Госы 5к Надя / fomin-a

ограниченным множеством. Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса для вещественных функций двух

вещественных переменных [2.8, с. 496] функция		f (ζ )		ограничена на L2 , т.е. функция	f (ζ) ограничена по модулю на L2 .
Из равномерной сходимости ряда (16.17) на L2 и ограниченности по модулю функции					f (ζ) на L2 вытекает в силу теоремы
14.3 равномерная сходимость на L2 ряда

∞

(ζ )

( z − z0 )

n

∑ f

(ζ − z0 )n+1

n=0

к функции

%

(ζ ) = f (ζ ) / (ζ − z ) . Следовательно, соотношение (16.19) можно записать в виде

S

1

∞ ( z − z

0

)n

f (ζ)

I1 =

∫

∑

n+1

d ζ .

2πi

(ζ − z0 )

L2

n=0

Члены ряда (16.20) непрерывны на L2 и этот ряд сходится равномерно на L2 . Следовательно, в силу теоремы 14.6

∞

( z − z )n

f (ζ)

∞

( z − z )n f (ζ )

d ζ =

∫

∑

0

n+1

d ζ = ∑ ∫

0

n+1

(ζ − z0 )

n=0 L2

(ζ − z0 )

L2 n=0

∞		n		f (ζ )
= ∑	( z − z0 )		∫			d ζ .
					n+1
			L2 (ζ − z0 )
n=0

В силу (16.21), (16.22)

∞

I1 = ∑cn ( z − z0 )n ,

n=0

где

Далее, для ζ L1 имеем

Заметим, что для ζ L1

ζ − z0 z − z0

Следовательно, в силу (14.36)

В силу (16.25), (16.26)

Оценим общий член χn (ζ) ряда

Для n Ν и ζ L1 получаем

c =

1

L∫

f (ζ )

d ζ , n Ν {0}.

2πi

(ζ − z0 )n+1

n

2

1

1

1

1

−

= −

(ζ − z

)− (z − z

)

=

.

ζ − z

0

0

z − z

0 1

−

ζ − z0

z − z0

=

ζ − z0

=

r1

< 1 .

z − z0

z − z0

1

∞

ζ − z

0

n−1

= ∑

.

1− ζ − z0

n=1 z − z0

z − z0

1

∞

(ζ − z0 )n−1

−

= ∑

( z − z0 )n

.

ζ − z

n=1

∞

(ζ − z

)n−1

∑

0

n=1

( z − z0 )n

(16.20)

(16.21)

(16.22)

(16.23)

(16.24)

(16.25)

(16.26)

(16.27)

(16.28)

χn (

ζ )

(ζ − z

)n−1

ζ − z

n−1

r n−1

=

0

=

0

=

1

=

( z − z0 )n

z − z0

n

z − z0

n

=

1

r1

n−1

=

1

qn−1

= b ,

=

r1

< 1 .

q

2

z − z0

z − z0

z − z0

2

n

z − z0

Знакоположительный ряд

∞

∞

n−1

∑bn =

∑

q2

(16.29)

n=1

n=0

z − z

0

сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем

q2 (0; 1) .

Итак, ряд

(16.28)

мажорируется на множестве L1 сходящимся числовым рядом (16.29). Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд (16.28)

сходится равномерно на окружности L1 . В силу (16.27) второе слагаемое в правой части (16.13) принимает вид

1

f (ζ)

1

∞ (ζ − z0 )n−1

(

ζ) ∑

I2 = −

2πi

∫ ζ − z

d ζ =

2πi

∫ f

n

d ζ .

