Госы 5к Надя / fomin-a

Замечание 5.3. Если z0 −	предельная точка множества D , то в любой её сколь угодно малой d-окрестности найдётся
бесконечно много точек множества D , отличных от z0 .
	~	&	где	&	&	называется проколотой d-
Действительно, для взятой Oδ (z0 ) $ z		ÎOδ (z0 ) Ç D ,		Oδ (z0 ) = Oδ (z0 ) \ {z0 } ( Oδ (z0 )
окрестностью точки z0 ).	Рассмотрим	%		(для	этого достаточно взять d1 <		%	).	Тогда
		Oδ (z0 ) | z Î Oδ (z0 )					z - z0
&		1	1		&
			(z0 ) | z1 Î Oδ2			(z0 ) Ç D , при этом z 2 ¹ z1 ,
$ z1 ÎOδ1 (z0 ) Ç D . По построению, z1 ¹ z% . Рассмотрим Oδ2					(z0 ) . Тогда $ z 2 ÎOδ2

z2 ¹ z% и т.д. (рис. 5.4).

y

i

0

х

1

5.4. Если

Рис. 5.4

{z n }Ì D ,

z n ¹ z0 ,

Замечание

z0 −

предельная точка

множества D , то

последовательность

n Ν | lim z n = z0 .

n→∞

Действительно, рассмотрим последовательность окрестностей с центром в точке z0

радиуса

1

: O

1 (z0 ), n Ν . Так как

n

n

z0

− предельная точка множества,

&

(z0 ) Ç D

&

Ç D | z 2

¹ z1 ; $ z3

&

(z0 ) Ç D | z3 ¹ z1 , z3

¹ z 2 ; … ;

то $ z1 ÎO1

; $ z 2 Î O1 (z0 )

ÎO1

2

3

&

|

$ zn Î O1 (z0 ) Ç D

n

zn

¹ zk , "1 £ k £ n -1 ;

(5.3)

… (

возможность

выбора

точек,

удовлетворяющих

условию (5.3),

осуществима в

силу замечания

5.3).

Получили

&

(z0 ) Ç D , n Ν . Её члены удовлетворяют условию

последовательность z n ÎO 1

n

z n - z0

<

1

,

n Ν .

(5.4)

n

1

1

Зафиксируем произвольное сколь угодно малое положительное число ε . Положим

N =

+1

, где

−

целая часть числа

e

e

1

e . Тогда, используя неравенство (5.4), имеем для n > N :

zn

- z0

<

1

<

1

=

1

<

1

= e .

1

n

N

1

+1

e

e

Получили "e > 0 $ N = N (e) | "n > N

zn - z0

< e , а это означает,

по определению предела числовой последовательности,

что lim z n = z0 .

n→∞

Пусть задана однозначная функция w = f (z) , z D и z0 −

предельная точка множества D .

Определение 5.6. Комплексное число А называется пределом функции f (z) в точке z0 (или при

z , стремящемся к

z0 ), если для любого сколь угодно малого положительного числа

ε найдётся положительное число

δ , определяемое в

зависимости от взятого числа ε , такое что для любого

z D ,

не равного z0 и отличного от z0 по модулю на величину,

меньшую δ , соответствующее значение функции f (z)

отличается от числа А по модулю на величину, меньшую взятого

числа ε . Обозначение:

lim f (z) = A

(5.5)

z→z0

или f (z) ® A , или f (z) ® A при z ® z0 .

z→ z0

Итак, запись (5.5) означает, по определению, следующее:

"e > 0

$ d = d(e) > 0 | "z Î D : 0 <

z - z0

< d

f (z) - A

< e .

(5.6)

Условия 0 <

z - z0

< d ,

f (z) - A

&

f (z) Î Oε ( A) . Следовательно,

< e из (5.6) означают соответственно, что z0 Î Oδ (z0 ) ,

определение предела функции в точке можно сформулировать на геометрическом языке.

Определение 5.7.

Точка А комплексной плоскости Χ называется пределом функции

f (z) в точке z0 (или при

z ® z0 ), если

"Oε ( A)

&

(5.7)

$ Oδ ( z0 ), d = d(e) | "z Î D ÇOδ ( z0 ) f (z) ÎOε ( A)

(рис. 5.5).

Для функций комплексного переменного справедлива теорема о единственности предела.

Рис. 5.5

Теорема 5.1. Функция комплексного переменного не может иметь в точке двух различных пределов.

