Госы 5к Надя / fomin-a

( z0 и z фиксированы, поэтому члены ряда (15.7) являются функциями комплексного переменного ζ γ ). Для n Ν {0} и ζ γ получаем

gn (ζ)

=

( z − z0 )n

(ζ − z0 )n+1

=

1

z − z

n

=

1

0

r

r

r

=		z − z			n			z − z		n
	ζ − z0			n+1 =				r n+1		=
			0					0

qn , где q = z − z0 < 1 . r

Знакоположительный ряд

∞	∞	q	n
∑ an =∑				(15.8)
n=0	n=0	r

сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q (0;1) [2.5, с. 112]. Итак, ряд (15.7)

мажорируется на множестве γ сходящимся числовым рядом (15.8). Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. теорему

14.4) ряд (15.7) сходится равномерно на окружности γ. В силу (15.6) соотношение (15.3) принимает вид

				f ( z ) =	1		∞	( z − z0 )n
											(15.9)
					2πi	∫ f (ζ ) ∑		(ζ − z0 )	n+1	d ζ .
						γ	n=0
Функция		f (ζ) аналитична на γ , следовательно, в силу теоремы 9.1 она непрерывна на γ. Тогда в силу замечания 5.10 её
		f (ζ )		является непрерывной на γ функцией.
модуль

Заметим, что окружность γ является замкнутым ограниченным множеством. Следовательно, по первой теореме

Вейерштрасса для вещественных функций двух вещественных переменных [2.8, с. 496] функция

f (ζ )

ограничена на γ, т.е.

функция f (ζ) ограничена по модулю на γ, и по второй теореме Вейерштрасса [2.8, с. 496] функция

f (ζ )

достигает на γ

своей точней верхней грани, т.е.

ζ* γ | M * = f (ζ* ) = max

f (ζ )

.

(15.10)

ζ γ

Заметим, что M * зависит от взятой окружности γ , т.е. M * = M * (γ) . Из равномерной сходимости ряда (15.7) на γ и

ограниченности функции f (ζ) по модулю на γ вытекает в силу теоремы 14.3 равномерная сходимость на γ

ряда

∞

(ζ )

( z − z0 )

n

∑ f

(ζ − z0 )n+1

f (ζ)

n=0

~

(ζ) =

. Следовательно, соотношение (15.9) можно записать в виде

к функции

S

ζ − z

f ( z ) =

1

∞

( z − z )n

f (ζ )

∫

∑

0

n+1

dζ .

2πi

(ζ − z0 )

γ

n=0

Члены ряда (15.11) непрерывны на γ и этот ряд сходится равномерно на γ. Следовательно, в силу теоремы 14.6

∫

∞

( z − z )n

f (ζ)

∞

( z − z

)n

f (ζ )

d ζ =

∑

0

n+1

d ζ = ∑ ∫

0

n+1

(ζ − z0 )

n=0 γ

(ζ − z0 )

γ n=0

∞

n

f (ζ )

= ∑ ( z − z0 )

∫

d ζ .

n+1

n=

γ (ζ − z0 )

0

В силу (15.12), (15.13)

∞

1

f (ζ)

f ( z ) = ∑

( z − z0 )n

d ζ

,

2πi

∫

(ζ − z

)n+1

n=0

γ

0

т.е. справедлива формула (15.1) с коэффициентами cn , имеющими вид (15.2).

(15.11)

(15.12)

(15.13)

В условиях теоремы 15.1 функция f (z) аналитична в односвязной области Or (z0 ) и на её границе γ . Значит, в силу

следствия 12.3

f

(

ζ

)

d ζ =

2πi

f (n) ( z0 )

∫γ (ζ − z0 )n+1

n!

и формула для коэффициентов степенного ряда (15.1) принимает вид

c

n

=

f (n) (z0 )

, n Ν {0}

(15.14)

n!

(по определению, f (0) (z0 ) = f (z0 ) ). Тогда соотношение (15.1) можно записать в виде

∞

f (n) ( z

0

)

( z − z0 )n ,

f ( z ) = ∑

z OR (z0 ).