(16.30)

L1

L1

n=1 ( z − z0 )

Из равномерной сходимости ряда (16.28) на L1 и ограниченности по модулю функции

f (ζ) на L1 вытекает в силу теоремы

14.3 равномерная сходимость на L1 ряда

			∞	(ζ − z0 )	n−1
			∑ f (ζ )
				( z − z0 )n
			n=1
	%	(ζ ) = − f (ζ ) / (ζ − z ) . Следовательно, соотношение (16.30)
к функции	%		можно записать в виде
	S

		1		∞	(ζ − z	0	)n−1		f (ζ )
I2	=		∫	∑						dζ .
		2πi			( z − z			)	n
			L1	n=1
							0

Члены ряда (16.31) непрерывны на L1 и этот ряд сходится равномерно на L1 . Следовательно, в силу теоремы 14.6

∞

(ζ − z0 )n−1 f (ζ)

∞

(ζ − z0 )n−1

f (

ζ )

∫

∑

dζ = ∑ ∫

dζ =

( z − z0 )

n

( z − z0 )

n

n=1 L1

L1 n=1

∞

1

f (ζ)

= ∑

d ζ .

)n ∫

(ζ − z

)−n+1

n=1

( z − z

0

0

L1

В силу (16.32), (16.33)

∞

c−n

I

2 = ∑

,

− z0 )n

n=1 ( z

где

f (ζ )

c

=

1

dζ , n Ν {0}.

2πi L∫ (ζ − z0 )−n+1

−n

1

В силу (16.13), (16.23), (16.34)

∞

∞

c−n

f ( z ) = ∑cn ( z − z0 )

n

+ ∑

,

( z

− z

n=0

n=1

)n

0

(16.31)

(16.32)

(16.33)

(16.34)

(16.35)

(16.36)

где коэффициенты cn , c−n выражаются соответственно формулами (16.24), (16.35). Заменяя в формулах (16.24), (16.35) окружности L1, L2 на произвольный контур L , удовлетворяющий условиям теоремы (это можно сделать в силу замечания 16.2) и объединяя полученные формулы, приходим к формуле (16.10) для вычисления коэффициентов cn в представлении

(16.36).

Двусторонний степенной ряд в правой части представления (16.9) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле

(16.10), называется	рядом Лорана функции f (z) в кольце K r,R (z0 ) (по степеням z − z0 или	с центром в точке z0 ).
Соотношение (16.9)	представляющее аналитическую функцию в виде суммы её ряда Лорана,	называется разложением

функции f (z) в ряд Лорана в кольце K r,R (z0 ) (или лорановским разложением функции f (z) в кольце K r,R (z0 ) ) (по степеням z - z0 или с центром в точке z0 ), при этом кольцо K r,R (z0 ) называется кольцом сходимости ряда Лорана.

Первый ряд в представлении (16.9), т.е. ряд по неотрицательным степеням z - z0 называется правильной частью ряда Лорана (правильной частью лорановского разложения); второй ряд в представлении (16.9), т.е. ряд по отрицательным степеням z - z0 называется главной частью ряда Лорана (главной частью лорановского разложения) функции f (z) в

кольце K r,R (z0 ) .

Замечание 16.3. Ряд Лорана аналитической в кольце K r,R (z0 ) функции f (z) абсолютно сходится в этом кольце. Действительно, в силу замечания 16.1 правильная часть ряда Лорана абсолютно сходится в открытом круге OR (z0 ) ,

главная часть ряда Лорана абсолютно сходится на множестве C \ Or (z0 ) . Следовательно, ряд Лорана абсолютно сходится в

кольце K r,R (z0 ) .
Замечание 16.4. Ряд Лорана аналитической в кольце K r,R (z0 ) функции f (z) сходится		равномерно на любом
замкнутом ограниченном множестве G Ì Kr,R ( z0 ) (см. следствие 14.3).
Аналогом замечания 15.2 является следующее утверждение [1.4, с. 227].
Теорема 16.3.	Всякий двусторонний степенной ряд (16.7), сходящийся в кольце K r,R (z0 ) ,	является рядом Лорана
своей суммы S(z) в этом кольце.
В силу теорем 16.2, 16.3 справедливо следующее утверждение.
Теорема 16.4.	Функция f (z) , аналитическая в кольце K r,R (z0 ) , единственным образом представима в этом кольце в

виде суммы двустороннего степенного ряда по степеням z - z0 и этот двусторонний степенной ряд является рядом Лорана функции f (z) в кольце K r,R (z0 ) .

