1. Условие максимизации прибыли при осуществлении ценовой дискриминации третьей степени следующее:

Оптимальные цены на сегментах рынка

P₁ = 160 – 45,6 = 114,4; P₂ = 80 – 0,511,2 = 74,4.

2. Для определения условий достижения максимума прибыли при запрете ценовой дискриминации выведем функцию суммарного спроса:

Соответственно,

В этом случае линия MC = 12 + Q пересекает MR в интервале 0 < Q  80; выпуск и цена определяются из равенства 160 – 2Q = 12 + Q  Q^* = 148/3; P^* = 332/3. Таким образом, в случае запрещения ценовой дискриминации на втором сегменте рынка продукция продаваться не будет.

3. Теперь кривая предельных затрат MC = 6 + 0,5Q пересекает ломаную MR два раза:

160 – 2Q = 6 + 0,5Q  Q^* = 61,6; P^* = 98,4;  = 98,461,6 – 5 – 661,6 – 0,561,6² = 3789,56;

320/3 – 2Q/3 = 6 + 0,5Q  Q^* = 86,3; P^* = 77,9;  = 77,986,3 – 5 – 686,3 – 0,586,3² = 2476,13.

Следовательно, на втором сегменте рынка продукция опять продаваться не будет.

Рис. 4.1. Ценовая дискриминация третьей степени

№ 12*. Спрос на продукцию отображается функцией Q^D = 140 – 4P. Общие затраты на ее производство типичной фирмы: TC = 100 + 10Q + Q². Продукция продается на рынке совершенной конкуренции в длительном периоде. Во сколько раз должны снизиться переменные затраты, чтобы при переходе от совершенной конкуренции к монополии цена не изменилась?

Решение

В длительном периоде при совершенной конкуренции цена установится на уровне минимума средних затрат. Поскольку:

, то. Значит, каждая фирма-конкурент будет выпускать 10 единиц продукции,АС = Р = 30. При такой цене объем рыночного спроса равен 20 ед. Монополия, максимизирующая прибыль, выберет сочетание Р = 30; Q = 20, если при этом предельная выручка равна предельным затратам. Поскольку MR = 35 – 0,520 = 25, то производная от переменных затрат тоже должна быть равна 25: (10 + 220)/x = 25  x = 2; следовательно, переменные затраты должны быть в 2 раза ниже, то есть общие затраты TC = 100 + 5Q + 0,5Q²

№ 13. В данный момент спрос на продукцию монополистического конкурента отображается функцией , а общие затраты –.

Изменение числа конкурентов в отрасли смещает кривую спроса на продукцию фирмы без изменения ее наклона. Насколько сократится выпуск данной фирмы в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим моментом?

Решение

Цена в исходных условиях выводится из равенства MR = MC: 220 – 8Q = 40 + Q  Q = 20; P = 140.

В длительном периоде линия отраслевого спроса станет касательной к кривой средних затрат (АС = Р) и сохранится равенство MR = MC. Из системы этих двух равенств определяются запретительная цена длительного периода (обозначим ее x) и выпуск:

Следовательно, выпуск фирмы сократится вдвое.

Q

AC

MC

D₀

D₁

MR₀

MR₁

P

Рис. 4.2 Монополистический конкурент в коротком

и длительном периодах

№14. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC = 80 + 5Q в состоянии длительного равновесия продает свой товар по цене 13 ден. ед. Определите эластичность спроса по цене и излишки покупателей данного товара, если функция спроса линейна.

Решение:

Для монополистического конкурента в длительном периоде должны выполняться два условия: MR = MC (1) и P = AC (2).

1. Из первого условия и соотношения MR = P(1 + 1/ e^D) получаем 5 = 13(1 + 1/ e^D). Отсюда находим эластичность спроса e^D = -1,625.

2. Из второго условия получаем 13 = 80/Q + 5, откуда получаем объем продаж на рынке Q = 10.

3. Если функция спроса линейна Q^D = a – bP, то параметры “a” и “b” находятся из соотношений: a = Q*(1 - e^D) = 10(1 + 1,625) = 26,25; b = - e^D*Q/P = 1,625*10/13. Восстановив функцию спроса, излишки покупателя находятся графически.