Теорема 5.1 доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для вещественной функции вещественной переменной [2.6, с. 131].

Укажем необходимый признак существования конечного предела функции в точке.

Теорема 5.2. Функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена по модулю в некоторой окрестности этой точки.

&

Пусть $ lim f (z) = A . Возьмём какое-либо конкретное число ε > 0 . Тогда в силу (5.7) $Oδ (z0 )| "z Î D Ç Oδ (z0 )

z →z0

выполняется неравенство

В силу (1.29)

f (z) - A

< e .

(5.8)

В силу (5.8), (5.9) получаем

f (z) - A

³

f (z)

-

A

.

(5.9)

f (z)

< e +

A

&

, "z Î D ÇOδ (z0 ) ,

а это означает, что функция f (z) ограничена в Oδ (z0 ) в случае, когда z0 Î D . Если

z0 Î D , то функция

f (z) тоже

ограничена по модулю в Oδ (z0 ), ибо

£ M , "z Î D ÇOδ (z0 ) ,

где M = max{ e +

A

,

f ( z0 )

} .

f (z)

называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) в точке z0 (или при z ® z0 ), если её

Определение 5.8. Функция

f (z)

предел в этой точке равен нулю:

lim

f (z) = 0 , т.е. по определению предела,

z→z0

"e > 0 $ d = d(e) > 0 | "z Î D : 0 <

z - z0

< d

f (z) - 0

=

f (z)

< e .

(5.10)

Условие (5.10) означает, что

lim

f (z)

= 0 . Таким образом,

z→z0

		lim
		z→z0
Замечание 5.5. Если $ lim f (z) = A ¹ 0	, то $Oδ (z	&
		0 )| "z Î D ÇOδ (z0 )
z →z0

f (z) = 0 Û lim		f (z)		= 0 .	(5.11)
z→ z0
f (z) ¹ 0 .

A

&

(z0 )

A

Действительно, по определению предела для числа e =

2

$Oδ (z

0 )| "z Î D Ç Oδ

f (z) - A

<

2

. В силу (1.29)

f (z) - A

=

=

A - f (z)

³

A

-

f (z)

. Из

A

-

f (z)

<

A

,

f (z)

>

A

> 0 ,

последних двух неравенств

получаем

откуда

( z0 ) .

2

2

&

следовательно, f (z) ¹ 0 для "z Î D ÇOδ

Справедливо также следующее утверждение.

Теорема 5.3.

$ lim f (z) = A Û f (z) = A + a(z) ,

z→ z0

где a(z) −

б.м.в. при z ® z0 .

Теорема 5.3 доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для вещественной функции вещественной переменной [2.11, с. 275].

Определение 5.9. Несобственное комплексное число ∞ называется пределом функции f (z) в точке z0 (или при z ® z0 ), если для любого сколь угодно большого положительного числа Е найдётся положительное число δ , определяемое

в зависимости от взятого числа Е, такое что для любого z D , не равного z0 и отличного от z0					по модулю на величину,
меньшую δ , модуль соответствующего значения функции f (z) больше взятого числа Е.
Обозначение:
	lim f (z) = ¥			(5.12)
	z→z0
или f (z) ® ¥ , или f (z) ® ¥ при z ® z0 .
z→ z0
Итак, запись (5.12) означает на символическом языке следующее:
"E > 0	$ d = d(E) > 0 | "z Î D : 0 <		z - z0		< d		f (z)		> E . (5.13)

О функции, для которой выполняется (5.12), говорят, что её предел при					z ® z0 равен бесконечности или что она
стремится к ∞ при z ® z0 . Такую функцию называют бесконечно большой величиной (б.б.в.) при z ® z0 .
Условие (5.13) означает, что lim		f (z)		= +¥ , следовательно,
z→z0				lim f (z) = ¥ Û lim			f (z)		= +¥ .	(5.14)
				z→z0	z→z0

Условие f (z) > E из (5.13) означает, что f (z) ÎOiE (¥) , где OiE (¥) = {z Î C : z > E} − iE -окрестность несобственного комплексного числа ∞ (см. § 3). Следовательно, на геометрическом языке запись (5.12) означает, что

					&	(¥) .
	"Oi (¥) $ Oδ ( z0 ), d = d(E) | "z Î D Ç Oδ ( z0 ) f (z) ÎOi
			E			E
Замечание 5.6. Если	f (z)	−	б.м.в. в точке z0 , то 1 / f (z)	−	б.б.в. в этой точке.
Замечание 5.7. Если	f (z)	−	б.б.в. в точке z0 , то 1 / f (z)	−	б.м.в. в этой точке.