В силу теоремы 16.4 разложение аналитической в кольце K r,R (z0 ) функции f (z) в ряд Лорана единственно. Поэтому,

чтобы получить такое разложение, не обязательно искать его коэффициенты по формуле (16.10). Достаточно применить какой-либо другой приём (например, использовать известные стандартные разложения), позволяющий представить функцию f (z) как сумму ряда по неотрицательным и отрицательным степеням z - z0 .

В дальнейшем будет показано (см. § 17), что характер изолированной особой точки z0 функции f (z) определяется видом лорановского разложения этой функции в окрестности точки z0 . В связи с этим необходимо уметь решать следующие задачи.

Задача 16.1. Найти представление функции f (z) в виде суммы степенного ряда или двустороннего степенного ряда по степеням z - z0 ( z0 – фиксированная точка комплексной плоскости), т.е. найти разложение функции f (z) в ряд Тейлора или ряд Лорана по степеням z - z0 в её областях аналитичности.

Задача 16.2. Найти представление функции f (z) в виде суммы двустороннего степенного ряда, т.е. найти разложение функции f (z) в ряд Лорана в окрестности её изолированной особой точки z0 (тем самым будет определён тип изолированной особой точки z0 ).

План решения задачи 16.1 таков: находят изолированные особые точки функции f (z). Пусть, например, функция f (z) имеет две изолированные особые точки z1 и z2 . Тогда возможны следующие случаи:

I.

z1 ¹ z0 , z2 ¹ z0 ;

z1 - z0

¹

z2 - z0

.

II.

z1 ¹ z0 , z2 ¹ z0 ;

z1 - z0

=

z2 - z0

.

III.

Одна из точек z1 ,

z 2

совпадает с z0 .

В случае I предположим для определённости,

что

z1 - z0

< <

z2 - z0

. Рассмотрим окружности Sr (z0 ), S R (z0 ), где

r =

z1 - z0

, R =

z2 - z0

.

Тогда областями

аналитичности функции f (z) являются следующие области:

D1 = Or (z0 ),

D2 = Kr, R (z0 ),

D3

= K R,∞ (z0 ) (рис. 16.3).

Рис. 16.3

В случае II в качестве областей аналитичности функции f (z) выступают области: D1 = Or (z0 ) , D2 = Kr ,∞ (z0 ) , где r = z1 − z0 = = z 2 − z0 (рис. 16.4).

				Рис. 16.4
В случае III предположим для определённости,				что z1 = z0 . Тогда областями аналитичности функции f (z) являются
области: D1 = K0,r (z0 ), D2 = Kr ,∞ (z0 ), где r =		z 2 − z0		(рис. 16.5).

Рис. 16.5

Далее, находят разложение функции f (z) по степеням z − z0 в каждой из её областей аналитичности (в случае I в ряд Тейлора в открытом круге Or (z0 ) и в ряд Лорана в каждом из колец K r,R (z0 ) , K R,∞ (z0 ) ; в случае II в ряд Тейлора в

	открытом круге Or (z0 ) и в ряд Лорана в кольце K r,∞ (z0 ); в случае III в ряд Лорана в каждом из колец K 0,r (z0 ) ,					K r,∞ (z0 )).
	Пример 16.1. Найти разложение функции
	f (z) =			2z + 3		(16.37)
		z	2	+ 3z + 2

по степеням z в её областях аналитичности.

В качестве центра разложения выступает точка z0 = 0 . Функция f (z) имеет две изолированные особые точки z1 = −1

и z 2 = −2 (это значения	z ,	при которых знаменатель дроби в правой части (16.37) обращается в нуль). Областями
аналитичности функции	f (z)	являются области D1 = O1 (0), D2 = K1,2 (0) , D3 = K 2,∞ (0) (рис. 16.6).