(15.15)

n!

n=0

В случае z0 = 0

f (z)

∞

f

(n)

(0)

= ∑

z n ,

z OR (0) .

(15.16)

n=0

n!

Степенной ряд в правой части представления (15.1) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле (15.2) (или по формуле (15.14)) называется рядом Тейлора функции f (z) в R-окрестности точки z0 . Соотношение (15.1),

представляющее аналитическую функцию f (z) в виде суммы её ряда Тейлора, называется разложением функции f (z) в ряд Тейлора в R-окрестности точки z0 .

Из замечания 14.4 следует Замечание 15.2. Всякий степенной ряд

∞

∑cn ( z − z0 )n ,

n=0

имеющий положительный радиус сходимости R, является рядом Тейлора своей суммы S(z) в R-окрестности точки z0 .

В силу замечания 15.2 справедливо

Замечание 15.3. Если функция w = f (z) аналитична в открытом круге OR (z0 ) и представима в этом круге в виде суммы степенного ряда

∞
f ( z ) = ∑ cn ( z − z0 )n , z OR (z0 ),	(15.17)
n=0

то этот ряд является рядом Тейлора функции f (z) в R-окрестности точки z0 , т.е. коэффициенты этого ряда вычисляются по

формуле (15.14).

В силу теоремы 15.1 и замечания 15.3 справедливо следующее утверждение.

Теорема 15.2. Функция f (z) , аналитическая в открытом круге OR (z0 ) , единственным образом представима в этом круге в виде суммы степенного ряда по степеням z − z0 и этот степенной ряд является рядом Тейлора функции f (z) в R-

окрестности точки z0 .

Следствие 15.1. Функция f (z) , аналитическая в точке z0 , единственным образом представима в некоторой δ-

окрестности точки z0 в виде суммы степенного ряда по степеням z − z0 и этот степенной ряд является рядом Тейлора функции f (z) в δ-окрестности точки z0 .

Действительно, из аналитичности функции f (z) в точки z0 следует её аналитичность в некоторой δ-окрестности этой точки (см. замечание 9.1). Таким образом, функция f (z) аналитична в открытом круге Oδ (z0 ). Значит, в силу теоремы 15.2

справедливо утверждение следствия 15.1.
Замечание 15.4. Если функция	f (z)	аналитична в точке z0	и множество её особых точек непусто, то радиус
сходимости R ряда Тейлора функции	f (z)	в окрестности точки z0	равен расстоянию от точки z0					до ближайшей к ней
особой точки zˆ функции f (z) :
			R =		zˆ − z0		.	(15.18)

Действительно,

из аналитичности функции f (z)

в точке z0 следует её разложимость в ряд Тейлора в некоторой δ-

окрестности

точки

z0 (см. следствие 15.1). Тогда

R = max{δ | функция

f (z) аналитична

в Oδ (z0 )} ,

следовательно,

R =

zˆ − z0

,

где zˆ –

ближайшая к z0 особая точка функции f (z) (таких ближайших к z0

особых точек функции f (z)

может быть несколько, в этом случае они расположены на одной и той же окружности с центром в точке z0 ).

Замечание 15.5. При любом фиксированном z0 Χ целая функция f (z)

представима на всей комплексной плоскости

Χ в виде суммы своего ряда Тейлора по степеням z − z0 :

∞

f ( z ) = ∑cn ( z − z0 )n ,

(15.19)

n=0

где

f (n) (z0 )

c

n

=

, n Ν {0},

(15.20)

n!

или

f (ζ )

c

=

1

d ζ , n Ν {0},

(15.21)

2πi ∫γ (ζ − z0 )n+1

n

где γ – произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, охватывающий точку z0

(в частности, в

качестве γ можно брать любую окружность с центром в точке z0 ).