Замечания 5.6, 5.7 справедливы в силу (5.11), (5.14) и верности этих замечаний для вещественных функций

вещественных переменных [2.11, с. 278].

Теорема 5.4. Произведение б.б.в. в данной точке и функции, ограниченной и отличной от нуля в некоторой проколотой окрестности этой точки, есть б.б.в. в этой точке.

Доказательство теоремы 5.4 аналогично доказательству соответствующего утверждения для вещественных функций

вещественной переменной [2.11, с. 276, 278].
Пусть область	определения D функции f (z) является неограниченным множеством. Тогда можно ставить вопрос о
поведении функции	f (z) при стремлении аргумента z к несобственному комплексному числу ∞ .
Определение 5.10. Комплексное число А называется пределом функции f (z) при z → ∞ , если
Обозначение:	"e > 0 $ D = D(e) > 0 | "z Î D :		z		> D		f (z) - A		< e .	(5.15)
	lim f (z) = A									(5.16)
	z→∞
или f (z) ® A , или	f (z) ® A при z → ∞ .
z →∞

Условие z > D из (5.15) означает, что z Î Oi (¥) , где Oi (¥) = {z Î C : z > D}− i -окрестность несобственного комплексного числа ∞ . Следовательно, на геометрическом языке запись (5.16) означает, что

"Oε ( A) $ Oi (¥), D = D(e) | "z Î D Ç Oi (¥) f (z) Î Oε ( A) .

Укажем признак существования предела функции комплексного переменного в точке.

Теорема 5.5. Существование предела A = μ + iν функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного z = x +iy

в точке z0 = x0 + iy0 равносильно существованию предела μ её действительной части u(x, y) и предела ν её мнимой части

v(x, y) в точке (x0 , y0 ).

Необходимость.

Пусть

$ lim

f (z) = A .

(5.17)

z →z0

Покажем, что

$

lim

u(x, y) = m .

(5.18)

( x, y)→( x0 , y0 )

$

lim

v(x, y) = n .

(5.19)

( x, y)→( x0 , y0 )

По определению предела, условие (5.17) означает, что выполняется

(5.6).

Имеем

z - z0 = (x - x0 )+ i(y - y0 ),

f (z) - A = [u(x, y) - m]+ + i [v(x, y) - n]. Следовательно,

z - z

= (x - x

)2 +

(y - y

)2 = r (x, y ), (x , y

) ,

(5.20)

0

0

0

0

0

В силу (5.21) неравенство

f (z) - A

< e из (5.6) принимает вид

f (z) - A

=

[u(x, y) - m]2 + [v(x, y) - n]2

,

(5.21)

[u(x, y) - m]2 + [v(x, y) - n]2

< e .

(5.22)

Далее,

В силу (5.22), (5.23) справедливо неравенство

u(x, y) - m

=

[u(x, y) - m]2

£

[u(x, y) - m]2 + [v(x, y) - n]2 .

(5.23)

u(x, y) - m

< e .

(5.24)

Учитывая (5.6), (5.20) и (5.24) получаем для "e > 0

$ d = d(e) > 0 | "(x, y) Î D : 0 < r

(x, y)

,(x , y

) < d

u(x, y) - m

< e , а

0 0

это означает, по определению предела вещественной функции двух вещественных переменных, что выполняется (5.18).

Аналогично показывается выполнимость (5.19).

Достаточность. Пусть выполнены условия (5.18), (5.19). Покажем, что справедливо (5.17). Зафиксируем произвольное сколь угодно малое ε > 0 . В силу (5.18) для числа

e $ d1

2

В силу (5.19) для числа

e		$ d	2
2

Положим d = min{d1, d2 }.

имеем

				e												Î D : 0 < r (x, y ), (x , y										)				u(x, y) - m			<				e
= d										= d			(e) > 0 | "(x, y)														< d													.
	1										1												0	0			1
			2																										2
= d				e						= d				(e) > 0 | "(x, y) Î D : 0 < r (x, y ), (x , y												)	< d				v(x, y) - n				<		e
																																									.
	2											2											0		0			2
			2																										2
Заметим,									что d = d(e) , ибо d						1	= d	1	(e) ,	d	2	= d	2	(e) . Тогда для "(x, y) Î D : 0 < r (x, y ), (x , y																				)	< d
																																										0 0

f (z) - A = [u(x, y) - m]2 + [v(x, y) - n]2 = u(x, y) - m 2 + v(x, y) - n 2 <

e

2

e

2

<

+

= e .

