Тема 4. Ценообразование на рынке

Несовершенной конкуренции (монополия,

Монополистическая конкуренция, олигополия)

Типовые задачи с решениями

№ 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли, если функция общих затрат имеет вид: TC = 200 + 60Q + 1,5Q². Функция спроса на продукцию монополии: Q = 240 – 2P.

Почему Q не совпадает при нахождении максимум прибыли и максимум выручки фирмы?

Решение:

Условие максимизации прибыли монополии MC = MR.

MC = TC’(Q) = 60 + 3Q;

MR = TR’(Q) = (P∙Q)' = ((120 – 0,5Q)Q)’ = (120Q – 0,5Q²)’ = 120 – Q. Тогда: 60 + 3Q = 120 – Q, следовательно максимизирующий прибыль монополии объем продаж Q = 15ед.; P = 120 – 0,5∙15 = 112,5 ден. ед.

Условие максимизации выручки монополии: MR = 0. Тогда: 120 – Q = 0; Q = 120 ед. P = 60 ден.ед.

π_max = TR – TC = 15∙112,5 – (200 + 60∙15 + 1,5∙15²) = 250 ден.ед.

Несовпадение объема выпуска при максимизации прибыли и выручки легко объяснить геометрически: максимизация предполагает равенство тангенсов углов наклона касательных к соответствующим функциям. При максимизации прибыли – это касательные к функциям выручки и затрат, а при максимизации выручки – угол наклона касательной к функции выручки равен нулю.

№ 2. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, продавая 10 ед. продукции по цене 10 ден. ед. Функция общих затрат монополии TC = 4Q + 0,2Q². На сколько сократиться объем продаж, если с каждой проданной единицы продукции взимать налог в размере 4 ден. ед.?

Решение:

Используем формулу и так как при максимизации прибылиMC = MR, то MC = 4 + 0,4Q = 4 + 0,4∙10 = 8 = MR. Тогда . Если линейный спрос описать какQ_D = a - bP, то используя формулу для расчета коэффициента эластичности спроса, получим: . Тогда получаем: 10 =а - 5∙10, следовательно а = 60. Функция спроса имеет вид: Q_D = 60 - 5P.

Предельные затраты монополии после включения в них налога примут вид: MC = 8 + 0,4Q. Тогда оптимум монополии в условиях налога будет иметь вид:

№3. Монополия, максимизирующая прибыль, производит продукцию при неизменных средних затратах и продает ее на рынке с линейным спросом. На сколько единиц изменится выпуск монополии, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.?

Решение:

1. Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

2. Увеличение объема спроса при каждой цене на 30 ед. означает, что график функции спроса сдвигается по оси Q на 30 ед. без изменения наклона. Следовательно, график предельного дохода MR сдвинется по оси Q на 15 ед. также без изменения наклона.

3. Точка Курно (MR = MC) сдвинется по графику MC на 15 ед., а следовательно и её координата по оси Q, определяющая выпуск монополии, тоже сдвинется на 15 ед.

Ответ: Q=15.

№4. Рыночный спрос, отображаемый функцией Q^D = 180 – 3P, удовлетворяет монополия, которая производит продукцию с неизменными средними затратами. Стремясь к достижению максимума прибыли, монополия установила цену Р = 40.

а) Определите объем продаж и цену, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.

б) Определите прибыль монополии при указанном изменении спроса.

Решение:

1. Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

2. При функции спроса Q₁^D = 180 – 3P и цене Р₁ = 40 объем продаж монополии составляет Q_м1 = 180 – 340 = 60 ед. Функция предельного дохода при этом выглядит как MR₁ = 60 – 2Q/3. Предельный доход MR₁ = 60 – 2*60/3 = 20. Следовательно, предельные затраты монополии MC = 20 = Const.