Используя известный способ разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей [2.8, с. 220], представим функцию f (z) в виде

1		1
f (z) =		+		.	(16.38)
	z +1		z + 2

Рис. 16.6

Используя стандартное разложение (15.37) получаем при z < 1

1

∞

=

∑(−1)n z n ;

(16.39)

z +1

n=0

1

при

z

> 1 (т.е.

< 1 )

z

∞

n 1

n

∞

(−1)n

∞

(−1)n−1

1

1 1

1

=

=

∑(−1)

= ∑

= ∑

; (16.40)

zn+1

z +1 z 1+

1

z n=0

z

n=0

n=1

zn

z

при z < 2 (т.е. z

2

< 1 )

1

1 1

1

∞

n z

n

∞

(−1) n

n

=

=

∑ (−1)

= ∑

z

;

(16.41)

z + 2 2 1 +

z

2 n=0

2

n=0

2 n+1

2

при z > 2 (т.е. 2 < 1 ) z

	1	=	1		1
	z + 2		z 1 +			2

z

Учитывая (16.38) получаем:

в открытом круге O1 (0) ( в силу (16.39), (16.41))

	1	∞	n 2		n	∞	(−1)n 2n
=		∑(−1)				= ∑
							z n+1
	z n=0		z			n=0

∞	(−1)	n−1	2	n−1
= ∑					. (16.42)
		z n
n=1

вкольце

вкольце

f ( z )	∞	∞		(−1)n
	= ∑	(−1)n zn + ∑
				2	n+1
	n=0	n=0
K1,2 (0) (в силу (16.40), (16.41))
		∞				n−1
		f (z) = ∑	(−1)
		n=1		z n

K 2,∞ (0) (в силу (16.40), (16.42))

		∞						zn ;
zn = ∑(−1)n 1 + n+1
						1
	n=0				2
∞		(−1) n
+ ∑				z n ;
	2		n+1
n=0

∞

(−1)

n−1

∞

(−1)

n−1

2

n−1

∞

(−1)

n−1

(1

+ 2

n−1

)

f (z) = ∑

+ ∑

= ∑

.

z n

z n

z n

n=1

n=1

n=1

Итак,

∞

1

, z O1 (0);

∑

(−1)n

1+

zn

2n+1

n=0

(−1)n−1

∞

(−1)n

∞

f ( z ) =

∑

zn + ∑

, z K1,2

(0);

2

n+1

z

n

n=0

n=1

∞

(−1)n−1 (1 + 2n−1 )

∑

, z K2,∞ (0).

zn

n=1

При решении задачи 16.2 находят разложение функции

f (z)

в ряд Лорана в кольце K0,R (z0 ) = {z Χ : 0 <

z − z0

< R},

где R –

расстояние от точки z0

до ближайшей к ней изолированной особой точке

zˆ функции f (z) : R =

zˆ − z0

(если

функция

f (z) имеет единственную изолированную особую точку z0 , то R = ∞ и разложение функции f (z) в ряд Лорана

находят в кольце K 0,∞ ).

Пример 16.2. Найти разложение функции

f (z) = z3 sin

1

z

в ряд Лорана в окрестности её изолированной особой точки z0

= 0 .

Функция f (z) имеет единственную изолированную особую точку z0

= 0 . Следовательно, она разложима в ряд Лорана

в кольце K0,∞ (0) = = {z Χ : 0 <

z

< ∞}. Используя стандартное разложение (15.40), получаем для z K0,∞ (0)

1 2n+1

1

∞

(−1)n

∞

(−1)

n

1

f (z) = z3 sin

= z3 ∑

z

= ∑

=

z

(2n + 1)!

(2n +1)! z 2n−2

n=0

n=0

1

(−1)

n

1

∞

(−1)

n

1

1

∞

(−1)

n

= ∑

+ ∑

= −

+ z 2 + ∑

.

