Госы 5к Надя / fomin-a

Заменяя в формулах (12.29), (12.30) переменную интегрирования ζ на z , получаем

f (n) ( z0 ) =

n!

f

(

z

)

dz , "z0

Î D , n N .

(12.31)

2pi

∫Г ( z - z0 )n+1

f ( z )

2pi

f (n) ( z0 ) , "z0

Î D , n N .

dz =

(12.32)

∫Г ( z - z0 )n+1

n!

Формула (12.32) применяется при вычислении контурных интегралов (ещё раз подчеркнём, что эта формула справедлива при условии, что функция f (z) аналитична на замкнутом простом гладком или кусочно-гладком контуре Г и в

односвязной области D, ограниченной этим контуром, т.е. f (z) не имеет особых точек в замкнутой области D = D È Г ). Пример 12.3. Вычислим контурный интеграл

	∫Г		zdz		,
		( z - 2)3 ( z + 4)
	где Г – окружность с центром в точке z* = 3 радиуса 6. Подынтегральная функция
	g(z) =			z
			(z - 2)	3 (z + 4)

аналитична на множестве C \ {-4; 2} как частное двух аналитических на этом множестве функций, т.е. g(z) имеет лишь две особые точки z1 = -4 , z 2 = 2 . Пусть D – внутренность кривой Г (рис. 12.7).

Рис. 12.7

Запишем функцию g(z) в виде

z

g(z) =

z + 4

.

(z - 2)2+1

Функция f (z) =

z

аналитична в замкнутой области

= D È Г (

f (z)

имеет единственную особую точку z1 = -4 , но

D

z

+

4

z1 Î

D

). Следовательно, применима формула (12.32):

z

2pi

zdz

¢¢(2) .

I = ∫

=

∫

z + 4

dz =

f

3

( z - 2)

2+1

2!

Г

( z - 2) ( z + 4)

Г

Применяя формулу (8.44), получаем

f ¢(z) =

1× (z + 4) - z ×1

=

4

,

(z + 4) 2

(z + 4) 2

f ¢¢(z) = -

4

× 2(z + 4) = -

8

.

(z + 4) 4

(z + 4)3

1

2pi

1

pi

Тогда f ¢¢(2) = -

,

I =

× -

,

I = -

.

27

2!

27

27

Если требуется вычислить контурный интеграл вида

∫		f ( z )						dz ,
	( z - z	m		)	m		m
Г		) 1 ( z - z	2		2 ×...×( z - z	k	) k
	1
где Г – замкнутый простой контур; функция	f (z)	аналитична на Г и в односвязной области D , ограниченной кривой Г ;
z1, z2 , ..., zk Î D , m1, m2 , ..., mk Î N , то применяют тот же способ, каким вычисляется контурный интеграл вида (12.14).
Докажем достаточное условие аналитичности функции в односвязной области.
Теорема 12.5. (теорема Морера). Пусть функция f (z)					непрерывна в односвязной области D , а интеграл от этой
функции по любому замкнутому простому гладкому или кусочно-гладкому контуру γ , расположенному в D , равен нулю:
								∫ f ( z ) dz = 0 .	(12.33)
								γ

Тогда функция f (z) аналитична в области D .

Из условия (12.33) следует, что для произвольных точек z1, z2 Î D и любых простых гладких или кусочно-гладких кривых g1 , g 2 Ì D , соединяющих точки z1 и z 2 выполняется равенство

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz

γ1 γ2

(см. обоснование следствия 11.1). Следовательно, зафиксировав некоторую точку z0 Î D , можно рассмотреть интеграл с переменным верхним пределом интегрирования:

z

F (z) = ∫ f (z)dz , z Î D .

z0

В силу теоремы 11.2 функция F (z) аналитична в области D и F ′(z) = f (z) , т.е. функция f (z) равна производной

аналитической функции F (z), а, значит, в силу следствия 12.1 f (z) аналитична в D .

13. ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО

Докажем вначале два вспомогательных утверждения.

Лемма 13.1. Если функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного z = x + iy аналитична в области

u(x, y) º const , "z Î D ,

то f (z) º const , "z Î D .