2

2

Получили: для "e > 0 $ d = d(e) > 0 | "z Î D : 0 <

z - z0

< d

f (z) - A

< e , а это означает по определению предела

функции комплексного переменного, что выполняется (5.17).

Замечание 5.8. Если $ lim

f (z) , то $ lim

f (z)

и

z→z0

z→z0

	lim		f (z)		=	lim f (z)	.	(5.25)
	z→z0					z→ z0
Действительно,	пусть функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного		переменного z = x + iy					имеет в точке
z0 = x0 + iy0 предел	A = μ + iν . Тогда в силу теоремы 5.5 выполняются соотношения (5.18), (5.19). Используя теорему о

пределе сложной функции двух вещественных переменных [2.9, с. 51], свойства пределов вещественных функций двух вещественных переменных [2.9, с. 49] и соотношения (5.18), (5.19), получаем

lim

f (z)

=

lim

[u(x, y)]2 + [v(x, y)]2

=

z→z0

( x, y)→( x0 , y0 )

=

lim

2

lim

v(x, y)

2

u(x, y)

+

=

( x, y )→( x0 , y0 )

( x, y)

→( x0 , y0 )

=

m2 + n2 =

m + in

=

lim f (z)

.

Собирая начало и конец записи, получаем формулу (5.25).

z→ z0

Пример 5.3. Рассмотрим функцию

f (z) = z 2 + 4 ,

z Χ . Полагая z = x + iy ,

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) , получаем

u(x, y) + iv(x, y) = (x + iy)2 + 4 = (x2 - y 2 + 4)+ 2xyi ,

т.е. u(x, y) = x 2 - y 2 + 4 ,

v(x, y) = 2xy .

Рассмотрим

z0

= x0 + iy0

= 2i ,

т.е. x0

= 0 ,

y0 = 2 . Функции

u(x, y) , v(x, y)

непрерывны на R 2 , в

частности, они

непрерывны в

точке (x0 , y0 ) = (0,2) .

Тогда

по определению

непрерывности

вещественной функции

lim

u(x, y) = u(x0 , y0 ) = u(0,2) = 02 - 22 + 4 = 0 ,

( x, y)→( x0 , y0 )

lim

v(x, y) = v(x0 , y0 ) = v(0,2) = 2 ×0 × 2 = 0 .

( x, y)→( x0 , y0 )

Тогда в силу теоремы 5.5 (достаточность)

lim f (z) = lim (z 2 + 4)= 0 + i × 0 = 0 .

(5.26)

z→z0

z→2i

Согласно определению 5.8, соотношение (5.26) означает,

что данная функция

f (z) является бесконечно малой в точке

z0 = 2i .

Докажем основную теорему о пределах функций комплексного переменного, согласно которой в результате арифметических операций над функциями, имеющими конечный предел в данной точке, получаются функции, которые тоже

имеют конечный предел в этой точке.
Теорема 5.6. Пусть функции		f1 (z) = u1 (x, y) + iv1 (x, y) и f 2 (z) = u2 (x, y) + iv2 (x, y) имеют соответственно конечные
пределы A1 = m1 + in1 и A2	= m2 + in2	в точке z0 = x0 + iy0 :
			$ lim	f1 (z) = A1 ,					(5.27)
			z→ z0
			$ lim	f 2 (z) = A2 .					(5.28)
			z →z0
Тогда их сумма, разность,	произведение и частное, т.е. функции f1 (z) + f 2 (z) , f1 (z) - f 2 (z) , f1					(z) × f 2 (z) ,	f	1	(z)
										тоже
							f 2 (z)
имеют конечные пределы в точке z0		и
		lim [ f1	(z) + f2 (z)] = lim		f1 (z) + lim f2 (z) ,				(5.29)
		z→z0		z→z0		z→ z0
		lim [ f1	(z) - f2 (z)] = lim		f1 (z) - lim f2 (z) ,				(5.30)
		z→z0		z→ z0		z→ z0
		lim [ f1	(z) × f2 (z)] =	lim	f1 (z) × lim f2 (z) ,				(5.31)
		z→z0		z→z0	z	→ z0