(2n + 1)! z 2n−2

(2n + 1)! z 2n−2

n=0

n=2

6

n=2 (2n + 1)!z 2n−

2

Итак,

f (z) = −

1

∞

(−1)

n

+ z 2 + ∑

, z K 0,∞ (0) .

(16.43)

(2n + 1)!z 2n−2

6

n=2

Заметим, что правильная часть лорановского разложения (16.43) содержит два члена,

а главная часть –

бесконечно

много членов.

17. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ

Устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка; связь между типом особой точки и видом главной части лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки; порядок полюса; признак наличия полюса; кратность нуля функции; признак наличия кратного нуля функции; связь между нулями и полюсами функций; теорема Сохоцкого; случай несобственного комплексного числа z = ∞ ; разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки z = ∞ ; понятие мероморфной функции, её представление в виде суммы целой части и простейших рациональных дробей.

Пусть z0

– изолированная особая точка функции

f (z) . Это означает по определению,

что Oδ (z0 ) , в которой нет

других особых точек функции f (z), т.е. функция f (z)

аналитична в проколотой δ-окрестности точки z0 . Тогда в силу

теоремы 16.2

функция f (z) представима в кольце K 0,δ (z0 )

&

(z0 ) = {z Χ : 0 <

z − z0

< δ}

в виде суммы своего ряда

= Oδ

Лорана:

∞

∞

c−n

f ( z ) = ∑cn ( z − z0 )

n

&

+ ∑

, z Oδ (z0 ) ,

(17.1)

n=0

n=1 ( z − z

)n

0

где

f (ζ )

c =

1

d ζ ,

n Ζ ,

(17.2)

2πi ∫L (ζ − z0 )n+1

n

где L	&
	– произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в Oδ (z0 ) и охватывающий

точку z0 (в частности, в качестве L можно взять любую окружность с центром в точке z0 и радиусом, меньшим δ ). Замечание 17.1. Разложение (17.1) справедливо в максимальном кольце K0,R (z0 ) = {z Î C : 0 < z - z0 < R} (с центром в

точке z0	) аналитичности функции f (z) (здесь R =	z - z	0	– расстояние от точки z	0 до ближайшей к ней изолированной
		ˆ

особой точки zˆ функции f (z) ). При этом если z0 – единственная особая точка функции f (z) , то R = ∞ , т.е. разложение (17.1) справедливо на всей комплексной плоскости, кроме точки z0 .

При изучении функции f (z) в окрестности её изолированной особой точки z0 необходимо знать поведение этой
функции при z ® z0 . В связи с этим вводятся следующие понятия.
Определение 17.1. Изолированная особая точка z0 функции f (z) называется:
1)	устранимой особой точкой, если существует конечный lim f (z) = A ;
	z→z0
2)	полюсом, если lim f (z) = ¥ ;
	z→z0
3)	существенно особой точкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f (z) при z ® z0 .

Теорема 17.1. Изолированная особая точка z0 функции f (z) является устранимой особой точкой этой функции тогда

и только тогда, когда главная часть лорановского разложения (17.1) функции f (z)		в некоторой проколотой d-окрестности
точки z0 равна нулю, т.е. c−n = 0 ,	n Ν .
Необходимость. Пусть z0	– устранимая особая точка функции f (z) , т.е.
	$ lim	f (z) = A ¹ ¥ .	(17.3)
	z→ z0
Покажем, что
	c−n = 0 , n Ν .		(17.4)

Из (17.3) следует в силу теоремы 5.2, что функция f (z) ограничена по модулю в некоторой проколотой d1-окрестности точки z0 , т.е. $M > 0 |

f ( z )

&

(z0 ) .

(17.5)

£ M , "z Î Oδ

1

Положим d2 = min{d, d1}. Возьмём в формуле (17.2) в качестве L окружность g = Sρ (z0 ) с r < d2 . Тогда в силу (17.5)

f ( z )

£ M , z γ .