Ответ: e^D = -1,625; R_пок=40.

№ 15. Отраслевой спрос задан функцией P = 50 – 0,25Q; в отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы I и II со следующими функциями затрат: TC_I = 10 + 0,15q²_I и TC_II = 25 + 10q_II. Какая установится цена в соответствии с: а) моделью Курно; б) моделью Штакельберга; в) картельным соглашением?

Решение

а) Выведем уравнение реакции для фирмы I. Ее прибыль _I = 50q_I – 0,25q²_I – 0,25q_Iq_II – 10 – 0,15q²_I достигает максимума при 50 – 0,8q_I – 0,25q_II = 0. Поэтому уравнение реакции фирмы I имеет следующий вид:

q_I = 62,5 – 0,3125 q_II.

Прибыль фирмы II _II = 50q_II – 0,25q²_II – 0,25q_Iq_II – 25 – 10q_II и достигает максимума при 40 – 0,25q_I – 0,5q_II = 0. Отсюда выводится ее уравнение реакции: q_II = 80 – 0,5 q_I.

Если фирмы ведут себя как равноправные конкуренты, то равновесные значения цены и объемов предложения определятся из следующей системы уравнений:

В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно будут:

_I = 24,544,44 – 10 – 0,1544,44² = 780,4;

_II = 24,557,78 – 25 – 1057,78 = 809,9;

б) пусть фирма I выступает в роли лидера, а фирма II –последователя. Тогда прибыль фирмы I с учетом уравнения реакции фирмы II будет:

_I = 50q_I – 0,25q²_I – 0,25q_I(80 – 0,5q_I) – 10 – 0,15q²_I = 30q_I – 0,275q²_I – 10.

Она достигает максимума при 30 – 0,55q_I = 0. Отсюда

q_I = 54,54; q_II = 80 – 0,554,54 = 52,7;

P = 50 – 0,25(54,54 + 52,7) = 23,2;

_I = 23,254,54 – 10 – 0,1554,54² = 809;

_II = 23,252,7 – 25 – 527 = 529.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы II ее прибыль снизилась, а фирмы I - возросла.

В случае лидерства фирмы II ее прибыль

_II = 50q_II – 0,25q²_II – 0,25q_II(62,5 – 0,3125q_II) – 25 – 10q_II = 24,4q_II – 0,17q²_II – 25

становится максимальной при 24,4 – 0,34q_II = 0  q_II = 70,9. Тогда

q_I = 62,5 – 0,312570,9 = 40,3;

P = 50 – 0,25(40,3 + 70,9) = 22,2;

_I = 22,240,3 – 10 – 0,1540,3² = 641;

_II = 22,270,9 – 25 – 709 = 840;

в) прибыль картеля определяется по формуле:

_к = (50 –0,25q_I – 0,25q_II)(q_I + q_II)– 10 – 0,15q²_I – 25 – 10q_II =

= 50q_I – 0,4q²_I – 0,5q_Iq_II + 40q_II– 0,25q²_II – 35.

Она принимает максимальное значение при

Решив эту систему уравнений найдем:

q_I = 33,3; q_II = 46,7; Q = 80; P = 30; _I = 823; _II = 908.

Рис. 4.3. Зависимость конъюнктуры рынка от типа

поведения дуополистов

№ 16. В отрасли функционируют 80 мелких фирм с одинаковыми функциями затрат TC_i = 2 + 8и еще одна крупная фирма, выступающая в роли лидера, с функцией затратTC_л = 20 + 0,275. Отраслевой спрос представлен функциейQ^D = 256 – 3P. Какая цена сложится на рынке и как он будет поделен между лидером и аутсайдерами?

Решение

Поскольку для аутсайдеров цена является экзогенным параметром, то условием максимизации прибыли для них служит равенство MC_i = P. Выведем из него функцию предложения отдельного аутсайдера: 16q_i = P  =P/16. Тогда суммарная функция предложения аутсайдеров = 80P/16 = 5P. Теперь определим функцию спроса на продукцию лидера как разность между отраслевым спросом и предложением аутсайдеров: =Q^D – = 256 – 3P – 5P = 256 – 8P. В соответствии с этой функцией, предельная выручка MR_л = 32 – 0,25Q_л. Прибыль лидера максимальна при MR_л = MC_л:

32 – 0,25Q_л = 0,55Q_л  Q_л = 40; P = 32 – 0,12540 = 27.