Действительно,

зафиксируем произвольное z* Χ . Рассмотрим какой-либо открытый круг OR (z0 ) | z* OR (z0 ) (для

этого достаточно взять R >

z* − z0

). По определению целой функции, f (z)

аналитична на всей комплексной плоскости Χ ,

в частности, она аналитична

в открытом круге OR (z0 ) . Следовательно, в силу теоремы 15.1 функция f (z)

представима в

виде суммы своего ряда Тейлора в R -окрестности точки z0 , т.е. в круге OR (z0 ) справедливо представление (15.19), в

частности, такое представление имеет место во взятой точке z* , ибо z* OR (z0 ) . В силу произвольности выбора z*

представление (15.19) справедливо на всей комплексной плоскости Χ .

Часто приходится использовать утверждение замечания 15.5 при z0 = 0 , поэтому выделим этот случай отдельно. Замечание 15.6. Целая функция f (z) представима на всей комплексной плоскости Χ в виде суммы своего ряда

Тейлора по степеням z :

					∞
		f (z) = ∑cn z n ,				(15.22)
			n=0
	где	f (n) (0)
	c =				, n Ν {0},	(15.23)
	n		n!
	или		f (ζ )
	cn =	∫			d ζ , n Ν {0},	(15.24)
			ζn+1
		γ

где γ – произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, охватывающий точку z0 = 0 .

Теорема 15.3. Если функция f (z) аналитична в открытом круге OR (z0 ) , то для коэффициентов её ряда Тейлора в R-

окрестности точки z0 справедлива оценка

c

n

≤

M * (γ)

, n Ν {0},

(15.25)

r n

где r – любое положительное число, меньшее числа R ; γ = Sr (z0 ) – окружность с центром в точке z0 радиуса r ;

M * (γ ) = max

f (ζ)

.

(15.26)

ζ γ

Зафиксируем произвольное r (0, R). Возьмём в формуле (15.2) в качестве контура

n Ν {0} получаем
			1	∫γ	f (	ζ )
	cn	=					dζ		=
			2πi		(ζ − z0 )n+1

В силу (15.26)

γ		окружность S r (z0 ) .						Тогда
1		∫	f (ζ)		d ζ		.	(15.27)
2π			(ζ − z0 )	n+1
		γ

f (z)

£ M * (g) , "z Î g .

(15.28)

Заметим, что

z - z0

= r , "z Î g .

(15.29)

Используя (15.28), (15.29), оценим модуль подынтегральной функции g (z) = f (z) / (z - z0 )n+1 : для "z Î g имеем

g (z)

=

f (z)

=

f (z)

=

f (z)

£

M * (g)

.

(z - z0 )n+1

z - z0

n+1

rn+1

rn+1

В силу оценки (10.34) получаем

f (z)

M * (g)

d z

£

lγ ,

(15.30)

∫γ (z - z0 )n+1

r n+1

где lγ – длина окружности γ . Заметим, что lγ

= 2pr . Тогда, в силу (15.27), (15.30)

1 M

* (g)

M * (g)

cn

£

2pr =

,

2p

r n+1

r n

т.е. справедлива оценка (15.25). Неравенства (15.25) называются неравенствами Коши.

Теорема 15.4 (теорема Лиувилля). Любая целая функция, ограниченная по модулю на всей комплексной плоскости, постоянна.

Пусть целая функция f (z) ограничена по модулю на Χ , т.е.

$ M > 0 :

f ( z )

£ M , z Χ .

(15.31)

В силу замечания 15.5 функция f (z) представима в виде (15.19). Рассмотрим окружность γ

произвольного радиуса r > 0 с

центром в точке z0 = 0 . Возьмём открытый круг OR (0) | g Ì OR (0) .

Функция f (z) аналитична на Χ , в частности она

аналитична в открытом круге OR (0) . Следовательно, в силу теоремы 15.3 для коэффициентов в разложении (15.19)

справедлива оценка (15.25). В силу (15.31)

M * (g) £ M , "g = Sr (0) .

(15.32)

В силу (15.25), (15.32)

0 £

cn

£

M

, "n Î N È{0}, "r > 0 .

