заочникам / линейная алгебра / mathematics_part_1_hamov

Определение 3.2. Проекцией (или координатой) вектора AB на ось OL называется число, равное:

а) длине компоненты A1 B1 на ось OL , если направление компоненты совпадает с направлением оси OL ;

б) длине компоненты A1 B1 , взятой со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси OL .

Пусть векторы i, j, k — единичные векторы координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно, то есть i , j , k =1 и направление

каждого из них совпадает с положительным направлением соответствующей оси. Обозначим через ax , ay , az координаты a (про-

екции вектора a на оси Ox, Oy, Oz соответственно). Тогда

	= ax i + ay		+ az		;	(3.1)
a		j		k
a = ax2 + ay2 + az2 .						(3.2)

Направление вектора a определяется углами α , β , γ , которые он образует с осями Ox, Oy, Oz , соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора a . Они определяются по формулам

cosα =

a

x

, cos β =

ay

, cosγ =

a

z

.

(3.3)

a

a

a

Если ax , ay , az — координаты вектора

(то есть проекции на

a

координатные оси Ox, Oy, Oz ), то пишут: a{ax ; ay ; az }.

Отметим некоторые свойства координат векторов.

1. Каждая координата суммы двух и большего числа векто-

ров равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов, то есть если

a{ax ; ay ; az }, b{bx ; by ; bz }, то a +b имеет координаты

{ax +bx ; ay +by ; az +bz }.

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности

соответствующих					координат этих	векторов, то				есть, если
		{ax , ay , az },		{bx , by , bz },	то вектор		−		имеет	координаты
	a		b			a		b
{ax −bx ; ay −by ; az −bz }.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это чис-

71

ло, то есть, если a{ax ; ay ; az }, то вектор k a имеет координаты

{kax ; kay ; kaz }.

4.Вычисление координат вектора по координатам его начала

иконца: если начало вектора в точке M1 (x1 ; y1 ; z1 ), а конец в точке

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ), то вектор M1M 2 имеет координаты

{x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1}, (3.4)

то есть, чтобы найти координаты некоторого вектора, следует из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала.

Пример 3.3. Даны две точки A(3; 1; −1),

B(5; 2; −3). Найти коорди-

наты вектора

, его длину

AB

и направляющие косинусы.

AB

Решение.

{5 −3; 2 −1; −3 −(−1)}, то

Используя

формулу (3.4),

получаем

AB

есть

{2; 1; − 2}.

По

формуле

(3.2)

получаем

AB

AB =

22

+12 + (−2)2 = 9 = 3.

По

формуле

(3.3)

имеем:

cosα =

2

,

cos β =

1

,

cosγ = −

2

.

3

3

3

2

1

2

Ответ:

{2; 1; − 2},

= 3, cosα =

, cos β =

, cosγ = −

.

AB

AB

3

3

3

Пример 3.4. Даны два вектора

= 3

+5

− 2

и

{− 4; 5; 1}.

Найти

a

i

j

k

b

длину и направляющие косинусы вектора c = a −3b.

Решение. По условию и в силу формулы (3.1) имеем: a{3; 5; − 2}

и

{− 4; 5; 1}.

Тогда по свойствам проекций координаты вектора

b

c

равны:

= 3 −3(− 4)=15,

cx = ax −3bx

cy = ay

−3by = 5 −3 5 = −10,

cz = az −3bz = −2 −3 1 = 5.

Следовательно, по формулам (3.2) и (3.3)

=

152 + (−10)2

+ (−5)2

= 5

9 + 4 +1 = 5

14;

c

cosα =

15

=

3 ;

cos β =

−10

= −

2

;

cosγ = −5

= − 1 .

5

14

14

5

14

14

5

14

14

Ответ:

c

= 5

14;

cosα =

3 ;

cos β = −

2 ; cosγ = −

1 .

14

14

14

72

Пример 3.5. Даны вершины треугольника A(2; 1; −3), B(5, 0; − 4), C(7; 4; − 2). Найти длину медианы AM .

Решение. AM = AB + 12 BC. Используя формулу (3.4), получаем:

B

M				{3; −1; −1},			{2; 4; 2},
			AB		BC
A	C							{4; 1; 0}.
						AM
Рис. 3.8	По формуле (3.2) вычисляем
	AM =	42 +12 + 02 = 17.
	Ответ:	17 .

