Госы 5к Надя / fomin-a

Рис. 18.1
Определение 18.1. Вычетом функции f (z) относительно точки z0 называется интеграл вида
1		∫ f ( z )dz ,	(18.1)
	2πi
		γ

где γ – произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в Oδ (z0 ) и охватывающий

точку z0 (в частности, в качестве γ можно взять любую окружность с центром в точке z0						радиуса r < δ ).
Обозначение:
res f ( z ); z	,	res f (z) , res f (z	0	)
	0	z = z0
(от французского слова residu – остаток).
По определению,
		res f ( z ); z0			=	1	∫	f ( z ) dz .	(18.2)
						2πi
							γ

Замечание 18.1. Вычет функции относительно данной точки определяется однозначно, так как значение интеграла

(18.1) не зависит от выбора контура γ

(важно лишь, чтобы контур γ удовлетворял условиям из определения 18.1)

(см.

замечание 12.1).

f (z) относительно её изолированной особой

Теорема 18.1. Вычет функции

точки

z0

равен

коэффициенту

c−1

лорановского разложения этой функции в проколотой δ -окрестности точки z0 :

res f

( z ); z

0

= c

.

(18.3)

−1

&

В силу теоремы 16.2 функция f (z) разложима в ряд Лорана в Oδ (z0 ):

∞

∞

c−n

f ( z ) = ∑cn ( z − z0 )

n

&

+ ∑

, z Oδ (z0 ) ,

(18.4)

( z − z

n=0

n=1

)n

0

где

f ( z )

c =

1

dz ,

(18.5)

2πi

n

∫γ ( z − z0 )n+1

в качестве γ берётся любой контур, удовлетворяющий условиям из определения 18.1. В силу (18.5)

c−1 =

1

∫ f ( z ) dz .

(18.6)

2πi

γ

Из (18.2), (18.6) следует формула (18.3).

Следствие 18.1. Если z0 – устранимая особая точка функции f (z) , то

res f ( z ); z

0

= 0 .

(18.7)

	Действительно, в этом случае, в силу теоремы 17.1, главная часть лорановского разложения функции									f (z) в	&
											Oδ (z0 )
	равна нулю: c−n = 0 , n Ν . В частности, c−1 = 0 и из (18.3)			следует (18.7).
	Пример 18.1. Точка	z0 = 0	является устранимой	особой точкой функции			f (z) =	sin z	(см.	пример	17.1).
		res f ( z );0 = 0 .						z
	Следовательно, в силу (18.7)
	Пример 18.2. Точка z0	= 0 является полюсом порядка m = 5 функции f (z) =			cos z		(см. пример 17.2). Из лорановского
					z 5

разложения

(17.46) функции f (z)

в кольце K0,∞ (0) = C \ {0} видно, что

c−1

=

1

=

1

.

Следовательно,

4!

24

res f ( z );0 =

1

.

24

Укажем формулу для вычисления вычета функции относительно её полюса.

Теорема 18.2. Вычет функции

f (z) относительно её простого полюса z0 вычисляется по формуле

res f

( z )

; z

= lim

f ( z )( z - z

) .

0

z →z0

0

в силу (18.3)

(18.8)

По условию теоремы z0 – полюс порядка m = 1 функции f (z) . Следовательно, в силу теоремы 17.2									лорановское
разложение функции	f (z)	в	&	(z0 ) имеет вид
			Oδ
				∞			c−1
				f ( z ) = ∑ cn ( z - z0 )	n	+		,	(18.9)
							z - z0
				n=0

где c−1 ¹ 0 . Пусть j(z) – сумма правильной части лорановского разложения (18.9):

∞

j( z ) = ∑cn ( z - z0 )n .

n=0

Функция j(z) непрерывна в Oδ (z0 ) как сумма степенного ряда (см. теорему 14.12), в частности, она непрерывна в точке z0 , т.е.

lim j(z) = j(z0 ) = c0 .

(18.10)

z→z0

Соотношение (18.9) принимает вид

f (z) = j(z)+

c−1

,

z - z0

откуда получаем

c−1 = f ( z )( z - z0 ) - j( z )( z - z0 ) .