По такой цене аутсайдеры предложат 527 = 135 ед. продукции. Объем спроса составит (256 – 327) = 175; таким образом, 22,8% спроса удовлетворит лидер и 77,2% – аутсайдеры.

Рис. 4.4. Ценообразование за лидером

№17. Рыночный спрос отображается функцией Q^D = 90 – 2P. Товар на рынке продают одна крупная фирма, выступающая в роли ценового лидера, и несколько мелких фирм, совокупное предложение которых отображается функцией Q_a^S = –10 + 2P.

Определите цену на рынке, совокупный объем предложения аутсайдеров и излишек покупателей, если крупная фирма захочет максимизировать свою выручку?

Решение:

1. Функция спроса на продукцию лидера определяется как разность между отраслевым спросом и совокупным предложением аутсайдеров: Q_Л^D = Q^D – Q_а^S = (90 – 2P) – (-10 + 2P) = 100 – 4P. Следовательно, функция предельного дохода лидера выглядит MR_Л = 25 – q_Л/2. По условию максимизации выручки лидера 25 – q_Л/2 = 0 находим объем продаж лидера q_Л = 50. Лидер, как монополист на своей доле рынка, установит цену в соответствии с функцией спроса на свою продукцию: P = 25 – 50/4 = 12,5. Для аутсайдеров полученная цена – внешне заданная; ориентируясь на неё, они предложат Q_a^S = - 10 + 2*12,5 = 15 ед. продукции.

2. Общий объем продаж на рынке Q^D = 50 + 15 = 65 ед. Излишки покупателя находятся графически в соответствии с отраслевой функцией спроса.

Ответ: P=12,5; Q_a^S =15; R_пок=1056,25.

№18. На рынке с отраслевым спросом Q^D = 100 – 2P установилась монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с общими затратами TC = 72 + 4Q. После того как руководству картеля стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену настолько, чтобы у потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль.

1. Какую максимальную цену может установить картель в этой ситуации?

2. Какой минимальной суммой прибыли придется поступиться картелю?

Решение

1. Искомая цена должна быть такой, чтобы остаточный спрос (неудовлетворенная часть рыночного спроса) оказался ниже кривой средних затрат (P^D_ост  AC). Для этого к кривой средних затрат нужно провести касательную, параллельную линии рыночного спроса. Поскольку касательная имеет общую точку с кривой AC и в точке касания наклон обоих линий одинаковый, то искомая цена определяется из решения системы уравнений

.

Функция остаточного спроса Q^D = 32 – 2P лежит ниже кривой АС.

2. Определим прибыль картеля до появления угрозы потенциального конкурента:

50 – Q = 4  Q = 46; Р = 27;  = 2746 – 72 – 446 = 986

и при лимитной цене: 1668 – 72 – 468 = 744; следовательно,  = 242.

Рис. 4.5. Лимитная цена картеля

№ 19*. В регионе имеется единственное овощехранилище, закупающее картофель у 50 фермеров, выращивающих картофель с одинаковыми затратами TC_i = 5 + 0,25q²_i, где q_i – количество выращенного картофеля i-м фермером. Хранилище сортирует и фасует картофель по технологии, отображаемой производственной функцией Q_f = 16Q^0,5, где Q_f – количество расфасованного картофеля; Q = q_i – количество закупленного картофеля. Определите закупочную цену картофеля при стремлении овощехранилища к максимуму прибыли, если: а) оно может продавать любое количество картофеля по фиксированной цене P_f = 20; б) спрос на фасованный картофель отображается функцией .

Решение

а) Чтобы получить функцию затрат овощехранилища, нужно вывести функцию цены предложения картофеля. Функция предложения каждого фермера . Следовательно, рыночное предложениеQ^S = 100P, соответственно P^S = Q/100. Тогда общие затраты TC_xp = 0,01Q², а прибыль _хр = 2016Q^0,5 – 0,01Q². Она достигает максимума при Q =400. Такое количество картофеля можно закупить по цене P^S = 400/100 = 4;

б) определим выручку и прибыль овощехранилища:

P_f Q_f = (42 – 0,1Q_f)Q_f = (42 – 0,116Q^0,5)16Q^0,5.