Пусть выполнено условие (13.1). Тогда

¶u(x, y) = 0 , ¶u(x, y) = 0 , z D .

¶x ¶y

D и

(13.1)

(13.2)

По условию функция f (z) аналитична в области D , следовательно, в силу теоремы 9.3 в области D выполняются условия Коши-Римана

¶u(x, y) = ¶v(x, y) ,

¶u(x, y) = - ¶v(x, y) , z D .

(13.3)

¶x

¶y

¶y

¶x

В силу (13.2), (13.3)

¶v(x, y) = 0 ,

¶v(x, y) = 0 , z D ,

¶x

¶y

следовательно,

v(x, y) º const,

z D. Имеем u(x, y) º const и v(x, y) º const

z D

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) º const

для

z D .

Лемма 13.2. Если функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного z = x + iy аналитична в области D

и

то f (z) º const , "z Î D .

f (z)

º const , "z Î D ,

(13.4)

Пусть

выполнено

условие (13.4):

f (z)

º M

для

"z Î D ,

где

M

–

константа. Если M = 0

,

то

f (z)

º 0 , "z Î D f (z) º 0 , "z Î D . Пусть M ¹ 0 . Рассмотрим функцию

g(z) = ln f (z) = ln f (z) + i arg f (z) = ln M + i arg f (z) .

В силу аналитичности		главной	ветви	w = ln z	логарифмической функции Ln z		на множестве Χ \ {0} (см.	пример	9.2),
аналитичности функции		f (z) в области D и следствия 8.8 сложная функция g(z) = ln f (z) аналитична в области D . Её
действительная часть		~	имеет	вид	~	z D .	Следовательно, в силу	леммы	13.1
		u (x, y)			u (x, y) ≡ ln M = const ,
g(z) ≡ const , z D	f (z) ≡ const , z D .
Пусть функция	f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного z = x + iy аналитична в ограниченной области D и

непрерывна на её границе Г . Из аналитичности функции f (z) в области D следует её непрерывность в D (см. замечание

9.3). Таким образом, функция f (z) непрерывна в замкнутой области D = D Г . Следовательно, в силу замечания 5.10

модуль функции f (z) , т.е. вещественная функция

f (z)		= [u(x, y)]2 + [v(x, y)]2		(13.5)

двух вещественных переменных x , y непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D . По второй теореме

Вейерштрасса для функций нескольких переменных [2.8, с. 496] функция (13.5) достигает на множестве D своих наибольшего и наименьшего значений.

Докажем принцип максимума модуля аналитической функции.

Теорема 13.1. Пусть функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного z = x + iy аналитична в ограниченной

области D и непрерывна на её границе Г . Тогда, если функция f (z) не равна тождественно постоянной в области D , то её модуль достигает своего наибольшего значения M на множестве D = D Г лишь в точках границы Г области D , т.е.

f (z)

< M , z D .

(13.6)

: z D |

f (z)

= M . Пусть G = {z D |

f (z)

= M } . Если предположить, что G = D , т.е.

f (z)

≡ M

для "z Î D ,

то в силу леммы 13.2

f (z) ≡ const , "z Î D , а это противоречит условию теоремы. Значит, G ¹ D (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Тогда существует граничная точка z0 множества G , принадлежащая области D. Пусть n Î N . По определению граничной точки множества, для

O1 ( z0 ) zn O1 ( z0 ) | zn G .

n n

Получили последовательность {z

n

} G | z

n

→ z

0

, ибо

1

→ 0 при n → ∞ . Функция

f (z)

непрерывна в точке z

0

, т.е.

n→∞

n

f ( z )

=

f ( z0 )

.

lim

Тогда [2.8, с. 486]

z→z0

lim

f ( zn )

=

f ( z0 )

.

(13.7)

f ( zn )

n→∞

Имеем zn G , т.е.