Задания для самостоятельной работы

1. Дана призма ABCA1B1C1. Найти сумму векторов:

а) BA + AA1 + A1C; б) CC1 +C1 A + AA1 ; в) AA1 + A1 B1 + B1 B + BC.

Ответ: а) BC; б) CA1 ; в) AC.

2. Найдите периметр треугольника, образованного векторами

		,		,		, если A(0; 1; −3),			B(2; 5; −7), C(− 2; 1; −3).
	AB		BC		CA
			Ответ: 4(2 + 3).
			3. Даны два вектора								{5; 2; −1},						{3; 0; 1}.				Найти длину и направ-
										a						b
ляющие косинусы вектора: а) 2													−		; б)			2		−			; в)		−		.
												b		a					a			b		b		a
			Ответ: а) 14,				1	, −	2 ,		3 ; б)				74,			7			, 4 , −					3		;
							14		14		14							74			74					74
						в) 2 3, −	1	, −	1 ,		1 .
							3		3		3

§3. Нелинейные операции над векторами

1.Скалярное произведение двух векторов

Определение 3.3. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними. (За угол между векторами принимают

73

угол между содержащими их прямыми, величина которого принадлежит промежутку [0, π]).

Скалярное произведение векторов a и b обозначается через a b или a b. Таким образом, по определению

=

cos(

;

).

(3.5)

a

b

a

b

a

b

Приведем некоторые свойства скалярного произведения:

1. a b = b a; 2. (a +b)c = a c +b c; 3. (λ a)b = λ(a b), λ R;

4. Если a ≠0, b ≠ 0, то a b <=>a b = 0,

то есть, для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. Отметим, что скалярное произведение a a обозначают a 2 и называют скалярным квадратом вектора a . Очевидно, a 2 = a 2 .

Теорема 3.1. Если векторы a и b заданы своими проекциями

на координатные оси, то есть

{ax ; ay ; az },

{bx ; by ; bz }, тогда

a

b

= axbx + ay by + az bz .

(3.6)

a

b

Замечание. Обозначим проекцию вектора

на ось,

сона-

b

правленную

, через Пр

. Так как Пр

=

cos(

;

),

тогда из фор-

b

b

b

a

b

a

a

a

=

. Это

мулы (3.5) получаем

=

Пp

, откуда Пр

a

b

число

a

b

a

b

b

a

a

a

можно назвать проекцией вектора

на вектор

.

b

a

Пример 3.6. Известно, что

= 2, (

;

)= π . Найти: а)

;

= 3,

a

b

a

b

a

b

3

б) (3

−

)(2

−

).

a

b

a

b

Решение. Используя равенство (3.5) и свойства скалярного произведения, получаем:

а)

=

cos

π

= 3 2

1

= 3.

a

b

a

b

3

2

б) (3a −b)(2a −b)= 6 a 2 −3a b − 2 b a +b 2 = 6 9 −5 3 + 4 = 43.

Ответ: а) 3; б) 43.

74

Пример 3.7. Даны вершины четырехугольника ABCD:

A(−1; 4; 3), B(0; 8; 1), C(− 4; 4; 5), D(4; −3; 7). Доказать, что диагонали

AC, BD перпендикулярны.

Решение. Найдем координаты векторов AC, BD : AC{−3; 0; 2} и BD{4; −11; 6}. По формуле (3.6) получаем: AC BD = −3 4 + 0 (−11)+ 2 6 = 0.

Согласно свойству 4 скалярного произведения имеем:

AC BD.

Пример 3.8.

Даны точки A(2; 4; 1), B(3; 4; 2), C(2; 3; 0). Вычислить

угол между векторами

и

.

CA

CB

{0; 1; 1},.

Решение. Найдем координаты векторов

,

.

CA

CB

CA

{1; 1; 2}. Следовательно,

CA CB = 0 1+1 1+1 2 = 3, CA =

2,

CB = 6.

CB

можно получить cos(

)=

Из формулы

(3.5)

;

a

b

. Тогда

a

b

a

b

cos(

;

)=

3

=

3

=

3 . А значит, cos(

;

)= arccos

3 =

π .

CA

CB

CA

CB

2

6

2

3

2

2

6

Ответ: π6 .

Отметим возможность применения скалярного произведения в физике: работа A постоянной силы F при прямолинейном перемещении S ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения A = F S.