(17.6)

При любом n Ν получаем

c

=

1

f (z)

d z

=

1

f (z)(z - z

0

)n−1 d z

. (17.7)

−n

2pi ∫γ (z - z0 )−n+1

2p

∫γ

Учитывая (17.6) и равенство

z - z

0

= r , ζ γ , оценим модуль

подынтегральной функции g (z) = f

(z)(z - z

)n−1 на

0

окружности γ :

g (z)

g (z)

=

f (z)(z - z0 )n−1

=

f (z)

z - z0

n−1 £ M rn−1 .

Получили

£ M rn−1 , ζ γ . Тогда, в силу (10.34)

∫ g (z)dz

£ M rn−1lγ = M rn−1 2pr = 2pM rn .

(17.8)

γ

В силу (17.7), (17.8)

0 £

c−n

£ Mrn ,

n Ν , "0 < r < d2 .

(17.9)

Заметим, что

lim (Mrn )= 0 для n Ν . Тогда, переходя в (17.9) к пределу при ρ → 0 + 0 и учитывая, что

lim

c−n

=

c−n

,

ρ→0+0

ρ→0+0

получаем

c−n

= 0 , n Ν , т.е. c−n

= 0 , n Ν .

Достаточность. Пусть выполняется (17.4). Покажем, что справедливо утверждение (17.3). В силу (17.4) разложение (17.1) принимает вид

∞
f ( z ) = ∑ cn ( z - z0 )	n	&	(17.10)
		, z Î Oδ (z0 ) ,

n=0

где cn находятся по формуле (17.2). В силу теоремы 14.12 сумма S(z) степенного ряда в правой части (17.10) непрерывна в

его круге сходимости OR		(z0 ) Ê Oδ (z0 ) (здесь	R =		z - z0	–	расстояние от точки z0	до ближайшей к ней изолированной
					ˆ
особой точки zˆ	функции	f (z) ). В частности,	S(z)	непрерывна в точке z0 , т.е.
							lim S(z) = S(z0 ) .		(17.11)
							z→z0
В силу (17.10)		&		замечания			14.3 S(z0 ) = c0 . Тогда	соотношение (17.11)	принимает вид
	S(z) = f (z) , "z ÎOδ (z0 ). В силу

lim f (z) = c0 .

z→z0

Пусть z0 –

устранимая особая точка функции

f (z) . Тогда справедливо разложение (17.10). В силу теоремы 14.14

сумма S(z) степенного ряда в правой части (17.10)

является

аналитической функцией в своём круге

сходимости

OR (z0 ) Ê Oδ (z0 ) ,

в частности, S(z) аналитична в точке z0 . Учитывая,

что S(z0 ) = c0 , доопределим функцию

f (z) в точке

z0 , т.е. рассмотрим "расширенную" функцию

f ( z ), z Î O ( z ),

f% ( z ) =

&

δ

0

c , z = z

.

0

0

Тогда f% ( z ) = S ( z ) для "z Î Oδ (z0 ) , следовательно, f% ( z )

аналитична в Oδ (z0 ), т.е. доопределив функцию

f (z) в точке z0 ,

мы устранили особую точку z0 .

Пример 17.1. Определим тип изолированной особой точки z0

= 0 функции

f (z) =

sin z

.

z

Точка z0 = 0 является единственной особой точкой функции

f (z) .

Следовательно, f (z) разложима в ряд Лорана в

кольце K0,∞ (z0) = C \ {0}. Используя стандартное разложение (15.40), получаем для "z Î C \ {0}

f ( z ) =

sin z

1

∞

(-1)

n

z

2n+1

∞

(-1)

n

z

2n

=

∑

=

∑

.

z

z n=0

(2n +1)!

n=0

(2n +1)!

Итак,

∞

(-1)

n

z

2n

f ( z ) = ∑

, z Î C \ {0}.