(18.11)

Переходя в неравенстве (18.11) к пределу при z ® z0 и учитывая (18.10), имеем

c

= lim

f ( z )( z - z

) - j( z )( z - z

)

=

−1

z→ z0

0

0

= lim

f ( z )( z - z

) - lim

j( z )( z - z

)

=

z

→ z

0

z

→z

0

0

0

= lim

f

( z )( z - z

)

- с

× 0 = lim

f ( z )( z - z

) .

z→ z

0

0

z→ z

0

0

0

Собирая начало и конец записи, получаем

с

= lim

f ( z )( z - z

) .

(18.12)

−1

z→ z0

0

Из (18.3), (18.12) следует формула (18.8).

f (z)

и функция f (z) представлена а виде

Следствие 18.2. Если z0 –

простой полюс функции

f (z) =

f

(z)

1

,

f2 (z)

где f1 (z), f 2 (z) – функции, аналитические в точке z0 ,

при этом

f1 (z0 ) ¹ 0 и точка z0

является простым нулём функции

f 2 (z) , т.е. в силу теоремы 17.4

f 2 (z0 ) = 0 , но

f2′(z0 ) ¹ 0 , то

res f ( z ); z

0

=

f1 ( z0 )

.

(18.13)

f2¢ ( z0 )

Действительно, по формуле (18.8)

res f

( z ); z

= lim

f ( z )( z - z

)

f1 ( z )

( z

)

= lim

- z

=

( z )

0

z→z0

0

z→ z0 f

2

0

f1

( z )

f1 ( z )

lim f1 ( z )

f1 ( z0 )

= lim

= lim

=

z→z0

=

.

( z )

( z ) - f

( z

)

( z )

- f

( z

)

z→ z0

f

2

z→ z0

f

2

2

0

f

2

2

0

f

¢ ( z

0

)

lim

2

z - z0

z - z0

z →z0

z

- z0

Собирая начало и конец записи, получаем формулу (18.13).

f (z) = e z

/(z 2 +1) (см. пример 17.3).

Пример 18.3.

Точки

z = i ,

z

2

= -i являются простыми полюсами функции

1

Следовательно, по формуле (18.8)

ez

res f ( z ); z1 = lim f

( z )( z - z1 ) = lim

( z - i )

=

( z - i)( z + i)

z→ z1

z→i

= lim

ez

=

ei

=

1

(cos1+ i sin1) = -

i

(cos1+ i sin1) =

sin1

- i

cos1

;

i

+ i

z→i z + i

2i

2

2

2

ez

res f

( z ); z2 = lim f

( z )( z - z2 ) =

lim

( z + i)

=

( z - i )( z + i )

z→z2

z→ −i

= lim

ez

=

e−i

= -

1

(cos1- i sin1) =

i

(cos1- i sin1) =

sin1

+ i

cos1

.

-i - i

z→ −i z - i

2i

2

2

2

Получили res f

( z );i =

sin1

- i

cos1

,

res f

( z ); -i =

sin1

+ i

cos1

.

2

2

2

2

Пример 18.4. Вычислим вычет функции

f ( z ) =

ch z

(18.14)

(z2 +1)( z - 3)

относительно её особой точки z0 = 3 . Определим тип особой точки z0

= 3 . Помимо этой особой точки функция

f (z) имеет

ещё две особые точки z1 = i ,

z 2 = -i . Рассмотрим Oδ (3)| i,-i Î Oδ (3) . Запишем

f (z)

в виде

ch z

f (z) =

.

z 2 +1

z - 3

Функция f (z) =

ch z

аналитична в O

δ

(3) (

f

(z) имеет две особые точки z

= i , z

= -i , но z , z

Î O (3) ). Далее,

1

2

2

1

z 2 +1

1

1

δ

f1 (z0 ) = f1 (3) =

ch 3

=

ch 3

¹ 0 .

32 +1

10

Следовательно, в силу теоремы 17.3

изолированная особая точка z0

= 3 функции

f (z) является простым полюсом. Для

функции f2 (z) = z - 3 точка z0 = 3 является простым нулём. Значит, применима формула (18.13):

f1 ( z0 )

f1 (3)

ch 3

( z ); z0 =

=

ch 3

res f

=

=

10

f2¢ ( z0 )

1

f2¢ (3)

10

( f ′(z) = 1 ,

f ′ (3) = 1 ).

Итак,

res f

( z );3 =

ch 3

.