				f1 (z)		lim f1 (z)
			lim		=	z→ z0		,	(5.32)
				f 2 (z)
			z→z0			lim	f 2 (z)
						z→ z0
при этом в случае частного предполагается, что	lim f 2 (z) ¹ 0 .
	z→z0
Из (5.27), (5.28) следует в силу теоремы 5.5 (необходимость), что существуют
lim	u1 (x, y) = m1 ,	lim	v1 (x, y) = n1 ,
( x, y)→( x0 , y0 )		( x, y)→( x0 , y0 )
lim	u 2 (x, y) = m2 ,	lim	v2 (x, y) = n 2 .
( x, y)→( x0 , y0 )		( x, y)→( x0 , y0 )

Следовательно, в силу основной теоремы о пределах вещественных функций двух вещественных переменных [2.8, с. 487] существуют

	lim	[u1 (x, y) + u 2 (x, y)] = m1 + m2 ,
	( x, y)→( x0 , y0 )
	lim	[v1 (x, y) + v2 (x, y)] = n1 + n2 .
	( x, y)→( x0 , y0 )
Тогда в силу теоремы 5.5 (достаточность) функция
	f1 (z) + f2 (z) = [u1(x, y) + u2 (x, y)]+ i [v1(x, y) + v2 (x, y)]
имеет конечный предел в точке z0 и
	lim [ f1 (z) + f2 (z)] = (m1 + m2 )+ i(n1 + n2 ) = (m1 + in1 )+ (m2 + in2 ) =
	z→z0
	= A1 + A2		= lim	f1 (z) + lim f2 (z) ,
			z→ z0				z→ z0
т.е. справедлива формула (5.29). Аналогично доказываются оставшиеся части утверждения теоремы.
Если f (z) = c ,	z D и z0 − предельная точка множества D , то						lim f (z) = c , т.е.
							z→z0
							lim c = c .		(5.33)
							z→z0
Если $ lim f (z) , то для c Χ , $ lim [c f (z)]		и
z→ z0	z→ z0
							lim [c f (z)] = c lim f (z) .		(5.34)
							z→z0	z→ z0
Следствие 5.1. Сумма любого конечного числа функций				f1 (z), f2 (z), ... , fs (z) , имеющих конечный предел в точке z0 ,
есть функция, имеющая конечный предел в этой точке и
		s		s
	lim ∑ fi		(z) =	∑ lim			fi (z) .
	z→z0				z →z0
		i=1		i=1
Утверждение следствия 5.1 получается из теоремы 5.6 методом математической индукции.
Следствие 5.2.	Если функции f1 (z), f2 (z), ... , fs (z)		имеют конечный предел в точке					z0 , то их линейная комбинация
l1 f1 (z) + l2 f2 (z) + ... + ls f s (z) с любыми коэффициентами l1, l2 , ... , ls Î C имеет конечный предел в точке z0									и
		s		s
	lim ∑li fi		(z) =	∑li		lim fi (z) .
	z→z0	=1		i=1		z→ z0
	i

Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой о пределе сложной функции. Теорема 5.7. Пусть для сложной функции w = f (j(z)) выполняются следующие условия:

$ lim j(z) = h* ;

z →z0

$ j ¹ " Î &

Oδ (z0 ) | (z) h* , z Oδ (z0 ) ;

lim f (h) = A .

h→h*

Тогда

lim f (ϕ(z)) = A .

z→ z0

Доказательство теоремы 5.7 аналогично доказательству соответствующего утверждения для сложной функции

вещественной переменной [2.1, с. 69].	переменного w = f (z) , z D ,
Пусть задана функция комплексного		и z0	− предельная точка	множества D ,
принадлежащая D .
Определение 5.11. Функция w = f (z)	называется непрерывной в точке	z0 , если существует предел этой функции в
точке z0 , равный её значению в данной точке:
		lim	f (z) = f (z0 ) .	(5.35)
		z →z0

Пусть функция w = f (z) непрерывна в точке z0 , т.е. выполняется соотношение (5.35). В силу (5.30), (5.33) равенство

(5.35) можно записать в виде

			lim [ f (z) − f (z0 )] = 0 .	(5.36)
			z→z0
Положим z = z − z0 ,	w = f (z) − f (z0 ) . Комплексное число z называется приращением независимого переменного z в
точке z0 , а комплексное число		w − приращением функции w = f (z) в точке z0 , соответствующим приращению		z . В
этих обозначениях равенство (5.36) принимает вид
			lim w = 0 ,	(5.37)
			z→0
и определение непрерывности функции в точке можно сформулировать следующим образом.
Определение 5.12.	Функция	w = f (z)	называется непрерывной в точке z0 , если приращение w этой функции в
данной точке, соответствующее приращению			z независимого переменного z , является б.м.в. при z → 0 .