(2n +1)!

n=0

Мы видим, что главная часть лорановского

разложения функции f (z) в

окрестности точки

z0

равна

нулю,

следовательно, в

силу теоремы 17.1 z0 – устранимая

особая

точка

функции

f (z) . Заметим, что

S (0) = 1 .

Тогда

"расширенная" функция

sin z

, z Î C \ {0},

f% ( z ) =

z

1, z = 0

аналитична на всей комплексной плоскости Χ .

f (z)

Теорема 17.2. Изолированная особая точка z0

функции

является полюсом этой функции тогда и только тогда,

когда главная часть лорановского разложения (17.1) функции

f (z) в некоторой проколотой окрестности точки z0

имеет

конечное число ненулевых членов, т.е.

$ m Î N | c−m ¹ 0; c−n = 0, "n > m .

(17.12)

Необходимость. Пусть z0 – полюс функции f (z) , т.е.

$ lim f (z) = ¥ .

(17.13)

z→ z0

Тогда, по определению предела (см. (5.13))

"E > 0

$ Oδ ( z0 ) , d* = d*

(E) | "z Î Oδ ( z0 ) f (z) > E ,

&

*

*

в частности, для числа E = 1

$Oδ (z0 )| "z ÎOδ

(z0 )

f (z)

> 1 . Положим h = min{d, d* }. Тогда

*

*

f ( z )

&

(17.14)

> 1 , "z Î Oh (z0 ) .

&

(z0 ) . Следовательно, можно рассмотреть функцию g(z) =

1

&

( z0 ) . В силу теоремы

В силу (17.14) f (z) ¹ 0 , "z Î Oh

f (z)

,

z Î Oh

9.5 функция g(z) аналитична в

&

&

(z0 ) функций.

В силу (17.13) и замечания

Oh

(z0 ) как отношение двух аналитических в Oh

5.7

lim g(z) = 0 ,

(17.15)

z→z0

а это означает, что точка z0

является устранимой особой точкой функции g(z) . Следовательно, в силу теоремы 17.1

∞

g ( z )

= ∑an ( z - z0 )

n

&

(17.16)

, z Î Oh (z0 ).

n=0

%

Заметим, что a0 = 0 . Действительно, в силу теоремы 14.12 сумма S ( z ) степенного ряда в правой части (17.16) непрерывна в

его круге сходимости O %

( z

) Ê O ( z

%

непрерывна в точке z

, т.е.

0

0

) , в частности, S ( z )

0

R

h

( z )

( z0 ) .

%

%

(17.17)

lim S

= S

z→z0

%

&

В силу замечания

%

принимает вид

В силу (17.16) S ( z ) = g ( z ) ,

"z Î Oh (z0 ) .

14.3 S ( z0 ) = a0 . Тогда соотношение (17.17)

lim g(z) = a0 .

(17.18)

z→z0

Из (17.15), (17.18) следует, в силу теоремы о единственности предела (см. теорему 5.1), что a0			= 0 . Тогда разложение (17.16)
можно записать в виде
∞
g ( z ) = ∑ an ( z - z0 )	n		&	(z0 ),	(17.19)
		, z Î Oh