Аналогично

вычисляются

вычеты функции

(18.14)

относительно её

2

2

10

и −i :

изолированных особых точек i

res f

( z );i = -

1 - 3i

cos1 ;

res f

( z ); -i = -

1 + 3i

cos1 .

20

20

Теорема 18.3. Вычет функции

f (z)

относительно её полюса z0 порядка m вычисляется по формуле

res f

( z ); z

=

1

lim

d m−1

f

( z )( z - z )m .

(18.15)

0

(m -1)!

z→ z

dz

m−1

0

0

По условию теоремы z0 –

полюс порядка m функции

f (z) . Следовательно, в силу 17.2

лорановское разложение

&

функции f (z) в Oδ (z0 ) имеет вид

∞

( z - z0 )n +

c−1

c−2

c−m

f ( z ) = ∑cn

+

+ ... +

, (18.16)

( z

- z0 )m

n=0

z

- z0

( z - z0 )2

где c−m ¹ 0 . Пусть j(z) – сумма правильной части лорановского разложения (18.16). Тогда

f ( z ) = j( z ) +

c−1

+

c−2

+ ... +

c−m

( z - z0 )m

z - z0

( z - z0 )2

или

f ( z )( z - z

)m

= j( z )( z - z

0

)m

+ c

( z - z

0

)m−1 + c

( z - z )m−2 + ... + c

.

0

−1

−2

0

−m

Следовательно,

d m−1

f ( z )( z - z )m =

d m−1

j( z )( z - z )m +

m−1

dz

m−1

0

dz

0

+

d m−1

c

( z - z

)m−1

+ c

( z - z

)m−2 + ... + c

.

(18.17)

0

0

dz

m−1

−1

−2

−m

Заметим, что

d m−1

c

( z - z )m−1 + c

( z - z

)m−2 + ... + c

= (m -1)! c

.

m−1

0

dz

−1

0

−2

−m

−1

Тогда равенство (18.17) принимает вид

d m−1

f ( z )( z - z )m =

d m−1

j( z )( z - z

)m

+ (m -1)! c

.

m−1

m−1

0

dz

0

dz

−1

Перейдём в этом неравенстве к переделу при z ® z0 :

lim

d m−1

f ( z )( z - z

)m =

z→z0 dzm−1

0

= lim

d m−1

j( z )( z - z

)m

+ (m -1)! c

.

(18.18)

z→ z

dz

m−1

0

−1

0

Для функции g ( z ) = j( z )( z - z0 )m точка z0

является нулём кратности не ниже, чем m. Следовательно, в силу теоремы 17.4

g(z0 ) = 0,

′

′′

g

(m−1)

(z0 ) = 0 .

Функция j(z) аналитична в Oδ (z0 )

как сумма степенного ряда (см.

g (z0 ) = 0 ,

g (z0 ) = 0 , …,

теорему 14.14). Тогда функция g(z) аналитична в Oδ (z0 ) как произведение двух аналитических в Oδ (z0 ) функций (см. теорему 9.5). Значит, в силу следствия 12.1 производная g (m−1) (z) аналитична в Oδ (z0 ), следовательно, в силу замечания 9.3 g (m−1) (z) непрерывна в Oδ (z0 ), в частности, g (m−1) (z) непрерывна в точке z0 , т.е.

lim g (m−1) (z) = g (m−1) (z0 ) . z→z0

Следовательно, в силу равенства g (m−1) (z0 ) = 0

lim g(m−1) ( z ) = 0 .

z→z0

В силу (18.18), (18.19)

lim

d m−1

f ( z )( z - z

)m = (m -1)! c

,

0

z→z0 dzm−1

−1

откуда получаем

c

=

1

lim

d m−1

f ( z )( z - z

)m .

m−1

−1

(m -1)!

z→ z

dz

0

0

Из (18.3), (18.20) следует формула (18.15).

Пример 18.5. Вычислим вычет функции

(18.19)

(18.20)

f ( z ) =

z

(18.21)

( z +1)3 ( z - 2)2

относительно её особой точки z0 = -1 . Определим тип особой точки z0

= -1 . Помимо этой особой точки функция

f (z)

имеет ещё одну особую точку z1 = 2 . Рассмотрим Oδ (-1)| 2 Î Oδ (-1) . Запишем f (z) в виде

z

.

f (z) =

(z - 2)2

(z - (-1))3

Функция f1

(z) =

z

аналитична в Oδ (-1)

(

f1 (z) имеет одну особую точку z1 = 2 , но z1 Î Oδ (-1)).