Определение 5.13. Функция w = f (z) называется непрерывной на множестве D1 D , если она непрерывна в каждой

точке этого множества.

Замечание 5.9. Если функция f (z) непрерывна в точке z0 , то функция

f (z)

тоже непрерывна в точке z0 .

Действительно, пусть функция

f (z) непрерывна в точке z0 , т.е.

выполняется соотношение (5.35). Тогда в силу

замечания 5.8

lim

=

=

f (z)

lim f (z)

f (z0 )

.

Получили lim

=

z→ z0

z→ z0

f (z)

f (z)

f (z0 )

, а это означает, по определению, что функция

непрерывна в точке z0 .

z→ z0

Замечание 5.10.

Если функция

f (z) непрерывна на некотором множестве,

то функция

f (z)

непрерывна на этом

множестве.

Укажем признак непрерывности функции комплексного переменного в точке.

Теорема 5.8.

Непрерывность

функции

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

комплексного

переменного

z = x + iy в

точке

z0 = x0 + iy0 равносильна непрерывности её действительной и мнимой частей в точке (x0 , y0 ).

Необходимость. Пусть функция f (z) непрерывна в точке

z0 , т.е. имеет место соотношение (5.35). Заметим, что

f (z0 ) = u(x0 , y0 ) + iv(x0 , y0 ) . Тогда в силу теоремы 5.5 (необходимость)

lim

u(x, y) = u(x0 , y0 ) ,

lim

v(x, y) = v(x0 , y0 ) ,

(5.38)

( x, y)→( x0 , y0 )

( x, y)→( x0 , y0 )

а это означает, по определению непрерывности вещественной функции двух вещественных переменных в точке, что функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0 , y0 ) .

Достаточность. Пусть функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x0 , y0 ) , т.е. выполняются соотношения (5.38).

Тогда в силу теоремы 5.5 (достаточность) lim f (z) = u(x0 , y0 ) + iv(x0 , y0 ) = f (z0 ) , т.е. функция		f (z) непрерывна в точке
	z→ z0
z0 .
Следствие 5.3.	Непрерывность функции комплексного переменного на некотором	множестве равносильна

непрерывности её действительной и мнимой частей на этом множестве.

Например, в силу следствия 5.3 функция f (z) = z 2 + 4 , z Χ , из примера 5.3 непрерывна на Χ , ибо её действительная часть u(x, y) = x 2 − y 2 + 4 и мнимая часть v(x, y) = 2xy непрерывны на Ρ 2 .

Для функций комплексного переменного справедлива основная теорема о непрерывных функциях, согласно которой в результате арифметических операций над функциями, непрерывными в данной точке, получаются функции, которые также

непрерывны в этой точке.
Теорема 5.9. Пусть функции	f1 (z) и f 2 (z)	непрерывны в точке z0 . Тогда их сумма, разность, произведение и
частное, т.е. функции f1 (z) + f 2 (z) ,	f1 (z) - f 2 (z) ,	f1 (z) × f 2	(z) ,	f1	(z)		0 , при этом в случае
						тоже непрерывны в точке z
				f 2
					(z)

частного предполагается, что f2 (z0 ) ¹ 0 .

Теорема 5.9. доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для вещественных функций вещественной

переменной [2.8, с. 112], при этом используется теорема 5.6.

Следствие 5.4. Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных на некотором множестве функций комплексного переменного являются непрерывными функциями на этом множестве, при этом в случае частного

предполагается, что знаменатель отличен от нуля на данном множестве.

Следствие 5.5. Линейная комбинация любого конечного числа функций, непрерывных на некотором множестве, является непрерывной функцией на этом множестве.

Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой о непрерывности сложной функции. Теорема 5.10. Пусть для сложной функции F (z) = f (j(z)) выполняются следующие условия:

а) функция h = j(z) непрерывна в точке z0 ;

б) функция w = f (h) непрерывна в точке h0 = j(z 0 ) .

