заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

R = 5.

Рис. 2.5

2. Составление уравнения линии по ее геометрическим свойствам

Пусть известно геометрическое свойство, присущее всем точкам линии и только им, то есть свойство, отличающее точки линии от всех других точек плоскости. Пусть точка M (x; y) — «текущая» точка, описывающая все точки линии. Для получения уравнения линии достаточно выразить аналитически известное геометрическое свойство линии для точки M (x; y).

Пример 2.6. Составить уравнение окружности с центром в точке C(a; b) и радиусом

Решение. Отличительным свойством окружности является равноудаленность ее точек от центра. Обозначим «текущую» точку M (x; y). Тогда расстояние от M до C равно R : d = R. Используя формулу (2.1) для вычисления расстояния между точками плоскости получим

d = (x − a)2 + (y −b)2 . Так как d = R , то уравнение окружности имеет вид

(x − a)2 + (y −b)2 = R2 .

Пример 2.7. Составить уравнение траектории точки M (x; y), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке A(−1; 1), чем к точке B(− 4; − 4).

41

Решение. Запишем расстояние точки M от точек A иB :

d A M = (x +1)2 + (y −1)2 и dB M = (x + 4)2 + (y + 4)2 .

Так как 2d A M = dB M , то 2	(x +1)2 + (y −1)2	=	(x + 4)2	+ (y + 4)2 .
Преобразуя уравнение,	получим	x2	+ y2 = 8.	Это уравнение

окружности с центром в точке O(0; 0) и радиусом R = 2 2. Ответ: x2 + y2 = 8.

Задания для самостоятельной работы

1.Написать уравнения биссектрис координатных углов. Ответ: y = x, y = −x.

2.Построить области на плоскости, координаты точек которых удовлетворяют следующим соотношениям:

а) x=5; б) x > 5; в) y ≤ x; г) x2 + y2 =1; д) x2 + y2 <1.

Ответ: а) прямая, перпендикулярная оси Ox и проходящая через точку (5; 0);

б) полуплоскость, расположенная справа от прямой x=5, причем точки прямой в множество не входят;

в) полуплоскость, расположенная ниже биссектрисы первого и третьего координатных углов, и точки биссектрисы;

г) окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1;

д) круг, ограниченный окружностью x2 + y2 =1 без точек окружности.

3. Даны две точки A(5; 2), B(−3; − 4). Составить уравнение окружности, для которой отрезок AB является диаметром.

Ответ: (x −1)2 + (y +1)2 = 25.

4. Составить уравнение линии, точки которой равноудалены от точки F(0; 4) и от оси Ox . Построить линию по ее уравнению.

Ответ: y = x2 + 2.

8

42

5.Составить уравнение траектории точки M (x; y), которая в своем движении остается вдвое дальше от точки A(4; − 4), чем от точки B(1; −1).

Ответ: x2 + y2 = 8.

6.Найти точки пересечения следующих прямых с координатными осями а) 2x −3y + 6 = 0; б) x = 3; в) y = −8.

Ответ: а) (−3; 0), (0; 2);

б) (3; 0), с осью Oy не пересекается; в) (0; −8), с осью Ox не пересекается.

§3. Прямая в декартовых координатах

1.Общее уравнение прямой

Пусть на плоскости введена декартова система Oxy . Каждая прямая описывается (определяется) уравнением первой степени относительно x и y

Ax + By +C = 0,		(2.4)
где A, B, C — действительные числа,		такие,	что	A	и	B
одновременно не обращаются	в нуль,	то есть	A2	+ B2	> 0,	и,

обратно, каждое уравнение (2.4) определяет некоторую прямую. Расположение прямой на плоскости в случае равенства нулю

некоторых из коэффициентов A, B, C :

Значение	Уравнение							Расположение прямой
коэффициентов	прямой							на плоскости
C = 0, B = 0,	Ax = 0,							ось Oy
A ≠ 0	то есть x = 0
C = 0, A = 0,	By = 0,							ось Ox
B ≠ 0	то есть y = 0
A — любое,		A						прямая проходит через
C = 0, B ≠ 0,	y = −				x			начало координат
		B
C — любое,	y = −			C				прямая параллельна оси Ox
A = 0, B ≠ 0,				B				(и перпендикулярна оси Oy )
C — любое,	x = −			C				прямая параллельна оси Oy
B = 0, A ≠ 0,			A					(и перпендикулярна оси Ox )

43

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в уравнении (2.4) B ≠ 0 , то его можно преобразовать к виду

				y = kx +b,		(2.5)
где k = −	A	,	b = −	C	. Прямая расположена на плоскости под углом α
	B
				B
к положительному направлению оси						Ox. Угол α отсчитывается

против часовой стрелки. Число b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy (см. рис. 2.6–2.9). Говорят, что b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy, то есть длина отрезка от точки пересечения до начала координат, взятая со знаком «плюс», если отрезок лежит на положительной полуоси Oy , и со знаком «минус», если отрезок лежит на отрицательной полуоси Oy .