(z

- 2)2

Заметим, что

f

(z

) = f

(-1) =

-1

= -

1

¹ 0 .

0

1

(-1- 2)2

1

9

f (z) .

Следовательно, в силу теоремы 17.3 изолированная особая точка z0

= -1 является полюсом порядка m = 3 функции

По формуле (18.15)

res f

( z ); -1 =

1

lim

d 2

f ( z )( z +1)3 =

2! z→ −1

dz2

1

d

2

z

=

lim

=

2 z→ −1 dz2

( z - 2)2

d

z

1×( z - 2)2 - z × 2 ( z - 2)

z + 2

;

dz ( z - 2)2 =

( z - 2)4

= - ( z - 2)3

d 2

1×( z - 2)3 - ( z + 2)×3( z - 2)2

2 ( z + 4)

z

d

z + 2

( z - 2)6

= = ( z - 2)4 ;

dz2

( z - 2)2

= dz -

( z - 2)3

= -

=

1

lim

2 ( z + 4)

=

1

2 (-1 + 4)

=

1

.

2 z→−1 ( z - 2)4

2 (-1 - 2)4

27

Итак,

res f

( z ); -1 =

1

. Аналогично вычисляется вычет функции (18.21) относительно её изолированной особой точки 2:

27

res f ( z ); 2 = -

1

.

27

При вычислении контурных интегралов от функций, имеющих внутри контура интегрирования конечное число изолированных особых точек, можно применять следующее утверждение, называемое основной теоремой о вычетах.

Теорема 18.4. Пусть функция f (z) аналитична в области D , кроме конечного числа изолированных особых точек z1, z2 , ... , zn Î D , и аналитична на границе Г области D . Тогда

∫	f ( z ) dz = 2pi	n		k
		∑			(18.22)
		k =1	res f ( z ); z	.
Г

Рассмотрим окружности γ1, γ2 , ... , γn с центрами соответственно в точках z1, z2 , ... , zn , не выходящие за пределы области D и не пересекающиеся между собой (рис. 18.2).

Рис. 18.2

Функция f (z) аналитична в многосвязной

области

G

с границей ГG = Г È g1 È g2 È... È gn .

Следовательно,

в силу

интегральной теоремы Коши для многосвязной области (см. теорему 11.5)

∫ f ( z ) dz = ∫

f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz + ... + ∫ f ( z ) dz .

(18.23)

Г

γ1

γ2

γn

По определению вычета

res f

( z ); zk

=

1

f ( z ) dz , 1 £ k £ n .

2pi ∫

γk

Тогда

( z ) dz = 2pi × res f

( z ); z

∫

f

, 1 £ k £ n ,

k

γk

и соотношение (18.23) принимает вид

∫

f ( z ) dz =

n

k

∑

2pi

; z

k =1

× res f ( z )

,

Г

откуда следует формула (18.22).

Пример 18.6. Вычислим

∫

ez

dz

z3 ( z +1)

L

где L :

z

= 2 .

Подынтегральная функция

f (z) =

e z

z3 (z +1)

имеет две изолированные особые точки z1 = 0 ,

z 2 = -1 (рис. 18.3).

Рис. 18.3

Эти точки принадлежат области D , ограниченной контуром L . По формуле (18.22)

I = ∫

ez

dz = ∫ f ( z ) dz =

z

3

( z +1)

L

L

= 2pi res f ( z );0 + res f ( z ); -1 .

Представляя функцию f (z) поочерёдно в виде

f (z) =

e z

, f (z) =

e z

z 3

z +1

(z - 0)3

z - (-1)

и используя теорему 17.3, приходим к выводу, что точка z1 = 0 является полюсом порядка m = 3 , а точка z 2 полюсом функции f (z) . По формуле (18.15)

1

d

2

1

d

2

z

res f ( z );0 =

lim

f ( z )

× z3

=

lim

e

=

2

2

2! z→0 dz

2 z→0 dz

+1

z

d

ez

ez

( z +1)

- ez ×1

zez

=

=

;

( z +1)2

( z +

1)2

dz

z +1

d 2 ez

d

zez

(ez + zez )( z +1)2 - zez × 2 ( z +1)

=

=

=

2

2

4

dz

dz

( z +1)

( z +1)

z +1

=

ez ( z +1)2 - 2zez

=

ez (z2 +1)

;

( z +1)3

( z +1)3

=

1

lim

ez (z2 +1)

=

1

×

e0 (0 +1)

=

1

.