= M , "n Î N . Тогда в силу (13.7)

f ( z0 )

= lim

f ( zn )

Получили

n→∞

Имеем z

0

Î D , следовательно, $ O%

( z

0

) | O% ( z

0

) Ì D . Так как z

0

δ

δ

Следовательно,

= lim M = M .
n→∞
		f ( z0 )				= M .	(13.8)
– граничная точка множества G , то $ z*							ÎOδ (z0 )| z* Î G .
							~
	f ( z* )			< M .			(13.9)

Рассмотрим окружность γ с центром в точке z

радиуса r =

z

- z

. Заметим, что g,

I

γ

Ì O% ( z

) , следовательно, g,

0

*

0

δ

0

I γ Ì D . Функция f (z) аналитична в односвязной области I γ и на её границе g. Следовательно, по интегральной формуле

Коши

f ( z0 ) =

1

∫

f (z)

d z .

(13.10)

2pi

z - z

0

γ

Функция

f (z)

непрерывна в точке z* , т.е.

lim

f ( z )

=

f ( z* )

.

(13.11)

f ( z* )

z→z*

Возьмём e > 0 |

< M - e (такой выбор возможен в силу (13.9)) (рис. 13.2).

Рис. 13.2

Тогда, в силу (13.11), для числа M − ε $Oδ (z* )| "z ÎOδ (z* ) f ( z ) < M - e . Пусть g1 = g ÇOδ (z* ) , g2 = g \ g1 . Тогда

f ( z )			< M - e , "z Î g1 ;			(13.12)
	f ( z )				£ M , "z Î g 2 .	(13.13)

В силу свойства аддитивности интеграла (см. формулу (10.26)) равенство (13.10) можно записать в виде

f (z0 ) =

1

f (z)

dz +

1

f (z)

dz .

2pi

∫ z - z

2pi ∫ z - z

γ1

0

γ2

0

Используя формулы (1.25), (1.20), (1.23), получаем из (13.14)

f ( z0 )

1

∫

f (z)

1

∫

f (z)

£

d z

+

d z

.

2p

z - z

2p

z - z

γ1

0

γ2

0

Заметим, что

= r , ζ γ ,

в частности, для "z Î g1 , "z Î g 2 . В силу (13.12), (13.16)

z - z0

f (z)

=

f (z)

<

M - e

, "z Î g1 .

z - z0

z - z0

r

В силу (13.13), (13.16)

f (z)

=

f (z)

£

M

, "z Î g 2 .

z - z0

z - z0

r

Тогда в силу оценки (10.34)

∫

f (z)

d z

£

M - e

lγ1 ,

γ1

z - z

0

r

(13.14)

(13.15)

(13.16)

(13.17)

∫

f (z)

d z

£

M

lγ2 ,

(13.18)

z - z

γ2

0

r

где lγ и lγ

– длины кривых g1 и g 2

соответственно.

1

2

В силу (13.15), (13.17), (13.18)

f ( z0 )

£

1

M - e

lγ1 +

M

=

lγ2

2p

r

r

=

1

M

(lγ

+ lγ

) - e lγ

=

1

M

lγ

- e lγ

=

2

2p

1

r

1

2p

r

1

r

r

=

1 M

2pr - e lγ

= M -

e

lγ

< M .

2p

r

1

2pr

1

r

Получили

f ( z0 )

< M , что противоречит (13.8). .

Следствие 13.1. Если модуль аналитической в области D и непрерывной на границе Г области D функции f (z)

принимает наибольшее значение в точке z0 Î D , то f (z) º const

в области D .

Следствие 13.2.	Пусть функция f (z) не является постоянной в области D , аналитична в D , непрерывна на границе Г
области D и, кроме	того, f (z) ¹ 0 для "z Î		= D È Г . Тогда модуль функции f (z) достигает своего наименьшего
		D

значения m на множестве D = D È Г лишь в точках границы Г области D , т.е.

f (z) > m , z D .

Действительно,

рассмотрим функцию g (z) =

1

. Функция g(z)

удовлетворяет

условиям

теоремы 13.1.

f (z)

Следовательно,

g(z)

=

1

достигает своего наибольшего значения на множестве

= D È Г лишь в точках границы Г .

D

f (z)

g(z)

f (z)

Но

достигает своего наибольшего значения в тех точках, в каких

достигает своего наименьшего значения.