n=m

где m – некоторое натуральное число, am ¹ 0 . Запишем разложение (17.19) в виде

∞

g ( z ) = ( z - z0 )m ∑ an ( z - z0 )n−m ,

n=m

&	(z0 ).	(17.20)
z Î Oh

	ˆ
В силу теоремы 14.14 сумма S(z) степенного ряда
				∞
				∑ an ( z - z0 )n−m
				n=m
		ˆ	(z)	непрерывна в Oh (z		ˆ		непрерывна в точке
аналитична в Oh (z0 ) . В силу теоремы 14.12 S					0 ) , в частности, S(z)
ˆ	ˆ	ˆ
lim S(z) = S(z0 ) . Заметим, что		S(z0 ) = am . Имеем
z→z0
					ˆ			¹ 0 .
					lim S(z) = am
					z→z0
Из (17.21) получаем в силу замечания 5.5:
		$Oδ (z0 )| "z ÎOδ (z0 ) S(z) ¹ 0 .
				ˆ
			1	1
Положим	p = min{h, d1}. Тогда	ˆ			(z0 ) . Следовательно, функция
		S(z) аналитична и отлична от нуля в Op
					y(z) =	1
						ˆ
						S (z)
аналитична в Op (z0 ) и y(z0 ) =		ˆ	Так как f (z) = 1/ g(z) ,		то в силу (17.20), (17.22)
		1/ S (z0 ) = 1/ am ¹ 0.

z0 , т.е.

(17.21)

(17.22)

f ( z ) =	y ( z )		&	(z0 ) .
			, z Î Op
	( z - z	)m

0

В силу теоремы 15.1

∞

y ( z ) = ∑bn ( z - z0 )n , z Î O p (z0 ),

n=0

при этом	b0 = y(z0 ) = 1/ am ¹ 0	&	(z0 )
		. В силу (17.23), (17.24) для "z ÎO p

∞

f ( z ) = ∑bn ( z

n=0

Преобразуем конечную сумму в правой части (17.25):

		n−m	m−1	bn	∞	n−m
	- z0 )		= ∑		+ ∑ bn ( z - z0 )
				( z - z0 )m−n
			n=0		n=m

m−1

bn

m

bk −1

∑

=

k = n +1

= ∑

=

n = m - (k -1)

=

n=0

( z - z0 )m−n

k =1

( z - z0 )m−(k −1)

1

bm−n

m

bm−n

m

c−n

= ∑

= ∑

=

bm−n = c−n

= ∑

.

n=m

( z - z0 )n

n=1

( z

- z0 )n

n=1

( z - z0 )n

Получили

	m−1	bn
	∑
		( z - z0 )m−n
	n=0

при этом, c−m = b0 ¹ 0 . Далее,

∞		( z - z0 )n−m =				∞
∑ bn					k = n - m	= ∑bm+k ( z - z0 )k =
n=m						k =0
				∞		∞
=	bm+k = ck			= ∑ ck ( z - z0 )k =∑cn ( z - z0 )n .
				k =0		n=0

	m	c−n
	= ∑		,
		( z - z0 )n
	n=1

(17.23)

(17.24)

. (17.25)

(17.26)

Получили

∞

∞

∑ bn ( z - z0 )n−m = ∑cn ( z - z0 )n .

(17.27)

n=m

n=0

В силу (17.25) – (17.27)

&

для "z ÎO p (z0 )

∞

m

c−n

f ( z )

= ∑cn ( z - z0 )

n

+ ∑

,

(17.28)

n=0

n=1

( z - z )n

0

при этом c−m ¹ 0 .

Пусть главная часть лорановского разложения функции f (z) в некоторой проколотой d-окрестности

Достаточность.

точки z0

имеет конечное число ненулевых членов, т.е. справедливо разложение (17.28), в котором c−m ¹ 0 . Покажем, что

точка z0

является полюсом функции f (z) , т.е. выполняется (17.13). Запишем (17.28) в виде

f ( z ) =

1

c

+ c

−(m−1)

( z - z

) + ...

( z - z0 )

0

m −m

∞

( z - z0 )m+n

... + c−1 ( z - z0 )m−1 + ∑cn

.

(17.29)

n=0

В силу теоремы 14.12 сумма y(z) степенного ряда, записанного в квадратных скобках в правой части (17.29), непрерывна в

его круге сходимости, в частности, y(z) непрерывна в точке z0	, т.е. lim y(z) = y(z0 ) . Заметим, что	y(z0 ) = c−m ¹ 0 .
	z→z0
Получили
	lim y(z) = c−m ¹ 0 .	(17.30)
	z→z0