Тогда сложная функция F (z) = f (j(z)) непрерывна в точке z0 .

Доказательство теоремы 5.10 аналогично доказательству соответствующего утверждения для сложной функции вещественной переменной [2.13, с. 156].

Следствие 5.6. Пусть для сложной функции F (z) = f (j(z)) выполняются следующие условия:

1)функция h = j(z) непрерывна на множестве D1 Í D(j) ;

2)функция w = f (h) непрерывна на множестве W1 = j(D1 ) ( W1 −

образ множества D1 при отображении ϕ ).

Тогда сложная функция F (z) = f (j(z)) непрерывна на множестве D1 .

6. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Функции ez , sin z, cos z; формула Эйлера; формулы, выражающие sin z, cos z через ez ; показательная форма записи комплексного числа; основное свойство показательной функции; тригонометрические тождества; гиперболические

функции;	формулы, связывающие sin z,	cos z	с sh z,	ch z; периодичность функций ez , sin z, cos z; функции tg z,	ctg z;
формулы,	связывающие tg z, ctg z с	th z,	cth z;	логарифмическая функция, её стандартные ветви; главная	ветвь

логарифмической функции; свойства логарифмической функции; общая показательная функция, её главное значение; целая степенная функция; общая степенная функция; обратные тригонометрические функции, их выражение через логарифмическую функцию; непрерывность основных элементарных функций; некоторые элементарные функции: целая рациональная функция, линейная функция, дробно-рациональная функция, дробно-линейная функция.

Введём понятия основных элементарных функций комплексного переменного. Естественно, что такие функции при действительных значениях аргумента должны совпадать с соответствующими функциями действительного переменного. Прямой перенос определений основных элементарных функций действительного аргумента x заменой в них x на комплексный аргумент z в большинстве случаев невозможен, ибо при такой замене аргумента данные определения теряют смысл. Несмотря на это, имеющаяся информация об основных элементарных функциях действительного переменного позволяет разумным образом определить такие функции для комплексного переменного. Например, известны разложения

функций e x , sin x ,

cos x в ряд Маклорена [2.2, с. 185]: для x Ρ

∞

x

n

x

2

x

n

ex = ∑

= 1+ x +

+ ... +

+ ... ;

(6.1)

n=0 n!

2!

n!

∞

x

2n+1

x

3

x

5

x

2n+1

∞

x

2n

x

2

x

4

x

2n

sin x = ∑(-1)n

= x -

+

-... + (-1)n

+ ... ; (6.2) cos x =

∑(-1)n

= 1-

+

- ... + (-1)n

+ ...

n=0

(2n +1)!

3!

5!

(2n +1)!

n=0

(2n)!

2!

4!

(2n)!

(6.3)

(напомним, что записи (6.1) –

(6.3)

означают, что функции

e x , sin x , cos x

представлены в виде сумм соответствующих

степенных рядов).

Чтобы определить показательную функцию e z

и тригонометрические функции sin z , cos z

комплексного переменного

z по формулам (6.1)

– (6.3)

и чтобы эти функции обладали свойствами,

аналогичными соответствующим свойствам

функций e x , sin x ,

cos x , необходимо чтобы ряды

∞

z

n

∞

z

2n+1

∞

z

2n

∑

, ∑(−1)n

, ∑(−1)n

(6.4)

n!

(2n +1)!

(2n)!

n=0

n=0

n=0

при каждом z Î C сходились абсолютно.

Замечание 6.1. Для "z Î C каждый из рядов (6.4) сходится абсолютно.

Покажем, например, абсолютную сходимость первого их этих рядов (для оставшихся двух рядов это делается аналогично). При z = 0 ряд имеет вид 1 + 0 + 0 + ... и сходится к 1. Пусть z ¹ 0 . Тогда

z

n

z

n

∞

∞

z

n

ζn

=

,

ζn

=

,

∑

ζn

= ∑

.

Применим признак Даламбера:

n!

n!

n=0

n=0 n!

ζ

n+1

z

n+1

z

n

z

D = lim

= lim

:

= lim

= 0 .

ζ

n→∞

n→∞ (n

+1)!

n!

n→∞ n +1

n

Получили D = 0 < 1 ряд с

ζ n

сходится ряд с ζ n сходится абсолютно.

Положим, по определению, для "z Î C

∞

n

z

2

ez = ∑

z

= 1 + z +

+ ... +

n=0 n!