Следовательно,

f (z)

достигает своего наименьшего значения на множестве

= D È Г лишь в точках границы Г .

D

Следствие 13.3. Если функция f (z) аналитична в области D , непрерывна на границе Г области D ,

не имеет нулей в

замкнутой области

= D È Г и её модуль принимает наименьшее значение в точке z0 Î D , то

f (z) º const

в области D .

D

14.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

СКОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Функциональный ряд; точки сходимости и область сходимости функционального ряда; частичная сумма и сумма функционального ряда; остаток функционального ряда; связь между сходимостью функционального ряда и сходимостью его остатка; точки абсолютной сходимости и область абсолютной сходимости функционального ряда; равномерно сходящиеся ряды; мажорируемые ряды; признак Вейерштрасса; теорема о непрерывности суммы функционального ряда; теорема о почленном интегрировании функционального ряда; теорема о почленном дифференцировании функционального ряда; степенные ряды: теорема Абеля; интервал сходимости, радиус сходимости; теорема о равномерной сходимости степенного ряда; теорема о непрерывности суммы степенного ряда; теорема о почленном интегрировании степенного ряда; теорема о почленном дифференцировании степенного ряда.

Рассмотрим функциональный ряд с комплексными членами

f1 (z)+ f2 (z)+ ... + fn (z)+ ...

или в более краткой записи

∞	(z) ,
∑ fn		(14.1)

n=1

где f n (z) ( n Ν ) – некоторые заданные функции комплексного переменного z G , G Χ , называемые членами ряда.

Основные понятия для ряда (14.1) вводятся точно так же, как и для функционального ряда с вещественными членами. Каждому фиксированному значению z0 ÎG соответствует числовой ряд с комплексными членами

∞	(z0 ).
∑ fn		(14.2)

n=1

Этот числовой ряд либо сходится, либо расходится.

Значение z0 G называется точкой сходимости функционального ряда (14.1), если соответствующий числовой ряд

(14.2) сходится.

Областью сходимости функционального ряда (14.1) называется множество всех его точек сходимости.

Заметим, что область сходимости функционального ряда не обязательно является открытым множеством, т.е. не обязательно является областью в смысле определения 7.13.

Обозначим область сходимости функционального ряда (14.1) через D. Ясно, что D G . n-й частичной суммой функционального ряда (14.1) называется сумма его первых n членов:

n

Sn (z) = ∑ fk (z).

k =1

Если z D , то соответствующий числовой ряд

∞

∑ fn (z)

n=1

сходится. Следовательно, по определению сходимости числового ряда, существует конечный предел S(z) n-й частичной суммы S n (z) при n → ∞ :

S(z) = lim Sn (z ) .	(14.3)
n→∞

Суммой функционального ряда (14.1) называется функция S(z) , определяемая на области сходимости этого ряда с помощью соотношения (14.3)

Если S(z) – сумма функционального ряда (14.1), то используют обозначение

S(z) = f1 (z)+ f2 (z)+ ... + fn (z)+ ...

или

∞

S(z) = ∑ fn (z) .

n=1

n-м остатком (или остатком после n-го члена) функционального ряда (14.1) называется функциональный ряд,

получаемый из ряда (14.1) путём отбрасывания его первых n членов, т.е. функциональный ряд вида fn+1 (z)+ fn+2 (z)+ ... + fn+m (z)+ ...

или в более краткой записи

	∞
	∑ fn+m (z) .	(14.4)
	m=1
Теорема 14.1.	Если z D , то при любом фиксированном n -й остаток (14.4) функционального ряда (14.1) сходится и
его сумма rn (z) выражается формулой
	rn (z) = S(z)− Sn (z ), z D .	(14.5)
Теорема 14.2.	Если z G и при некотором фиксированном n -й остаток (14.4) функционального ряда (14.1) сходится,
то сходится также ряд (14.1) и его сумма S(z) выражается формулой

S(z) = Sn (z)+ rn (z).

Доказательство теорем 14.1, 14.2 аналогично доказательству соответствующих утверждений для рядов с вещественными членами [2.14, с. 260].