Пример 3.9. Найти работу силы F = 3i + 4 j + k при прямолинейном перемещении точки из положения M (− 2; −1; 5) в положение

B(3; 0; −1).

Решение. Вектор перемещения равен MB{5; 1; −6}. Тогда

A = F MB = 3 5 + 4 1+1 (−6)=13.

Ответ 13.

2. Векторное произведение векторов

Пусть даны два неколлинеарных вектора a и b. Определение 3.4. Векторным произведением вектора a на

вектор b называется вектор c, удовлетворяющий условиям:

75

1) модуль вектора c численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b приведенных к общему началу, как на сторонах, то есть c = a b sin(a; b );

2)вектор c перпендикулярен каждому из векторов a и b ;

3)вектор c направлен так, что кратчайший поворот вектора a к вектору b виден из конца вектора c происходящим против ча-

совой стрелки (в этом случае говорят, что векторы a , b и c образуют правую упорядоченную тройку векторов). Векторное произведение векторов a и b обозначается символом a ×b. Если векторы a и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Приведем некоторые свойства векторного произведения.

1. a ×b = −(b ×a);

2. (λ a)×b = λ (a ×b), где λ R; 3. (a +b)×c =a ×c +b ×c.

Теорема 3.2. Если векторы заданы своими координатами:

a{ax ; ay ; az }, b{bx ; by ; bz }, то

i

j

k

(3.7)

×

=

ax

ay az

a

b

bx by bz

Пример 3.10. Даны два

вектора:

{2; −1; 3},

{0; 4; −1}. Найти

a

b

×

,

×

, площадь параллелограмма,

построенного на векторах

a

b

a

b

и

.

a

b

Решение. По теоремам 3.2 и 1.1 получаем

i

j

k

−1 3

−

2

3

+

2

−1

=

×

=

2 −1 3

=

a

b

i

j

k

0

4 −1

4 −1

0

−1

0

4

=

(1−12)−

(− 2 −0)+

(8 −0)= −11

+ 2

+8

.

i

j

k

i

j

k

				×				=	(−11)2 + 22 +82 = 189.
Тогда			a		b					Из условия 1 определения вектор-
ного произведения площадь параллелограмма равна 189 кв. ед.
Ответ:									a×b = −11i + 2 j +8k,	a ×b = 189, Sпар. = 189 кв. ед.

76

Пример 3.11. Вычислить площадь треугольника с вершина-

ми A(1; 1; 1), B(2; −1; 0), C(−1; 3; −1).

Решение. Найдем координаты векторов AB и AC : AB{1; − 2; −1},

{− 2; 2; − 2}. По теореме 3.2

i

j

k

. Тогда

×

=

2 − 2 −1

= 6

+ 4

− 2

AC

AB

AC

i

j

k

− 2

2 − 2

×

= 62 + 42 + (− 2)2 = 2 14. Следовательно,

по определению

AB

AC

3.4 площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC, равна 2 14. Поскольку площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, то S∆ABC = 12 2 14 = 14 кв. ед.

Ответ: 14 кв. ед.

3. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора a, b, c. Найдем векторное произведение a ×b. Получим некоторый вектор. Умножим его скалярно на вектор c, то есть найдем число (a ×b)c . Это число называют смешанным или векторно-скалярным произведением векторов a, b, c. Обозначается смешанное произведение векторов a, b, c символом

a b c.

Приведем некоторые свойства смешанного произведения векторов.

1. Пусть векторы a, b, c некомпланарны и имеют общее начало. Модуль смешанного произведения a b c численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c как на ребрах.

2.Для того, чтобы три ненулевых вектора a, b, c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю a b c = 0.

3.При круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, то есть a b c = b c a = c a b; при перестановке любых

двух сомножителей смешанное произведение изменит только

знак, a b c = −b c a.

77

Теорема 3.3. Если

{ax ;ay ; az },

{bx ; by ; bz },

{cx ; cy ; cz }, то

a

b

c

ax ay az

(3.8)

=

bx by

bz

a

b

c

cx cy

cz

Пример 3.12. Треугольная пирамида имеет вершины: A(3; 3; 3),

B(5; 4; 4), C(5; 6; 5),

D(6; 6; 7). Найти ее объем V

и высотуH , опущен-

ную на грань ABC .

1

Решение.

