 + (y + 2)2 = 9

x2 + y2 ≤ 9 ;

x2 + y 2 ≤ 9;

x2

+ y2

≥1 ,

щ) x2

+ y 2 = 0 ,

ш)

x < y

,

(x −3)2 + y 2 ≥16 .

x < 0

;

2. Описать при помощи уравнений и неравенств изображенные ниже множества точек:

126

Лабораторная работа № 4

ПРЯМАЯ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

1. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок, величина которого равна 5, и наклоненной к оси Ox под углом:

а) 450 ; б) 600 ; в)1350 ; г) 1200 .

2. Записать уравнения прямых с угловым коэффициентом

а) x − y −1 = 0 ; б) 4x − 2 y +3 = 0 ;

в) 3x + 2 y −5 = 0 ; г) 2x +5y = 0 ; д) 3y −7 = 0 .

3.Написать уравнение прямой, отсекающей на осях Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны 3 и -4 .

4.Написать уравнения прямых в отрезках:

а) 3x + 2 y −6 = 0 ; б) y = x −1 ; в) 2x −3y + 7 = 0 ; г) y = 6x −3 .

5.	Построить прямые, определяемые уравнениями:
3x −5y +15 = 0 , 5x +3y = 0 , 3y −7 = 0 .
6.	Исследовать, как расположены относительно осей коорди-
нат следующие прямые:
а) x − 2 y = 0 ; б) x −1 = 0; в) y +1 = 0;
г) x − y = 0; д) x + y = 0; е) 5x = 0; ж) 3y = 0;
з)	3x + 2 y −6 = 0. Построить эти прямые.

7.Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1 (0; 3) и наклоненной к оси абсцисс под углом 1350 .

8.Найти угол между прямыми

а) б)

	y = 3x −1	и y = −5x + 2;
	y = −2x +3 и y =		1	x −1;
			2

в) 2x −3y +1 = 0 и x + y +3 = 0;

г) y + 4 = 0	и y + 2x +3 = 0;
д) x −3 = 0	и y +8 = 0.

127

Лабораторная работа № 5

ПРЯМАЯ. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

1.	Даны две точки A		и B . Составить уравнение прямой AB ,
если		и B(6; 4) ; б)		и	B(3; −1) ;
а)	A(−4; 2)		A(0; −1)
в)	A(5 ;4)	и B(5;−8) ; г)	A(8; −7)	и	B(−2; −7) .
2.	Даны	две прямые 5x +3y +1 = 0			и α x +5y + 7 = 0 . Найти такое

значение параметра α , при котором данные прямые перпендикулярны.

3.Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2; -3) параллельно прямой, соединяющей точки (1; 2) и (-1; -5).

4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки (4; 3) и (-2; 1).

5.	Найти расстояние точки	A от двух данных прямых
5x + y −3 = 0 и 3x − 4 y +1 = 0 , если
а)	A(−2;3) ; б) A(2;−3) ; в) A(0;0); г)	A(1; 7) .
6.	Найти расстояние между данными прямыми:
а) 2x + y +5 = 0 и 4x + 2 y +1 = 0 .
б) x + 4 y −3 = 0 и 3x +12 y + 4 = 0 .
7.	Найти точку пересечения двух прямых:

а) x + 2 y −7 = 0 и 2x + y −5 = 0 ;

б) 3x − 2 y = 0 и 3x − 2 y +5 = 0 ;

в) 12x +3y −7 = 0 и 24x + 6 y −14 = 0 .

8. Даны вершины четырехугольника: ABCD: A(2; 2), B(5; 1), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагоналей.

128

Лабораторная работа № 6

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

I. Окружность.

1. Написать уравнение окружности, зная, что:

а) центр окружности лежит в точке (-2;-3) и радиус ее равен 3; б) центр окружности лежит в точке (2;-3) и окружность про-

ходит через точку (5; 1)

в) концы одного из диаметров имеют координаты (3; 9) и (7; 3).

2. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением: а) x2 + y 2 − 4x + 2 y +1 = 0 ;

б) 2x2 + 2 y 2 +5x −3y − 2 = 0 ; в) x2 + y 2 −6x −7 = 0 ; г) x2 + y 2 +3y = 0 .

3. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения

Ax2 + Bxy +Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,

чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке

(3; 2)?

4.Найти уравнение окружности, касающейся оси Oy в начале координат и пересекающей ось Ox в точке (6; 0).

5.Найти уравнение окружности, касающейся оси Ox в начале координат и пересекающей ось Oy в точке (0;-8).

6.Найти уравнение окружности, касающейся оси Ox в точке (-5; 0) и имеющей радиус, равный 3 единицам длины.

II. Эллипс.

1.Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: а) 16x2 + 25y 2 = 400 ; б)9x2 + y2 = 36 .

2.Эллипс касается оси абсцисс в точке (8; 0) и оси ординат в точке (0;-5). Написать уравнение эллипса, если известно, что его оси параллельны осям координат.

129

3. Написать канонические уравнения эллипсов и построить эллипсы:

а)5x2 + 6 y2 +10x = 25 ); б) 5x2 +8y 2 −16 y = 32 .

III. Гипербола.

1. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет

гиперболы,	заданной	уравнением:	а)	25x2 −144 y 2 = 3600 ;
б)16x2 −9 y 2 =144 .

2.Дана гипербола x92 − 25y 2 =1 . Написать уравнения асимптот.

3.Написать канонические уравнения гипербол и построить

гиперболы: а) 5x2 −6 y 2 +10x = 25 ; б) 5x2 −8y 2 +16 y − 48 = 0

IV. Парабола.

1. Составить уравнение параболы, зная, что

а) осью симметрии параболы служит ось Ox , вершина лежит

вначале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины;

б) парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (2;-4), и вершина ее лежит в начале координат;

в) парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (-2;4), и вершина ее лежит в начале координат;

г) парабола симметрична относительно оси Oy , фокус лежит

вточке (0; 3), и вершина совпадает с началом координат;

д) парабола симметрична относительно оси Oy , проходит через точку (4; 2), и вершина ее лежит в начале координат;

е) парабола симметрична относительно оси Oy , проходит через точку (-4;-2), и вершина совпадает с началом координат.

2. Привести уравнения параболы к каноническому виду и построить эти параболы а) 6x2 −12x − y +9 = 0 ; б) 6 y 2 − x −12 y +9 = 0 ; в)

y = 3x2 + 6x + 4 ; г) y = −x2 + 2x +5 .

130