Параметр k равен тангенсу угла α , k=tgα его называют угловым коэффициентом прямой. Докажем это для случая, изображенного на рис. 2.6. Возьмем на прямой произвольную точку M (x, y). Проведем прямые MK, NK , параллельные осям

	координат. Из прямоугольного треугольника MKN имеем			MK	=tgα,
				NK
		y −b
	NK = x, MK = y −b . Отсюда tgα=		или y=tgα.x+b, то есть k=tgα.
		x

Рис. 2.6

Рис. 2.7

44

Рис. 2.8 Рис. 2.9

Замечания.

1. Прямая, перпендикулярная оси Ox , не может быть описана

уравнением	с угловым коэффициентом.
2. Если	b = 0 , то уравнение (2.5)	примет вид	y = kx ,	то есть
прямая проходит через начало координат.
3. Если k = 0, то уравнение (2.5)		примет вид	y = b,	то есть
прямая параллельна оси Ox.

3. Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой, записанное в виде

	x	+	y	=1,	(2.6)
	a		b

называют уравнением прямой в отрезках. Число a в уравнении (2.6.) – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox , а b ордината точки пересечения прямой с осью Oy , таким образом, определяются отрезки, отсекаемые прямой на осях, и их величины (см. рис. 2.10).

45

y

y

2x −3y + 6 = 0

x

+

y

=1

M 2

b

a

b

2

a

О

x

M1

-3

O

x

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Пример

2.8.

Определить,

какие

из

точек

M1 (−3; −5),

M 2 (2; 1), M 3 (0; −3) лежат на прямой 3x − y + 4 = 0 и какие не

лежат на ней.

Решение. Следует подставить координаты точек в уравнение

прямой. Для точки

M1

3(−3) −(−5) + 4 = 0,

для точки

M 2 3 2 −1+ 4 ≠ 0,

для точки M 3

3 0 −(−3) + 4 ≠ 0.

Отсюда следует, что точка M1

лежит

на прямой, а точки M 2 ,

M 3 не лежат на прямой.

Пример 2.9. Построить прямую 2x −3y + 6 = 0.

Решение. 1-й способ. Для построения прямой достаточно найти и построить две точки, лежащие на прямой, а затем через них провести прямую. В качестве таких точек можно взять, например, точки ее пересечения с осями координат. Пусть точка M1 есть точка пересечения с осью Ox , ее координаты должны удовлетворять системе уравнений

y = 0,

2x −3y + 6 = 0.

Решая ее, мы получим M1 (−3; 0). Аналогично, получим точку M 2 — точку пересечения прямой с осью Oy :

x = 0,

2x −3y + 6 = 0.

Тогда M 2 (0; 2). Построим точки M1 и M 2 . Далее через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 2.11).

46

2-й способ. Преобразуем общее уравнение данной прямой к виду уравнения в отрезках, для чего разрешим его относительно 1. Получим

−x3 + 2y =1.

Следовательно, прямая на оси Ox отсекает отрезок величиной в (−3) масштабных единицы (a = −3), а на оси Oy — в 2 (b = 2). Осталось отметить их на осях и провести прямую через концы отрезков.

Пример 2.10. Общее уравнение прямой 2x −3y + 6 = 0 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение. Для получения уравнения с угловым

коэффициентом разрешим уравнение							2x −3y + 6 = 0 относительно
y : −3y = −2x −6, и
y =	2	x + 2. Здесь k =	2	, b = 2. Итак,	y =	2	x + 2.
			3			3
3

Пример 2.11. Построить прямую, составляющую с осью Ox угол 300 и проходящую через точку A(0; 2).

Решение. По условию α = 300 , следовательно k=tg30°= 33 ; b = 2 ,

так как точка A лежит на оси Oy . На рис. 2.12 построена искомая прямая.

y

y = 33 x + 2

2

A

) 300

O

x

Рис. 2.12

47

4. Взаимное расположение прямых

Если уравнения двух прямых даны в виде с угловыми коэф-

фициентами	y = k1 x +b1 и y = k2 x +b2 ,									то условием	параллельности
двух прямых является равенство их угловых коэффициентов
	k1 = k2 .										(2.7)
Условием перпендикулярности двух прямых будет выполне-
ние равенства
									1
								k2 = −
	k1 k2 = −1 или									.	(2.8)
									k1
Угол ϕ между прямыми вычисляется по формуле
	tgϕ =			k2 − k1							(2.9)
						.
				k1k2 +1
Угол ϕ между прямыми										y
равен разности углов ϕ2 и ϕ1								,			)ϕ
то есть ϕ =ϕ2	−ϕ1 и tgϕ=tg(ϕ2−ϕ1)
По формуле тангенса разности
двух углов имеем										)ϕ1	)ϕ2
tg ϕ = tg(ϕ2	−ϕ1 )=	tgϕ2 −tgϕ1					.			O	x
		tgϕ1tgϕ2 +1
										Рис. 2.13

Отсюда и следует эта формула (2.9).