В силу (14.3), (14.5) получаем
lim r (z) = 0 , z D .		(14.6)
n→∞	n

Значение z0 G называется точкой абсолютной сходимости функционального ряда (14.1), если соответствующий числовой ряд (14.2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд

∞

∑ fn ( z0 ) .

n=1

Областью абсолютной сходимости функционального ряда (14.1) называется множество всех его точек абсолютной сходимости.

Обозначим область абсолютной сходимости функционального ряда (14.1) через Da . В силу теоремы 4.5 справедливо

включение Da Í D .

Согласно данному выше определению, функциональный ряд (14.1) сходится на множестве D , если он сходится в каждой точке этого множества. Такая сходимость функционального ряда называется поточечной сходимостью. В силу

(14.3) поточечная сходимость означает следующее:

z D и "e > 0 $ N = N (z, e) | "n > N

Sn ( z ) - S ( z )

< e .

(14.7)

Заметим, что в силу (14.5) и равенства

Sn ( z ) - S ( z )

=

S ( z ) - Sn ( z )

вместо (14.7) можно записать

z D и "e > 0 $ N = N (z, e) | "n > N

rn ( z )

< e .

(14.8)

В некоторых случаях для любого заданного ε > 0 удаётся указать такой номер N , который пригоден сразу для всех

z D .

Дадим соответствующее определение.

Функциональный ряд (14.1) называется равномерно сходящимся на множестве Ω D , если

"e > 0 $ N = N (e) , N не зависит от z | n > N

Sn ( z ) - S ( z )

< e , z Ω ,

(14.9)

или в силу (14.5)

rn ( z )

< e , z Ω .

(14.10)

В дальнейшем неоднократно будет использовано следующее утверждение.

Теорема 14.3. Если функциональный ряд (14.1) равномерно сходится на множестве Ω к функции S (z) , то для любой функции j(z), ограниченной по модулю на множестве Ω , ряд

				∞			(z)
				∑j(z) fn				(14.11)
				n=1
равномерно сходится на множестве Ω	к функции	%	( z ) = j( z ) S ( z ) .
		S
Пусть функция j(z) ограничена по модулю на множестве Ω , т.е. $ M > 0 |
				j( z )		£ M , z Ω .		(14.12)

Зафиксируем произвольное сколь угодно малое ε > 0 . Тогда, в силу равномерной сходимости ряда (14.1) на множестве Ω , для числа

%	e		e
		$ N = N			= N (e), N не зависит от z |
e =
	M		M

"n > N		Sn ( z ) - S ( z )		<	e	, z Ω .	(14.13)
					M
Заметим, что n-я частичная сумма ряда (14.11) имеет вид

n

% ( ) = ∑j( ) ( )

Sn z z fk z

k =1

n

= j( z )∑ fk ( z ) = j( z ) Sn ( z ) .

k =1

Тогда

S

( z ) - S

( z ) = j( z ) S

( z ) - S ( z ) .

%

n

%

n

Используя оценки (14.12), (14.13), получаем для n > N , z Ω :

%

%

e

S

n

( z ) - S ( z )

=

j( z ) S

n

( z ) - S ( z )

=

j( z )

×

S

n

( z ) - S ( z )

< M ×

= e .

M

Получили следующее: для "e > 0

$ N = N (e), N не зависит от

z | n > N

%

%

( z )

< e , z Ω , а это означает,

Sn ( z ) - S

что ряд (14.11) равномерно сходится на множестве Ω к функции j( z ) S ( z ) .

Функциональный ряд (14.1) называется мажорируемым на множестве G1 Í G , если существует сходящийся числовой

ряд

			∞
			∑an , an ³ 0 ,	(14.14)
			n=1
такой, что
	fn ( z )		£ an , "z ÎG1 , n Ν ,	(14.15)

при этом, числовой ряд (14.14) называется мажорантным рядом или мажорантой функционального ряда (14.1). Укажем достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда (14.1).

Теорема 14.4 (признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд (14.1) мажорируется на множестве G1 Í G , то он

равномерно сходится на этом множестве.

Теорема 14.4 доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для функциональных рядов с вещественными членами [2.5, с. 127].