(15.33)

lim (M / r n )= 0

r n

=

Заметим, что

для "n Î N . Тогда, переходя в (15.33) к пределу при r → +∞ и учитывая, что

lim

cn

cn

,

r →+∞

r →+∞

получаем в

силу теоремы о

предельном переходе в неравенствах

[2.8, с. 72]:

cn

= 0 ,

"n Î N , т.е. cn

= 0 , "n Î N .

Следовательно, в силу (15.19) f (z) º c0 .

Следствие 15.2. Целые функции sin z и cos z (см. пример 9.1) не являются ограниченными по модулю функциями на всей комплексной плоскости.

Напомним, что эти функции при действительных значениях аргумента ограничены по модулю на R : sin x £ 1 ,

cos x £ 1 , "x Î R .

С помощью теоремы Лиувилля легко доказать следующее утверждение, называемое основной теоремой алгебры комплексных чисел [2.10, с. 147].

Теорема 15.5. Всякий многочлен

	P(z) = a	0	z n + a z n−1	+ ... + a	n−1		z + a	n
			1
степени n ³ 1	, a0 ¹ 0 , с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один корень (один нуль) в поле комплексных чисел.
:	P(z) ¹ 0 , "z Î C . Многочлен P(z) является целой функцией (см. пример 9.3). В силу теоремы 9.5 функция
f (z) = 1/ P(z)	аналитична на C как частное двух аналитических на					C функций, следовательно, f (z) является целой
функцией. Заметим, что
			lim f (z)	= 0 ,
			z→∞

а это означает, что по определению предела (см. (5.15)), что

(0)

f (z)

< e ,

"e > 0 $ O (0), D = D(e) | "z Î C \ O

в частности,

(0)

f (z)

< 1 .

(15.34)

для e = 1 $ O (0) | "z Î C \ O

Функция

f (z)

аналитична на C , следовательно, в силу замечания 9.3 она непрерывна на C , в частности, f (z)

непрерывна

f ( z )

является непрерывной функ-цией на замкнутом ограниченном

на

O

(0) . Тогда, в силу замечания 5.10 её модуль

множестве

O

(0) . Следовательно,

в силу первой теоремы Вейерштрасса для вещественных функций двух вещественных

f ( z )

(0) , т.е.

переменных [2.8, с. 496] функция

ограничена на

O

$ M > 0 :

f ( z )

£ M , "z Î

(0) .

(15.35)

O

Положим

%

f ( z )

%

f (z) ограничена по модулю

M = max {1, M } . Тогда в силу (15.34), (15.35)

£ M , "z Î C , т.е. целая функция

на всей

комплексной плоскости. Следовательно,

по

теореме Лиувилля

f (z) º const,

"z Î C . Противоречие, ибо

f (z) = 1/ P(z) º/ const, "z Î C , так как степень n многочлена P(z) удовлетворяет условию n ³ 1 . . .

Укажем разложения некоторых функций в ряд Тейлора в окрестности точки z0

= 0 ,

т.е.

по степеням z .

В примерах

14.1, 14.2 были получены разложения вида

1

∞

=

∑ z n ,

z Î O1 (0) ;

(15.36)

1- z

n=0

1

∞

= ∑(-1)n z n , z Î O1 (0) .

(15.37)

1+ z

n=0

Разложения (15.36), (15.37) являются частными случаями следующего разложения [1.3, с. 151]:

∞

a (a -1)×...×(a - (n -1))

(1 + z )α = 1 + ∑

zn , z Î O1

(0) . (15.38)

n!

n=1

Используя замечание 15.6 и находя коэффициенты cn

по формуле (15.23), получаем следующие разложения целых функций

e z , sin z ,

cos z :

∞

z

n

ez = ∑

, z Î C ;

(15.39)

n!

n=0

∞

(-1)

n

z

2n+1

sin z = ∑

, z Î C ;

(15.40)

(2n +1)!

n=0

∞

(-1)

n

z

2n

cos z = ∑

, z Î C .