( z +

1)3

(

1)3

2 z

→0

2

0 +

2

Итак,

res f ( z )

;0 =

1

.

2

По формуле (18.8)

res f ( z ); -1 = lim f

( z )( z +1)

= lim

ez

=

e−1

= -

1

.

z→−1

z→−1 z3

(-1)3

e

Получили

res f

( z ); -1 = -

1

.

e

(18.24)

= -1 – простым

(18.25)

(18.26)

В силу (18.24) – (18.26)
		2
I = ip 1	-		.
		e
Пусть дана функция w = f (z) . Рассмотрим логарифмическую производную функции				f (z) :	f ¢( z )
			Ln f ( z ) ¢ =			.	(18.27)
					f ( z )

Из (18.27) видно, что особыми точками логарифмической производной функции функции.

Лемма 18.1. Пусть z0 – полюс порядка m функции f (z) . Тогда

res

f (z) являются особые точки и нули этой

	f ¢( z )			= -m .
		; z0			(18.28)
f ( z )

В силу теоремы 17.3 функция f (z) представима в некоторой							&
							Oδ (z0 ) в виде
			f ( z ) =	y ( z )			,
				( z - z	)m
				0
где y(z) – некоторая аналитическая в Oδ (z0 ) функция, отличная от нуля в точке z0 . Используя (6.60), (6.64), получаем
	f ¢( z )	= Ln f ( z )					y( z )			¢
				¢ = Ln						=
	f ( z )
						( z - z0 )		m

= Ln y ( z ) - mLn ( z - z

) ¢

=

y¢( z )

-

m

.

(18.29)

0

y ( z )

z - z0

′

(z) аналитична в Oδ (z0 ) как производная аналитической в Oδ (z0 ) функции

y(z) (см. следствие 12.1) Так как

Функция y

y(z0 ) ¹ 0 , то функция j(z) =

y¢(z)

аналитична в окрестности Oδ (z0 )как частное двух аналитических в этой окрестности

y(z)

функций (см. теорему 9.5). В силу теоремы 15.1 функция j(z) разложима в ряд Тейлора в Oδ (z0 ):

		∞		( z - z0 )n .
		j( z ) = ∑cn
		n=0
В силу (18.29), (18.30)
	f ¢( z )	∞	n	+	-m		z Î Oδ (z0 ).
		= ∑ cn ( z - z0 )			,
							&
	f ( z )	n=0			z - z0

(18.30)

(18.31)

В силу теоремы 16.4 представление (18.31) является лорановским разложением логарифмической производной функции

f (z)	в	&	- m /(z - z0 ), значит, c−1 = -m . В силу (18.3)
		Oδ (z0 ). Главная часть этого разложения состоит из одного члена

		f ¢( z )						= c−1 .
	res				; z0
		f ( z )
Подставляя в (18.32) вместо коэффициента c−1 его значение −m , получаем формулу (18.28).
Лемма 18.2. Пусть z0 – нуль кратности m функции	f (z) . Тогда
				f ¢( z )
	res					; z0		= m .
		f ( z )
По определению нуля кратности m функция f (z)	представима в некоторой Oδ (z0 )						в виде
	f ( z ) = ( z - z0 )m j( z ) ,

где j(z) – некоторая аналитическая в Oδ (z0 ) функция, отличная от нуля в точке z0 . Рассмотрим функцию силу (18.34)

(18.32)

(18.33)

(18.34)

F (z) = 1/ f (z). В

F ( z ) =	y ( z )	,
	( z - z0 )m
где y(z) = 1/ j(z) . Функция y(z) аналитична в окрестности Oδ (z0 )		как частное двух аналитических в этой окрестности

функций (см. теорему 9.5). Кроме того, y(z0 ) = 1/ j(z0 ) ¹ 0 . Следовательно, в силу теоремы 17.3 точка z0 является полюсом порядка m функции F (z). Тогда, в силу леммы 18.1

F ¢( z )

; z0

= -m .

res

(18.35)

F ( z )

Используя (6.64), получаем

F ¢( z )

= Ln F ( z )

1

¢

= - Ln f ( z ) ¢ = -

f ¢( z )

¢ = Ln

. (18.36)

F ( z )

f ( z )

f

( z )

В силу (18.35), (18.36)

-

f ¢( z )

; z0

= -m .

res

(18.37)

f ( z )

Заметим, что для любой функции g(z)
res -g ( z ); z	= -res	g ( z ); z	.	(18.38)
	0		0

Действительно, по определению вычета

res -g ( z ); z	=
	0

В силу (18.38)

1

∫

(-g ( z ))dz = -

1

∫

g ( z ) dz = -res g ( z ); z0 .