Укажем некоторые свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 14.5. Если члены ряда (14.1) непрерывны на множестве D1 Í D и этот ряд сходится равномерно на D1 , то сумма ряда S (z) непрерывна на D1 .

Теорема 14.5 называется теоремой о непрерывности суммы функционального ряда. Её доказательство аналогично

доказательству соответствующего утверждения для функциональных рядов с вещественными членами [2.5, с. 128].
Следствие 14.1.	Если члены ряда (14.1) непрерывны на множестве D1 и этот ряд сходится равномерно на D1 , то
предел его суммы S (z)	в произвольной фиксированной точке z0 Î D1 равен сумме ряда, составленного из пределов членов
ряда (14.1) в этой точке z0 :
		∞
	lim S (z) = ∑ lim fn (z).			(14.16)
	z→z0	n=1 z→z0
Действительно, в силу теоремы 14.5 сумма ряда S (z) непрерывна во взятой точке z0 , т.е.
	lim S (z) = S (z0 ) .			(14.17)
	z→z0
В силу непрерывности	f n (z) в точке z0
	lim fn (z) = fn (z0 ), n Ν .
	z→z0
Тогда	∞	∞
			fn (z).
	S (z0 ) = ∑ fn	(z0 ) =∑ lim		(14.18)
	n=1	n=1 z→z0
Из (14.17), (14.18) следует (14.16).
Соотношение (14.16) записывают также в виде
	∞	∞	fn (z)
	lim ∑ fn	(z) =∑ lim		(14.19)
	z→z0 n=1	n=1 z→z0

и говорят о почленном переходе к пределу в равномерно сходящемся ряде.

Равенство (14.19) означает, что для равномерно сходящегося ряда знак предела и знак суммирования можно переставлять местами.

Ещё раз подчеркнём, что запись (14.19) понимается так: предел суммы ряда (14.1) в точке z0 равен сумме ряда

∞

∑ lim f n (z) (в этой записи суммы рядов обозначены теми же символами, что и сами ряды).

n=1 z→ z0

Теорема 14.6. Пусть все члены функционального ряда (14.1) непрерывны на гладкой или кусочно-гладкой кривой γ и

этот ряд сходится равномерно на γ . Тогда числовой ряд, составленный из интегралов от членов ряда (14.1) вдоль кривой γ ,

сходится и его сумма равна интегралу от суммы S (z) ряда (14.1) вдоль кривой γ :

∞
∑ ∫ fn ( z ) dz = ∫ S ( z ) dz .		(14.20)
n=1 γ	γ

Доказательство теоремы 14.6 аналогично доказательству соответствующего утверждения для функциональных рядов с вещественными членами [2.5, с. 129].

Соотношение (14.20) записывается также в виде

∫	∞		∞
	∑ fn ( z ) dz = ∑ ∫ fn ( z ) dz			(14.21)
γ	n=1		n=1 γ

и говорят о почленном интегрировании функционального ряда.

Равенство (14.21) означает, что для равномерно сходящегося ряда знак интеграла и знак суммирования можно переставлять местами.

Теорема 14.6 называется теоремой о почленном интегрировании функционального ряда.

Теорема 14.7 (теорема Вейерштрасса). Если члены ряда (14.1) аналитичны в односвязной области D и этот ряд сходится равномерно в D , то его сумма S (z) аналитична в D и справедлива формула

∞
S (k ) (z) = ∑ fn(k ) (z) . "k Î N .	(14.22)

n=1

Покажем, что сумма S (z) удовлетворяет условиям теоремы Морера (см. теорему 12.5). Из аналитичности членов ряда в области D следует, в силу замечания 9.3, их непрерывность в D . По условию теоремы ряд сходится равномерно на D . Тогда в силу теоремы 14.5 его сумма S (z) непрерывна в D . Пусть γ – любой замкнутый простой гладкий или кусочно-

гладкий контур, расположенный в D . Члены ряда непрерывны на контуре γ . Из равномерной сходимости ряда на D