2!

∞

z

2n+1

z

3

z

5

z

2n+1

∞

z

2n

z

2

sin z = ∑(−1)n

= z −

+

− ... + (−1)n

+ ...

; (6.6) cos z = ∑

(−1)n

= 1 −

(2n +1)!

(2n)!

n=0

3!

5!

(2n +1)!

n=0

2!

В силу замечания 6.1 такое определение функций e z ,

sin z ,

cos z корректно.

Из (6.6), (6.7) следует, что

	zn	+ ... ;	(6.5)
	n!

+z4 − ... + (−1)n z2n + ... .

4! (2n)!

(6.7)

sin(−z) = − sin z , cos(−z) = cos z , "z Î C

(6.8)

(аналог свойств sin(−x) = − sin x , cos(−x) = cos x , "x Î R ).

Укажем формулы, связывающие показательную функцию e z

и тригонометрические функции sin z , cos z .

В силу (6.6) и теоремы 4.3

∞

iz 2n+1

i sin z = ∑ (−1) n

.

(6.9)

n=0

(2n +1)!

В силу (6.7), (6.9) и теоремы 4.2

∞

z

2n

iz

2n+1

cos z + i sin z = ∑(−1)n

+

(2n)!

n=0

(2n +1)!

или с учётом того, что (−1) n = i 2n

∞

(iz)2n

(iz)2n+1

cos z + i sin z = ∑

+

= eiz .

(2n +1)!

(2n)!

n=0

Получили равенство

eiz = cos z + i sin z , "z Î C ,

(6.10)

которое называется формулой Эйлера. В силу (6.8), (6.10)

e −iz = cos z − i sin z .

(6.11)

Из (6.10), (6.11) следуют соотношения

sin z =

eiz − e

−iz

,

(6.12)

2i

	cos z =		eiz + e -iz
				.	(6.13)
		2
	Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме:	z = r(cos j + i sin j) . В			силу (6.10)
	cos j + i sin j = eij . Тогда
	z = reij .				(6.14)

Выражение (6.14) называется показательной формой записи (представления) комплексного числа z .

В силу (6.10) формулы (1.19), (1.22), (1.30), (1.33) принимают соответственно следующий вид:

z z

2

= r r

2

ei(j1 +j2 ) ;

1

1

z1

=

r1

e

i(j -j

)

;

1

2

z2

r2

z n

= rneinj ;

ei×

j+2pk

, k = 0, 1, ..., n −1 .

w = n

z

= n

r

n

k

Докажем основное свойство показательной функции:

e z1 + z2 = e z1 ×e z2 , "z1 , z 2 Î C .

Действительно, пусть z1 , z 2 Î C ; z1 , z 2 фиксированы. В силу замечания 6.1 ряды

¥

n

¥

n

∑

z1

,

∑

z2

n=0

n!

n=0

n!

сходятся абсолютно. Запишем произведение рядов в форме Коши [2.2, с. 90]:

¥

zn

¥

zn

¥

zl zk

∑

1

∑

2

∑

∑

1

2

×

=

.

n=0 n! n=0 n!

n=0 l +k =n l ! k !

Используя бином Ньютона для комплексных чисел [2.12, с. 106]

n

( z1 + z2 )n = ∑Cnk z1n-k z2k

k =0

и формулу для биномиальных коэффициентов

Cnk =

n!

,

k !(n - k)!

получаем

zl

zk

1

n

n!

1

n

( z + z

2

)n

∑

1

2

=

∑

z1n

-k z2k

=

∑Cnk z1n-k z2k

=

1

.

(6.19)

n!

n!

n!

l +k =n

l ! k !

k =0

k !(n - k)!

k =0

В силу (6.17), (6.19)

¥

zn

¥

zn

¥

( z + z

2

)n

∑

1

×

∑

2

= ∑

1

.

n!

n!

n=0

n! n=0

n=0

В силу теоремы 4.8 ряд в правой части (6.20) сходится абсолютно и

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.20)

¥	( z	+ z		)n
(s)∑	1	n!	2
n=0

¥

(в целях лучшего понимания существа дела здесь использовано обозначение: (s)∑ zn

n=1

			¥	zn
=		(s)	∑	1		×
			n=0	n!
−		сумма ряда

¥	n	.
(s)∑	z2		(6.21)
n=0	n!

¥

∑ zn ).

n=1

В силу (6.5)