(15.41)

(2n)!

n=0

Функции

e z , sin z , cos z были определены в § 6

по формулам (6.5) –

(6.7), которые совпадают соответственно с

формулами

(15.39) – (15.41). Таким образом, каждая из этих функций была опреде-лена с помощью суммы своего ряда

Тейлора по степеням z .

Используя определения гиперболического синуса и гиперболического косинуса: sh z = (ez

- e− z )/ 2 , ch z = (ez + e− z )/ 2

а также разложение (15.39), получаем следующие разложения целых функций sh z ,

ch z :

∞

z

2n+1

sh z = ∑

,

z Î C ;

(15.42)

n=0

(2n +

1)!

∞

2n

ch z = ∑

z

, z Î C .

(15.43)

n=0

(2n)!

Для главной ветви логарифмической функции справедливо разложение [1.3, с. 150]

∞	(−1)	n	z	n+1
ln(1 + z) = ∑					, z O1 (0) .	(15.44)
n=0	n +1

Используя разложения (15.36) – (15.44), можно получать разложения в ряд Тейлора различных элементарных функций

комплексного переменного.			f (z) = 1/(3z +1) в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = −2 , т.е. по
Пример 15.1. Найдём разложение функции
степеням z + 2 .
Преобразуем функцию f (z) :
f (z) =	1		=	1	= −	1	1			.
	3z +								3(z + 2)
		1 3(z + 2) − 5				5 1 −
							5

Воспользуемся разложением (15.36), взяв в нём в качестве z выражение 3(z + 2) :

	5
f ( z ) = −	1	∞	3(z + 2) n				1
		∑				= −
				5			5
	5 n=0

∞

∑

n=0

	3	n	( z + 2)	n	.	(15.45)
	5

3(z + 2)

z + 2

<

5

Разложение (15.36) справедливо при

z

< 1 , следовательно, разложение (15.45) справедливо при

< 1 или

,

5

3

т.е. в открытом круге O5

(− 2) . Итак,

3

1			1	∞
		= −		∑
3z +1
		5		n=0

	3	n	( z + 2)	n	,
	5

z O5		(−2) .	(15.46)
	3

Заметим, что радиус сходимости степенного ряда в правой части (15.46)

можно было найти по формуле (15.18):

f (z) имеет единственную особую точку zˆ = −

1

1

− (−2)

=

5

.

функция

, следовательно, R =

zˆ − z0

= =

−

Пример 15.2. Найдём разложение функции

3

3

3

f (z) =

z +1

z

2 + 4z − 5

в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = 0 , т.е. по степеням z .

Преобразуем функцию f (z) :

f ( z ) =

z +1

z +1

A

B

=

=

+

=

z2 + 4z − 5

( z + 5)( z −1)

z + 5

z −1

=

2

1

+

1

1

=

2

1

−

1

1

.

3 z + 5 3 z −1 15 1 +

z

3 1− z

5

Воспользуемся разложениями (15.36), (15.37):

z

< 1 , т.е. при

z

< 5

при

5

1=

1+ z

5

∞

∑

n=0

(−1)	n z		n
				;
	5

при z < 1

	1	∞
		= ∑ z n .
	1− z
		n=0

Тогда при z < 1 , т.е. z O1 (0)

f ( z ) =	2	∞	(-1)n
		∑
			5n
	15 n=0

Итак,

	1		∞	1	∞		2 ×(-1)n
zn -			∑ zn =		∑			-1 zn .
							5n+1
	3		n=0	3	n=0

z +1		1	∞		2 ×(-1)n
	=		∑
z2 + 4z - 5		3
			n=0	5n+1

-1 zn , z Î O1 (0) . (15.47)

Как и в предыдущем примере, радиус сходимости степенного ряда в правой части (15.47) можно найти по формуле

(15.18): функция f (z)

имеет две особые точки

ˆ

= -5 ,

ˆ

= 1 .