3. Увеличение спроса на 30 ед. при каждой цене означает изменение функции спроса до вида Q₂^D = 210 – 3P. Функция предельного дохода примет при этом вид MR₂ = 70 – 2Q/3. Из условия максимизации прибыли MR = MC следует 70 – 2Q/3 = 20, отсюда выпуск монополии составит Q_м2 = 75 ед. Цена при этом в соответствии с новой функцией спроса будет P₂ = 70 – 75/3 = 45.

4. Для нахождения прибыли необходимо выразить функцию общих затрат монополии. Поскольку AC = MC = 20, то общие затраты монополии выглядят TC = AC*Q = 20Q. Следовательно, прибыль монополии будет П = 45*75 – 20*75 = 1875 д.е.

Ответ: а) Q=75, P=45; б) П=1875.

№6. Максимизирующая прибыль монополия с функцией затрат TC = 40 + 10Q + 0,25Q² может продавать свою продукцию на отечественном рынке, спрос на котором отображается функцией q₁^D = 60 – P₁, и на мировом рынке по цене P₂ = 30.

Определите объем продаж на обоих рынках, цену на отечественном рынке и прибыль монополии.

Решение:

Объемы продаж монополии на обоих рынках определяются из условия максимизации прибыли при сегментации рынка: MR₁(q₁) = MR₂(q₂) = MC(Q), где Q = q₁ + q₂ . Предельный доход с отечественного рынка MR₁ = 60 – 2 q₁ . Цена на мировом рынке является для монополии внешне заданной, поэтому MR₂ = P₂ = 30. Предельные затраты монополии выглядят MC = 10 + 0,5Q. Отсюда находим q₁ = 15 и Q = 40, следовательно объем продаж на мировом рынке q₂ = 25. Цена на отечественном рынке будет P₁ = 60 – 15 = 45. Прибыль монополии находится как разница между суммой выручки с обоих рынков и общими затратами монополии: П = (45*15 + 30*25) – (40 + 10*40 + 0,25*40²) = 585 д.е.

Ответ: q₁=15, q₂=25, P₁=45, П=585.

№7. Спрос на товар отображается линейной функцией, а технология его производства – функцией Q=АL^K^1–. На рынке этого товара совершенная конкуренция сменилась монополией, максимизирующей прибыль. В результате цена товара повысилась на 2 ден. ед., а объем продаж сократился на 100 ед. Насколько ден. ед. сократились излишки потребителей?

Решение:

1. Для данной производственной функции коэффициенты эластичности выпуска по труду и по капиталу _L = , _K = 1- . Сумма этих коэффициентов _L + _K = 1 означает, что данной технологии присуща постоянная отдача от масштаба, а следовательно – долгосрочные средние затраты постоянны.

2. Постоянные средние затраты означают, что функция общих затрат при данной технологии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

3. Функция отраслевого предложения при совершенной конкуренции совпадает с функцией предельных затрат при монополизации отрасли.

4. Изменение излишков покупателей определяется графически как площадь трапеции, представляющей собой разность между излишками покупателей при совершенной конкуренции и при монополии.

Ответ: R_пок=300

№8. При линейном рыночном спросе монополия достигает максимума прибыли с предельными затратами MC = 20 и эластичностью спроса по цене e^D = -3. Для полного удовлетворения потребностей в товаре, производимом монополией, требуется 60 ед. Определите объем продаж, цену на рынке монополии и излишки покупателей продукции монополии.

Решение:

1. Общий вид линейной функции спроса Q^D = a – bP. Параметр “a” определяет максимальный объем спроса для данной функции ( при P = 0). Следовательно, по условию, a = 60. Тогда из соотношения a = Q*(1 - e^D) можно найти объем продаж на рынке: Q = 60/(1 + 3) = 15.

2. Для монополии предельный доход и цена связаны соотношением MR = P(1 + 1/ e^D), кроме того при максимизации прибыли MR = MC. Следовательно, цена на рынке будет P = 20/(1 – 1/3) = 30.