_хр = (42 – 0,116Q^0,5)16Q^0,5 – 0,01Q².

Прибыль достигает максимума при Q = 140. Цена предложения такого количества P^S = 140/100 = 1,4.

Q

S

MC_{монопс.}

PMP

MRMP

P

Рис. 4.6. Цена монопсонии

№20*. В городе имеется единственный молокозавод, закупающий молоко у двух групп фермеров, различающихся затратами на литр молока стандартной жирности: и, гдеq_i – количество молока произведенного одним фермером i –й группы. В первой группе 30 фермеров, во второй – 20. Молокозавод обрабатывает молоко по технологии, отображаемой производственной функцией Q_u = 8Q^0,5, где Q_u – количество пакетов молока; Q = q_i – количество закупленного молока, и может продавать любое количество молока по фиксированной цене P_u = 10. При закупке сырья молокозавод может проводить ценовую дискриминацию.

1. По какой цене молокозавод должен закупать молоко у каждой группы фермеров для максимизации своей прибыли?

2. Какую цену установил бы молокозавод, если бы нельзя было проводить ценовую дискриминацию?

Решение

1. Выведем функции предложения каждой группы фермеров; эти функции для молокозавода являются функциями средних затрат при закупке молока у соответствующей группы фермеров:

Прибыль завода есть разность между выручкой и общими затратами:

Она достигает максимума при:

У первой группы фермеров такое количество молока можно купить по цене 2 + 60/60 = 3, а у второй – по 40/20 = 2 ден. ед.

Рис. 4.7. Ценовая дискриминация монопсонии

2. В этом случае функция предложения молока имеет вид:

.

Соответственно функция цены предложения (функция средних затрат завода): . Прибыль завода:

Она достигает максимума при

.

Такое количество молока можно купить за 1,5 + 100/80 = 2,75 ден. ед. По такой цене первая группа фермеров предложит 55, а вторая – 45 литров.

Рис. 4.8. Единая цена монопсонии на двух сегментах рынка

№ 21. Известны функция спроса на продукцию монополистического конкурента Q_A = 30 – 5P_A + 2 P_B и функция затрат TC_A = 24 +3Q_A. Определить цены двух благ после установления отраслевого равновесия в длительном периоде.

Решение

Поскольку рынок монополистической конкуренции в длительном периоде, то равновесие фирмы будет характеризоваться равенствами: AC_A = P_A, MC_A = MR_A. Тогда:

Решив систему уравнений получаем: Q_A = 10,95; AC_A = 5,19; P_A = 5,19; P_B = 3,45.

№ 22.* Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Р = 24 –1,5Q. Общие затраты монополии ТС = 50 + 0,3Q². Определить максимально возможный объем прибыли монополии при продаже всей продукции по единой цене и при продаже выпуска партиями, первая из которых содержит 3 шт.

Решение

Если бы ценовой дискриминации 2-й степени не существовало бы, то условие максимизации прибыли имело вид: 24 – 3Q = 0,6Q. Тогда Q^* = 20/3; P^*= 14; π = 30.

При ценовой дискриминации нужно помнить, что условие максимизации прибыли приобретает вид: MR₁ = P₂, MR₂ = P₃, …, MR_n = MC. Первые 3 ед. можно продавать по цене P₁ = 24 – 1,5×3 = 19,5. Так как MR₁ = 24 – 3Q₁, то при Q = 3, значение MR₁ = 15. Следовательно, вторую партию, еще 3 ед., можно продать по цене P₂ = 15.

Для определения MR₂ необходимо учитывать сокращение спроса – укорочение линии функции спроса: P₂ = 24 – 1,5(Q – 3); MR₂ = 28,5 – 3Q, при Q = 6 величина MR₂ = 10,5. Это означает, что третью партию нужно продавать по цене 10,5.