Ближайшей из них к точке

z0 = 0 является точка

ˆ

= 1 ,

z1

z 2

z 2

следовательно, R =

ˆ

- z0

= =

1- 0

= 1 .

z 2

16. РЯД ЛОРАНА

Ряд по отрицательным степеням z - z0 ; понятие двустороннего степенного ряда; разложение аналитической

функции в ряд Лорана; единственность представления аналитической в кольце функции в виде суммы двустороннего степенного ряда.

Пусть

функция f (z) аналитична

на всей комплексной

плоскости, кроме двух точек z1 и

z 2 , т.е.

z1 , z 2 –

изолированные особые

точки функции

f (z) . Зафиксируем

произвольную

точку z0 Î C | z0 ¹ z1 ,

z0 ¹ z 2

. Положим

r =

z1 - z0

, R =

z2 - z0

. Пусть, для определённости, r < R (для точек z1 , z 2

возможен также случай r = R ,

т.е. особые

точки z1 , z 2 расположены на одной и той же окружности с центом в точке z0 , но такой случай мы не рассматриваем).

Возьмём окружности g = Sr (z0 ) , Г = SR (z0 ) (рис. 16.1).

Рис. 16.1

Окружности

γ

и

Г

выделяют

три

области

аналитичности

функции

f (z)

:

D1 = Or (z0 ),

D2 = {z Î C : r <

z - z0

< R}, D3 = {z Î C :

R <

z - z0

< +¥}.

В области D1 функция

f (z) представима в виде

суммы своего ряда Тейлора по степеням z - z0 (см. теорему 15.2). При решении некоторых задач необходимо знать

представление функции	f (z) в виде суммы ряда в областях D2 и D3 , т.е. в конечном кольце K = {z Î C : r <								z - z0		< R} и
%				%	%
бесконечном кольце K = {z Î C : R <		z - z0	< +¥} (для него		= R, R = +¥ ).
				r
Рассмотрим ряд
					∞	c−n
					∑		,			(16.1)
						( z - z0 )n
					n=1

содержащий целые отрицательные степени z - z0 .

Теорема 16.1. Ряд (16.1) абсолютно сходится на множестве C \ Or (z0 ) и расходится в открытом круге Or (z0 ), где r

вычисляется по любой из формул

r = lim

c−n−1

,

(16.2)

c−n

n→∞

r = lim

.

(16.3)

n

c

n→∞

−n

Положим 1/(z - z0 ) = w . Тогда ряд (16.1) принимает вид

∞

∑c−n wn .

(16.4)

n=1

В силу теоремы 14.9 степенной ряд (16.4) абсолютно сходится в своём круге сходимости O % (0) , т.е. сходится в любой точке

R

w :

w

%

(0) , т.е. расходится в любой точке w :

w

>

%

< R , и расходится вне замкнутого круга O %

R , при этом в силу формул

R

(14.33), (14.34)

%

c−n

R = lim

c−n−1

,

(16.5)

n→∞

или

%

1

R =

lim

.

(16.6)

n

c

n→∞

−n

Учитывая, что

w

= 1/

z - z0

, приходим к следующему выводу: ряд (16.1) абсолютно сходится при любом z :

z - z0

>

1

и

%

1

1

R

расходится при любом z :

z - z

<

. Полагая

= r , получаем: ряд (16.1) абсолютно сходится на множестве C \

(z

) и

O

0

0

%

%

r

R

R

расходится в открытом круге Or (z0 ). Из формул (16.5), (16.6) следуют формулы (16.2), (16.3) для определения r .