3. Зная объем продаж, цену и эластичность, можно найти параметр “b” в функции спроса: b = - e^D*Q/P = 3*15/30 = 1,5. Следовательно, функция спроса имеет вид Q^D = 60 – 1,5P. Излишки покупателя находятся графически.

Ответ: Q=15, P=30, R_пок=75

№ 9*. В отрасли работают 10 фирм с одинаковыми функциями затрат TC_i = 4 + 2q_i + 0,5. Отраслевой спрос задан функцией:Q^D = 52 – 2P. Собственник одной из фирм предложил своим конкурентам передать ему все предприятия, обещая за это выплачивать им регулярный доход, в 2 раза превышающий получаемую ими прибыль.

1. Насколько возрастет прибыль инициатора монополизации отрасли, если его предложение будет принято?

2. Насколько сократятся излишки потребителей?

Решение

1. Определим функцию предложения отдельной фирмы 2 + q_i = P  = –2 + P.

Тогда совместное предложение 10 фирм:

.

В отрасли установится равновесие при:

– 20 +10Р = 52 – 2Р  P =6; Q = 40; q_i =4;  = 64 – 4 – 24 – 0,516 = 4.

Когда все фирмы будут принадлежать одному продавцу, цена определится из равенства MR = MC. При выведении функции затрат монополии нужно учитывать, что Q = 10q_i., тогда q_i. = 0,1Q. Поэтому ТС_мон = 10×ТС_i = 40 + 2 q _i+ 5q_i² = . Тогда МС_мон = 2 + 0,1Q. Исходя из условия оптимума монополии МС = МR получаем: 26 – Q = 2+0,1Q, тогда Q = 21,81; P = 26 – 0,5∙21,81 = 15,1; TR = 329,33; ТС = 40 +2∙21,81+ 0,05∙475,67 = 107,4.

Прибыль монополиста:

 = TR – TC = 329,33 – 107,4 = 221,9

После выплат каждому из бывших конкурентов по 8 ден. ед. у монополиста останется (221,9 – 72) = 149,9, то есть его прибыль возрастет в 149,9/4 = 37,5 раза.

2. Излишки потребителей в результате монополизации отрасли сократились с 400 до 119 ден. ед.

№ 10. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 ден. ед. Функция общих затрат монополии

TC = 100 + 4Q + 0,25Q².

1. Насколько возрастет цена, если с каждой единицы товара будет взиматься налог в размере 7 ден. ед.?

2. Насколько изменится прибыль монополии до уплаты акциза?

3. Какова сумма получаемого налога?

4. Насколько сократятся излишки потребителей?

5. Насколько возрастет объем продаж, если при наличии указанного налога потребители при каждой цене будут спрашивать на 7 ед. товара больше?

Решение

1. Определим значение e^D и выведем функцию отраслевого спроса:

Поскольку в исходных условиях MC = 4 + 0,5Q, то после введения акциза MC = 11 + 0,5Q; максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5Q = 39 – 3Q 

Q* = 8; P* = 27, то есть цена возросла на 3 ден. ед.

2. В исходных условиях  = 2410 – 100 – 40 – 25 = 75. После введения акциза  = 278 – 100 – 32 – 16 = 68. Таким образом, прибыль уменьшилась на 7 ден. ед.

3. Сумма налога: (87) = 56 ден. ед.

4. Теперь отраслевой спрос ,а MR = 49,5 – 3Q. Максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5Q = 49,5 – 3Q  Q* = 11; P* = 33, то есть объем продаж возрос на 3 ед.

№ 11. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах рынка с различной эластичностью спроса:

=160 – P_1; = 160– 2P₂. Ее функция общих затрат TC = 10 + 12Q + 0,5Q².

1. При каких ценах на каждом из сегментов рынка монополия получит максимум прибыли?

2*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов в случае запрета ценовой дискриминации?

3*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов при запрете ценовой дискриминации, если бы ее затраты были в 2 раза меньше?

Решение