Найдем функцию MR₃. Для этого необходимо определить новую функцию спроса: P₂ = 24 – 1,5(Q – 6); MR₂ = 33 – 3Q. При Q = 9, величина MR₃ = 6. Но 4-ю партию нужно продавать не по цене 6. Это связано с тем, что точка Курно (пересечение функций MC и MR₄) расположена выше. Определим координаты точки Курно из равенства: 37,5 – 3Q = 0,6Q. Отсюда Q = 10,4. Этому выпуску соответствует цена 24 – 1,5×10,4 = 8,4. Следовательно, размер 4-й партии 1,4 ед., а цена P₂ = 8,4. Прибыль фирмы составит:

π = 3×(19,5 + 15 + 10,5) + 8,4 × 1,4 – 50 – 0,3×10,4² = 64,3.

№ 23.* На рынке действуют 5 фирм, данные об объемах продаж, ценах и предельных затратах приведены в таблице.

Фирма	Объем продаж, тыс. шт	Предельные затраты, тыс. долл.
А	250	1,0
Б	100	1,5
В	90	2,0
Г	40	2,5
Д	30	3,0

Цена товара 8 тыс. долл. Определить коэффициента бета и эластичность спроса по цене.

Решение

При решении задачи следует учесть, что индекс Лернера для фирмы (L_i), который вычисляется как L_i = (P – MC)/P, в соответствии с моделью связан линейной зависимостью с рыночной долей y_i: L_i = a +by_i.

Дополнительные расчеты сведем в таблицу.

Фирма	Q	MC	yi	yi^2	Li	Li×yi
А	250	1,0	0,490	0,24	0,875	0,429
Б	100	1,5	0,196	0,04	0,812	0,159
В	90	2,0	0,176	0,03	0,75	0,132
Г	40	2,5	0,078	0,006	0,688	0,054
Д	30	3,0	0,058	0,003	0,625	0,036
Cумма	510	X	0,998	0,319	3,75	0,81

Для нахождения линейной зависимости между индексом Лернера и долей рынка в соответствии с методом наименьших квадратов необходимо составить систему их двух уравнений:

.

В условиях примера система уравнений примет вид:

.

Решив систему, находим, что a = 0,65; b = 0,5. Следовательно, β = 0,65/(0,65 + 0,5) = 0,56.

Эластичность спроса по рынку определяется по формуле: e = HH/L_ср, где HH – индекс Герфиндаля-Хиршмана, а L_ср – средний индекс Лернера для отрасли. e = 0,319/(3,75:5) = 0,425.

№ 24.* Длина города равна 35 км. Магазин первого дуополиста расположен в точке А на расстоянии 4 км от левого конца города (точка М). Магазин второго – в точке В на расстоянии 1 км от правого конца города. Стоимость перевозки равно 1 ден. ед. на км. Дуополисты максимизируют выручку. Потребители проживают равномерно по всей длине города. Найти расположение точки Е, в которой проживает потребитель, затраты которого на покупку единицы товара (включающие транспортные расходы) одинаковы для обоих магазинов.

Решение

Найдем расположение точки Е, в которой находится потребитель и где затраты на покупку единицы товара, включая транспортные расходы, одинаковы для обоих магазинов. Если через x и y обозначить расстояния от безразличного покупателя до первого и второго магазина соответственно, то условие безразличия примет вид: P₁ + x = P₂ + y и, кроме того: 4 + 1 + x + y = 35. Решив совместно эти два уравнения относительно x и y, получим:

x = 15 + 0,5(P₁ – P₂), y = 15 – 0,5(P₂ – P₁).

Обозначим объем продаж каждого дуополиста через Q₁ и Q₂. Тогда: Q₁ = x + 4и Q₂ = y + 1. Выручка первого равна: TR₁ = P₁Q₁ = 19P₁ + 0,5P₁P₂ – 0,5P₂². Она достигает максимума, когда

P₁ – 0,5P₂ – 19 = 0. (1)

Аналогично для второй фирмы, составив функцию выручки и взяв производную по P₂ получаем:

–0,5P₁ + P₂ – 16 = 0. (2)

Решив систему уравнений (1) и (2) находим цены: P₁ = 36; P₂ = 34. Тогда легко найти x и y: x = 15 + 0,5×2 = 16 км, y = 15 – 0,5×2 = 14 км.