На окружности S r (z0 ) поведение ряда (16.1) в смысле сходимости может быть различным.						окружности S r (z0 ) ;
Область сходимости ряда (16.1) имеет вид D1 = ESr (z0 ) È H , где ESr (z0 ) –				внешность
множество всех точек окружности S r (z0 ) , в которых ряд (16.1) сходится.
Множество ESr (z0 ) = C \	Or (z0 ) называется множеством внутренних точек области сходимости ряда (16.1).
Определение 16.1. Двусторонним степенным рядом называется ряд вида
		∞		∞	c−n	∞
		∑ cn ( z - z0 )	n	= ∑		+ ∑cn ( z - z0 )	n	.
					( z - z0 )n
		n=−∞		n=1		n=0

H –

(16.7)

Определение 16.2.	Значение	z* Î C называется точкой сходимости двустороннего степенного ряда (16.7), если в
этой точке сходятся оба ряда в правой части (16.7), т.е. в точке z* сходится рад (16.1) и ряд
		∞
		∑cn ( z - z0 )n .	(16.8)
		n=0
Определение 16.3.	Значение	z* Î C называется точкой абсолютной сходимости двустороннего степенного ряда
(16.7), если в этой точке абсолютно сходятся оба ряда в правой части (16.7).
В силу определения 16.2 область сходимости ряда (16.7) имеет вид D = D1 Ç D2 , где D1 и D2 –			области сходимости
соответственно рядов (16.1) и (16.8).
Замечание 16.1. Для двустороннего степенного ряда (16.7) выполняется:

а) ряд по отрицательным степеням z - z0 , т.е. ряд (16.1) абсолютно сходится на множестве C \ Or (z0 ) ( r вычисляется по любой из формул (16.2), (16.3));

б) ряд по неотрицательным степеням z - z0 , т.е. ряд (16.8) абсолютно сходится в своём круге сходимости OR (z0 ) ( R

вычисляется по любой из формул (14.33), (14.34)).

Действительно, утверждение а) установлено выше; утверждение б) выполняется в силу теоремы 14.10. Возможны следующие случаи:

1)r > R , тогда D = D1 Ç D2 = Æ , т.е. ряд (16.7) расходится на всей комплексной плоскости Χ .

2)r < R , тогда множеством внутренних точек области сходимости ряда (16.7) является кольцо

K r,R (z0 ) = {z Î C : r < z - z0 < R},

называемое кольцом сходимости двустороннего степенного ряда (16.7) (см. рис. 16.1).

На границе ГK

= Sr ( z0 ) È SR ( z0 ) кольца K r,R (z0 ) поведение рядов (16.1),

(16.8) в смысле сходимости может быть

различным.

В случае 2) возможны следующие вырожденные ситуации:

а)

r > 0 ,

R = ∞ , т.е.

Kr,∞ = {z Î C :

z - z0

> r} –

внешность окружности S r (z0 ) ;

б)

r = 0 ,

R = ∞ , т.е.

K0,∞ = {z Î C :

z - z0

> 0} –

вся комплексная плоскость, за исключением точки z0 ;

в)

r = 0 ,

R > 0 , т.е.

K0,R = {z Î C : 0 <

z - z0

< R} – проколотый круг

&

OR (z0 ) .

Теорема 16.2.

Если функция w = f (z)

аналитична в кольце Kr,R (z0 ) = {z Î C : r <

z - z0

< R}, то она представима в

этом кольце в виде суммы двустороннего степенного ряда

∞

∞

∞

c−n

f ( z ) = ∑ cn ( z - z0 )

n

= ∑cn ( z - z0 )

n

+ ∑

,

(16.9)

( z - z

n=−∞

n=0

n=1

)n

0

коэффициенты которого вычисляются по формуле

c

=

1

f (z)

d z,

n Î ,

(16.10)

2pi ∫L (z - z0 )n+1

n

где L –

произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце

K r,R (z0 ) и

охватывающий точку z0 .