Объем пирамиды равен

части объема парал-

6

лелепипеда, построенного на векторах

. Найдем

,

,

AB

AC

AD

координаты векторов

,

,

:

{2; 1; 1},

AB

AC

AD

AB

D

{2; 3; 2},

{3; 3; 4}. Тогда по теореме 3.3

AC

AD

=

2 1 1

= 7 и V =

7

. Известно,

2 3 2

H

AB

AC

AD

3

3

4

6

A

B что объем пирамиды можно вычислить

по формулеV =

1

Sосн. H.

3

3V

C

Отсюда найдем высотуH = Sосн. .

Рис. 3.9

Вычислим Sосн −

площадь треугольника

ABC , воспользовавшись

векторным произведением

i

j

k

×

=

2 1

1

= −

− 2

+ 4

.

AB

AC

i

j

k

2

3

2

Отсюда AB × AC =

1+ 4 +16 = 21 и

Sосн = 1

AB × AC = 21 .

7

2

2

Тогда H = 3 6 =

7

=

7 .

21

21

6

2

Ответ: V =

7

куб. ед. H = 7 кв. ед.

6

6

78

Пример 3.13. Показать, что векторы a{14; −6; 4;}, b{−6; 14; −16}, c{2; − 2; 2} компланарны.

Решение. Достаточным условием компланарности векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения. Покажем, что это условие в данном примере выполняется.

								14	−6	4		=14(28 −32)+ 6(−12 +32)+ 4(12 − 28)= −56 + 0 −64 = 0.
		,		,		=		−6	14 −16
	a		b		c
								2	− 2	2

Задания для самостоятельной работы

1.

Даны

векторы

= 2

+3

−

,

=

− 2

− 4

,

= 4

+

. Найти

a

i

j

k

b

i

j

k

c

i

k

(

+

)

.

a

b

c

Ответ: 7.

2.

Даны

векторы

{2 −1; 3;},

{−1; 0; 4}. Найти: а)

×

; б)

a

b

b

a

(

+3

)×(

− 2

).

a

b

a

b

Ответ: а) 4

+11

+

,

б) 20

+55

+5

.

i

j

k

i

j

k

3.

Вычислить площадь треугольника ABC и внутренний угол

A , если A(1; 0; −1), B(2; 1; − 2), C(0; 2; 1).

Ответ: S =

26 кв. ед. A = π −arccos 3 .

2

9

4.Даны векторы a{−1; y ; 4}, b{3; −1; 2}. Найдите координату y, если известно, что a b.

Ответ: y = −5.

5.На тело, движущееся прямолинейно, под углом в 60o к направлению движения действует сила F. Найти работу силы F на перемещении S, если F = 5, S = 3.

Ответ: 7,5.

6. Даны векторы a = 3i − j + 4k, b = i + j +3k. Найти: а) Пpb a, б)

Пpa b.

Ответ: а) 1411 ; б) 1426 .

7. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами:

A(1; 5; −1), B(4; 0; −3), C(3; − 2; −1), D(−1; 5; 4).

Ответ: 4,5 куб. ед.

79

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВПРОСТРАНСТВЕ

§1. Плоскость

1.Общее уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана декартова система координат Oxyz. Каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно x, y, z:

Ax + By +Cz + D = 0, (4.1)

где A,B,C,D — действительные числа, такие что A,B,C одновременно не обращаются в нуль, и обратно, каждое уравнение (4.1) определяет некоторую плоскость. Коэффициенты A,B,C имеют простой геометрический смысл: они являются координатами одного

из векторов								перпендикулярных к		данной плоскости. Вектор
	n		= Ai + B	j	+C	k		называют также нормальным вектором плоскости.
			Расположение плоскости в пространстве в случае равенства
нулю некоторых из коэффициентов A,B,C,D показано в таблице:
			Значение						Уравнение	Расположение плоскости в
			коэффициентов						плоскости	пространстве
					D = 0				Ax + By +Cz = 0	проходит через начало коор-
										динат
			A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0						By +Cz + D = 0	// оси X ( YOZ)
			B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0						Ax +Cz + D = 0	// оси Y ( XOZ )
			C = 0, A ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0						Ax + By + D = 0	// оси Z ( XOY )
			A = D = 0, B ≠ 0, C ≠ 0						By +Cz = 0	проходит через ось OX
			B = D = 0, A ≠ 0, C ≠ 0						Ax +Cz = 0	проходит через ось OY
80