2pi

2pi

γ

γ

f ¢(z)

f ¢(z)

res -

; z

0

= -res

; z

0 .

(18.39)

f (z)

(z)

f

Из (18.37), (18.39) следует формула (18.33).

Пусть функция w = f (z) аналитична на замкнутом простом гладком или кусочно-гладком контуре L и не имеет нулей на этом контуре: f (z) ¹ 0 , z L .

Определение 18.2. Логарифмическим вычетом функции f (z) относительно контура L называется величина вида

		1		∫	f ¢( z )
						dz .
			2pi		f ( z )
				L
Пусть функция f (z) удовлетворяет следующим условиям:
1)	f (z)	аналитична в односвязной области D , кроме конечного числа изолированных особых точек z1, z2 , ... , zl Î D,
являющихся её полюсами порядка соответственно m1, m2 , ..., ml ;
2)	f (z)	имеет в области D s нулей z1, z2 , ..., zs с кратностями соответственно k1, k2 , ..., ks ;
3)	f (z)	аналитична на границе L области D и не имеет нулей на L , т.е. f (z) ¹ 0 , z L .

Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой о логарифмическом вычете.
Теорема 18.5. При выполнении условий 1) – 3) справедлива формула			f ¢( z )
1		∫			= N - P ,	(18.40)
				dz
	2pi		f ( z )
		L
где
			s
		N = ∑ki ,				(18.41)
			i=1
			l
		P = ∑m j ,				(18.42)

j=1

т.е. логарифмический вычет функции f (z) относительно замкнутого контура L равен разности между количеством нулей и количеством полюсов функции f (z), расположенных внутри данного контура, при условии, что каждый нуль и каждый полюс считаются столько раз, какова их кратность.

	Для логарифмической производной		f ¢(z )		= Ln f (z ) ¢		функции f (z) особыми точками, расположенными внутри
			f (z )
	контура L , являются полюсы {z j }l	и нули {zi }s			функции	f (z) (рис. 18.4).
	j =1		i=1

Рис. 18.4

В силу основной теоремы о вычетах (см. теорему 18.4)

1

f ¢(z )

s

f ¢(z )

l

f ¢(z )

∫

dz = ∑res

; zi

+ ∑res

; z j

.

2pi

f (z )

f (z )

f (z )

L

i=1

j=1

По формуле (18.33)

f ¢(z)

res

; zi

= ki ,

1 £ i £ s .

f (z)

По формуле (18.28)

f ¢(z)

= -m j

, 1 £ j £ l .

res

; z j

f (z)

В силу (18.43) – (18.45)

¢((zz))dz = ∑ki

- ∑m j ,

21pi ∫ ff

s

l

L

i=1

j=1

(18.43)

(18.44)

(18.45)

т.е. выполняется (18.40) с N и P , вычисляемым соответственно по формулам (18.41) и (18.42).

Следствие 18.3. Если функция f (z) аналитична в односвязной области D и на её границе L , а так же не имеет нулей

на L , то
1		∫	f ¢(z )	dz = N ,
	2pi		f (z )
		L
т.е. логарифмический вычет аналитической функции f (z)			относительно замкнутого контура L равен числу нулей функции

f (z), расположенных внутри контура L , при условии, что каждый нуль считается столько раз, какова его кратность. Рассмотрим целую рациональную функцию, т.е. функцию, задаваемую многочленом

Pn (z) = a0 z n + a1z n−1 + ... + an−1z + an

степени n ( n ³ 1, a0 ¹ 0 ). Функция Pn (z) является целой функцией (см. пример 9.3), т.е. не имеет особых точек в C . В силу основной теоремы алгебры комплексных чисел (см. теорему 15.5) справедливо представление Pn (z) в виде