Замечание 16.2. Значение интеграла (16.10) не зависит от выбора контура L (важно лишь, чтобы контур L удовлетворял условиям теоремы 16.2) (см. замечание 12.1), в частности, в качестве L можно взять любую окружность с

центром в точке z0 , расположенную в кольце K r,R (z0 ) .
Доказательство теоремы.	Зафиксируем произвольную точку z Î K r,R (z0 ) . Рассмотрим две окружности L1 = Sr (z0 ) и
L2 = S R (z0 )| L1, L2 Ì K r,R (z0 )								1
	и z Î EL ,	z Î I L	, где EL	– внешность окружности L1 ,			I L	– внутренность окружности
1	1	2	1					2
L2 . Возьмём замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур g | g Ì EL					Ç I L	и γ	охватывает точку z (рис. 16.2).
				1	2

Рис. 16.2

Рассмотрим трёхсвязную область G с границей ГG = L2 È L1 È g. Функция h(z) = f (z)/(z - z) аналитична в области G как

отношение двух аналитических функций в этой области (см. теорему 9.5). Следовательно, в силу интегральной теоремы Коши для многосвязной области (см. теорему 11.5)

∫ h (z) d z = ∫ h (z) d z + ∫ h (z) d z ,

	L2	L1		γ
	или после умножения обеих частей равенства на постоянную		1
			2pi

1	L∫	f (ζ )	d ζ =	1	L∫	f (ζ )	d ζ +	1	∫γ	f (ζ )	d ζ . (16.11)
2πi		ζ − z		2πi		ζ − z		2πi		ζ − z
	2				1

Функция f (ζ) аналитична на контуре γ и в односвязной области, ограниченной этим контуром. Следовательно, применима интегральная формула Коши (см. формулу (12.2)), в силу которой

1

∫

f (ζ )

d ζ = f ( z ) .

(16.12)

2πi

ζ − z

γ

Из (16.11), (16.12) получаем

f ( z ) =

1

∫

f (ζ )

d ζ −

1

∫

f (ζ )

d ζ .

(16.13)

2πi

ζ − z

2πi

ζ − z

L

L

2

1

Для любого ζ L2 имеем

Заметим, что для ζ L2

z − z0

ζ − z0

Следовательно, в силу (14.36)

В силу (16.14), (16.15)

Оценим общий член g n (ζ) ряда

=z − z0

ζ− z0

1

=

1

=

1

1

.

ζ − z

(ζ − z

0

)− (z − z

0

)

ζ − z

0

1 −

z − z

0

ζ − z0

=

z − z0

< 1.

R1

1

∞

z − z0

n

= ∑

.

z − z0

n=0

ζ − z

0

1− ζ − z0

1

∞

( z − z0 )n

= ∑

.

ζ − z

n=0

(ζ − z0 )n+1

∞

( z − z

)n

∑

0

n=0

(ζ − z

)n+1

0

(16.14)

(16.15)

(16.16)

(16.17)

( z0 и z фиксированы, поэтому члены

ряда (16.17)

являются

функциями

комплексного переменного

n Ν {0} и ζ L2 получаем

gn (ζ)

( z − z

)n

z − z

n

z − z

n

=

0

=

0

=

0

=

(ζ − z0 )n+1

ζ − z0

n+1

R1n+1

1

z − z

n

1

z − z

0

=

0

=

qn = a ,

q =

< 1 .

R1

R1

1

n

1

R1

R1

Знакоположительный ряд

∞

∞

n

∑an

= ∑

q1

R

n=0

n=0

1

ζ L2 ). Для

(16.18)

сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q1 (0; 1) [2.5, с. 112]. Итак, ряд (16.17) мажорируется на множестве L2 сходящимся числовым рядом (16.18). Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. теорему 14.4) ряд (16.17) сходится равномерно на окружности L2 . В силу (16.16) первое слагаемое в правой части (16.13) принимает вид

I1 = 21πi ∫

L2

f (ζ )

ζ − z

		1
	d ζ =		∫	f (ζ )
		2πi
			L2

∞	( z − z0 )n
∑			d ζ . (16.19)
		n+1
n=0 (ζ − z0 )

Функция f (ζ) аналитична на L2 , следовательно, в силу теоремы 9.1 она непрерывна на L2 , а, значит, в силу замечания 5.10, её модуль f (ζ ) является непрерывной на L2 функцией. Заметим, что окружность L2 является замкнутым