Если уравнения двух прямых даны в общем виде

A1 x + B1 y +C1 = 0,	A2 x + B2 y +C2 = 0,							то угол ϕ между прямыми вы-
числяется по формуле
tgϕ =		A1B2 − A2 B1					.	(2.10)
		A A + B B
		1	2	1	2

Условие параллельности прямых записывается в виде:

A1	=	B1		.	(2.11)
A
		B	2
2

Условие перпендикулярности прямых:

A1 A2 + B1 B2 = 0.

(2.12)

Для нахождения точки пересечения двух непараллельных прямых нужно решить совместно их уравнения.

48

A1 x + B1 y +C1 = 0,

A2 x + B2 y +C2 = 0.

По формулам Крамера (см. теорему 1.3) получаем:

−C1

B1

A1

−C

x =

−C2

B2

,

y =

A2

−C2

.

(2.13)

A

B

A

B

1

1

1

1

A2

B2

A2

B2

Пример 2.12. Среди прямых

3x − 2 y + 7 = 0, 6x − 4 y −9 = 0, 2x +3y −6 = 0

указать параллельные и перпендикулярные. Решение. Рассмотрим первые два уравнения

3x − 2 y + 7 = 0,

6x − 4 y −9 = 0. Имеем A1 = 3, B1	= −2,			A2			= 6, B2 = −4.		Для коэффициентов
справедливо соотношение	A1	=		B1		,	то есть	3	=	− 2	. Следовательно,
	A							6		− 4
				B	2
	2

эти прямые параллельны.

Сравнивая коэффициенты первого и третьего уравнений, по-

лучаем отсутствие параллельности прямых, так как

A1

≠

B1

, то

A

B

3

− 2

3

3

есть

≠

,

здесь

2

3

= 3. Так как A1 A3 + B1 B3 = 0 (3 2 + (− 2) 3 = 0),

то

третья

A3

= 2,

B3

прямая перпендикулярна первой, а, следовательно, и второй.

Пример 2.13. Среди прямых y = 2x + 6, y = −

1

x +3,

y = 2x указать

2

параллельные и перпендикулярные.

1

Решение. По условию имеем k1 = 2, k2

= −

,

k3 = 2.

Так как

2

k1 = k3 ,

следовательно, первая и третья прямые параллельны. Так

как k2

= −

1

, то вторая прямая перпендикулярна первой,

а, следо-

k1

вательно, и третьей прямой.

Пример 2.14. Определить угол между прямыми:

а)

y = 2x −3, y =

1

x +1: б) 5x − y + 7 = 0, 2x −3y +1 = 0.

2

49

Решение. а) Уравнения прямых даны с угловыми коэффициентами: k1 = 2, k2 = 12 . Используя формулу (2.9), получим

							1										3
tgϕ =		k2 −k1					2 −					2				=	2	=	3	.
					=
		k1k2 +1															2
							1		2 +					1				4
							2
Отсюда ϕ=arctg									3
									4
б) Уравнения прямых даны в общем виде. Имеем из условия
A1 = 5, B1 = −1,			A2		= 2,			B2					= −3.					В этом							случае используем формулу
(2.10)													5 (−2)−2 (−1)
tgϕ =		A1B2 − A2 B1							=													=		8	.
		A A + B B											5 2 +(−1) (−3)										13
	1		2		1	2
Отсюда ϕ=arctg										8			.
									13

Пример 2.15. Найти точку пересечения прямых

2x − y +3 = 0, x + y − 4 = 0.

Решение. Решим совместно уравнения прямых, используя формулы Крамера.

2x − y +3

= 0,

∆ =

2 −1

= 2

−(−1)= 3,

∆x =

−3 −1

= −3

+ 4

=1,

x + y − 4

= 0.

1 1

4 1

∆y = 12 −34 = 8 +3 =11.

Отсюда

Ответ:

x = ∆∆x = 13 , y = ∆∆y = 113 = 3 23 .

M		1		2
			; 3		.
		3		3

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный угловой коэффициент k

Если прямая проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ) и угловой коэффициент ее равен k , то она описывается уравнением

y − y0 = k(x − x0 ).

(2.14)

50