следует его равномерная сходимость на γ . Тогда в силу теоремы 14.6

	∞
∫ S ( z ) dz = ∑ ∫ fn ( z )dz .		(14.23)
γ	n=1 γ
В силу теоремы 11.1 и замечания 11.2
∫	fn ( z ) dz = 0 , n N .	(14.24)
γ
В силу (14.23), (14.24)
∫ S ( z ) dz = 0 .
γ
Итак, функция S (z) удовлетворяет условиям теоремы Морера, следовательно,	S (z) аналитична в D. Значит, в силу теоремы

12.4 S (z) бесконечно дифференцируема в области D. Докажем справедливость формулы (14.22). Зафиксируем произвольную точку z0 Î D и произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур L D, охватывающий точку z0 Î I L ,

где I L – внутренность контура L (рис. 14.1).

					Рис. 14.1
Положим d = min		z - z0		.	Заметим, что d > 0, ибо z0 является внутренней точкой области				IL , т.е.
z L
$Oδ (z0 )| Oδ (z0 ) Ì IL d > d > 0.					Имеем
						z - z0		³ d > 0 , z L .	(14.25)

Пусть k Ν , k фиксировано. Рассмотрим ряд

∞

fn (z )

∑

.

(14.26)

n=1

(z − z0 )k +1

Рассмотрим функцию ϕ(z ) =1/ (z − z0 )k +1 . В силу (14.25) для z L получаем

ϕ(z )

=

1

=

1

≤

1

,

(z − z0 )k +1

z − z0

k +1

d k +1

т.е. функция ϕ(z) ограничена по модулю на множестве L . По условию теоремы ряд (14.1) сходится равномерно в D , в

частности, он сходится равномерно на L D . Следовательно, в силу теоремы 14.3, ряд (14.26) сходится равномерно на L к

	%	(z ) = S (z )/ (z − z0 )	k +1	.
функции	S
Имеем:
а) члены					fn (z )
				gn (z ) =			n Ν ,
						,
					(z − z0 )k +1

ряда (14.26) непрерывны на кривой L (каждая функция g n (z) аналитична на L как отношение двух аналитических на L

функций, следовательно, в силу замечания 9.3, g n (z) непрерывна на L );

б) ряд (14.26) сходится равномерно на L . Следовательно, в силу теоремы 14.6

		∞
∫	%	(z )dz = ∑∫ gn (z )dz ,
	S
L		n=1 L
т.е.
			S (z )		∞	f	n	(z )
		∫			dz = ∑∫					dz .	(14.27)
			(z − z0 )	k +1		(z − z0 )			k +1
		L			n=1 L

Функции S (z), f n (z), n Ν , аналитичны в области D , в частности, они аналитичны в односвязной области I L D и на ёе границе L . Тогда в силу следствия 12.3

S

(

z

)

dz =

2πi

S (k ) (z0 ),

∫L (z − z0 )k +1

k !

fn (z )

dz =

2πi

fn(k ) (z0 ) , n Ν ,

∫L (z − z0 )k +1

k !

и соотношение (14.27) принимает вид

S (k ) (z0 )

∞

= ∑ fn(k ) (z0 ).

n=1

Значит, в силу произвольности выбора z0 D , справедлива формула (14.22).

Соотношение (14.22) записывают также в виде

∞

(k )

∞

∑ fn (z )

= ∑ fn(k ) (z ), k Ν ,

(14.28)

n=1

n=1

и говорят о почленном дифференцировании функционального ряда.

Равенство (14.28) означает, что для равномерно сходящегося ряда знак производной и знак суммирования можно переставлять местами.

Теорема 14.7 называется также теоремой о почленном дифференцировании функционального ряда.

Замечание 14.1. Теорема Вейерштрасса сохраняет силу, если в качестве D выступает многосвязная область. Действительно, пусть D – многосвязная область. Зафиксируем произвольную точку z0 D . Рассмотрим Oδ (z0 ) D . В

силу теоремы 14.7 сумма S (z) аналитична в Oδ (z0 ), в частности, S (z) аналитична в точке z0 . Следовательно, в силу произвольности выбора точки z0 D , S (z) аналитична в D .

Частным случаем функциональных рядов с комплексными членами являются степенные ряды.

Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида