Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Госы 5к Надя / fomin-a

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

3.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Теорема 11.5. Пусть функция f (z) аналитична в области G ; D – n-связная область с положительно ориентированной

границей

ГD = Г0 Г1 Г2 ... Гn−1 ,

расположенная вместе со своей границей в области G, т.е.		= D ГD G (рис. 11.6). Тогда
расположенная вместе со своей границей в области G, т.е.	D	= D ГD G (рис. 11.6). Тогда
		∫ f (z)dz = 0 .	(11.26)
		ГD

Рис. 11.6

Выберем на контуре Г0 точку M 0

и соединим её простой гладкой кривой γ1

с некоторой точкой M 1 на контуре Г1 ;

выберем на контуре Г1 точку N1 и соединим её простой гладкой кривой γ 2 с некоторой точкой M 2 на контуре Г2 и т.д.

Рассмотрим положительно ориентированные замкнутые простые кусочно-гладкие контуры

L = γ M P N γ

P N

... γ

M P N

... γ

N P M

1 1

1 1 1

2 2

i i

0 0

L2 = M 0Q0 N0 γ n Nn−1Qn−1M n−1 ... NiQi M i γi ...

... N 2 Q2 M 2 γ 2 N1Q1 M 1 γ1 .

В силу теоремы 11.1 и замечания 11.2

∫ f ( z ) dz = 0 , ∫ f ( z ) dz = 0 ,

Следовательно,

∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz = 0 .

(11.27)

С другой стороны, используя свойства (10.27), (10.24), получаем

∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz + ...

Г0

Из (11.27), (11.28) следует формула (11.26).

Вболее подробной записи формула (11.26) имеет вид

Всилу (11.29)

Г1 Г2

... + ∫ f ( z ) dz =			∫		f (z)dz = ∫ f (z)dz .	(11.28)
Гn−1	Г		n−1	S	ГD
	Г	0		Г
		0	U	i
			i=1

∫	f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z )dz + ... +		∫ f ( z ) dz = 0 . (11.29)
Г0	Г1	Г2	Гn−1

∫ f ( z ) dz = − ∫ f ( z ) dz − ∫ f ( z ) dz − ... − ∫				f ( z ) dz
Г0	Г1	Г2	Гn−1
или в силу свойства (10.24)
		∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz + ... + ∫				f ( z ) dz . (11.30)
		Г0	Г1	Г2	Гn−1
Таким образом, если функция f (z)	аналитична в n-связной области D и на её границе ГD , то интеграл функции f (z)
вдоль положительно ориентированной внешней границы Г0 равен сумме интегралов функции f (z)					вдоль положительно
ориентированных замкнутых контуров Гi , 1 ≤ i ≤ n −1 , составляющих внутреннюю границу области D .
В частности, если функция f (z) аналитична в двусвязной области D			и на её границе ГD = Г0 Г1 ,			то
			∫	f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz		(11.31)
			Г0	Г1
(рис. 11.7).

Рис. 11.7

12. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА МОРЕРА

Интегральная формула Коши; интеграл Коши; интеграл типа Коши; теорема о бесконечной дифференцируемости интеграла типа Коши; теорема о бесконечной дифференцируемости аналитической функции; обобщённая интегральная формула Коши; теорема Морера.

В дальнейшем понадобится следующий факт: если γ

– окружность с центром в точке z0

радиуса ρ , то

∫

dζ

= 2πi .

(12.1)

ζ − z

Действительно,

dζ

ζ − z0 = ρeiϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π

= 2π

ρeiϕid ϕ

2π d ϕ = iϕ

2π = 2πi .

ζ = z0 + ρeiϕ

= i

∫ ζ − z0

d ζ = ρeiϕid ϕ

∫

ρeiϕ

∫

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 12.1. Пусть функция

f (z)

аналитична в односвязной области D

и на её границе Г . Тогда справедлива

формула

f ( z

) =

f (ζ )

d ζ , z

D .

(12.2)

2πi ∫

ζ − z0

Зафиксируем произвольное z0 D .

Рассмотрим окружность γ с центром в точке z0

радиуса ρ , такую что γ D

(рис. 12.1).

		Рис. 12.1
Рассмотрим двусвязную область G с границей ГG = Г È g . Подынтегральная функция g(z) =					f (z)	имеет особую точку
						имеет особую точку
					z - z0
z = z0 , но z0 Î		= G È ГG . Следовательно, g(z) аналитична в		. В силу формулы (11.31)
z = z0 , но z0 Î	G	= G È ГG . Следовательно, g(z) аналитична в	G	. В силу формулы (11.31)

∫ g (z) d z = ∫ g (z)d z .

Гγ

Тогда

f (z)

∫

d z =

dz .

(12.3)

2pi

z - z

2pi

z - z

"g = Sρ (z0 )| g Ì D .

(12.4)

Так как z0 фиксировано, то

∫

(z)

d z = A - const .

(12.5)

2pi

z - z

В силу (12.3), (12.5)

∫

f (z)

d z = A - const

2pi

z - z

для любой окружности γ , удовлетворяющей условию (12.4).

Для справедливости (12.2) осталось показать, что

A = f (z0 ) .

: A ¹ f (z0 ) .

Тогда

A - f (z0 ) ¹ 0 ,

следовательно,

A - f ( z0 )

> 0 . Возьмём произвольное фиксированное ε > 0 , удовлетворяющее условию

e <

A - f ( z0 )

(12.6)

По условию теоремы функция f (z) аналитична в области D , в частности, она аналитична в точке z0 . Следовательно, в

силу теоремы 9.1

f (z) непрерывна в некоторой окрестности точки z0 , в частности, непрерывна в точке z0 . По определению

непрерывности функции в точке, для взятого числа ε > 0 $Oδ (z0 )|

"z Î Oδ ( z0 )

f (z) - f ( z0 )

< e .

(12.7)

Возьмём радиус

ρ окружности g = Sρ (z0 ) , удовлетворяющей условию (12.4), таким что ρ < δ . Тогда

g Ì Oδ (z0 ) ,

следовательно, в силу (12.7)

"z Î g

f (z) - f ( z0 )

< e .

(12.8)

В силу формулы (12.1) справедливо представление

f ( z0 )

f ( z0 ) =

d z .

2pi ∫

z - z

Тогда

A - f ( z0 ) =

(z)

f ( z0 )

f (z) - f ( z0 )

d z -

d z =

d z .

2pi

∫ z - z

2pi ∫ z - z

2pi

∫

z - z

Используя оценки (10.36), (12.8) и равенства lγ

= 2pr,

z - z0

= r , ζ γ , имеем

A - f ( z )

∫

f (z) - f ( z0 )

d z

∫

f (z) - f ( z0 )

d z

2pi

z - z

lγ × max

f (z) - f ( z0 )

lγ

× max

f (z) - f ( z0 )

z - z0

ζ γ

lγ

2pr ×

= e .

Получили

A - f ( z0 )

£ e , что противоречит условию (12.6). .

Соотношение (12.2) называется интегральной формулой Коши.

Таким образом, если функция

f (z) аналитична в односвязной области D и на её границе Г , то интегральная формула

Коши позволяет восстановить значение этой функции в произвольной точке области D через её значения на границе Г , ибо

для вычисления интеграла в правой части формулы (12.2) достаточно знать значения функции

f (z) на границе Г .

Заменяя в формуле (12.2.) z0 на z , получаем

f ( z ) =

f (z)

, z D .

(12.9)

2pi ∫

z - z

Правая часть формулы (12.9) называется интегралом Коши по контуру Г от функции

f (z) . Обозначение:

I ( z ) =

∫

f (z)

dz .

(12.10)

2pi

z - z

Заметим, что интеграл Коши (12.10) определён для любого

z Î C \ Г . Если

z D ,

то в силу (12.9) I (z) = f (z) . Если

z Î C \

, где

= D È Г , то подынтегральная функция

g(z) =

f (z)

z - z

. Следовательно,

11.1′

и замечания 11.2 ∫ g (z) d z = 0 и,

значит,

аналитична в замкнутой области

силу теоремы

I (z) = 0 . Получили

I (z) =

f (z), z Î D,

z Î C \ D.

Из (12.2) следует, что

∫ z - z0

(z)

d z = 2pif ( z0 ) .

(12.11)

Формула (12.11) называется следствием интегральной формулы Коши.

Заменяя в формулах (12.2), (12.11) ζ на z , получаем

f ( z0 ) =

f ( z )

dz , "z0 Î D ,

(12.12)

2pi ∫

z - z0

∫ z - z0

f ( z )

dz = 2pif ( z0 ) , "z0 Î D .

(12.13)

Формула (12.13) применяется при вычислении контурных интегралов, т.е. интегралов по замкнутым контурам.

Ещё раз подчеркнём, что формула (12.13) справедлива при условии,

что функция f (z) аналитична на замкнутом

простом контуре Г и в односвязной области D , ограниченной этим контуром, т.е.

не имеет особых точек в замкнутой

области

= D È Г .

Пример 12.1. Вычислим контурный интеграл

∫

zdz

-1

где Г – окружность с центром в точке z* = -2 радиуса 2. Подынтегральная функция

g(z) = z

z 2 -1

аналитична на множестве C \ {-1;1} как частное двух аналитических на этом множестве функций (см. теорему 9.5, пример

9.3), т.е. g(z) имеет лишь две особые точки z1 = -1, z 2 = 1 ( z1 и z 2 являются изолированными особыми точками функции g(z) ). Пусть D – внутренность кривой Г (рис. 12.2).

Рис. 12.2

Запишем функцию g(z) в виде

g (z) =

z -1

z - (-1)

Функция f (z) =

= D È Г (функция

f (z) имеет

аналитична в

замкнутой

области

единственную

особую точку

z -1

z 2 = 1 , но z2 Î

). Следовательно, применима формула (12.13):

-1

zdz

= 2pif (-1)

I = ∫

= ∫

z -1

= 2pi ×

= pi ; I = πi .

z - (-1)

-1 -1

Пусть требуется вычислить контурный интеграл вида

∫

f ( z )

dz ,

(12.14)

( z - z )( z - z

)

где Г – замкнутый простой контур; функция

f (z) аналитична на Г и в односвязной области D , ограниченной кривой Г ;

z1, z2 Î D . Построим непересекающиеся между собой и не выходящие за пределы области D замкнутые простые гладкие или кусочно-гладкие контуры Г1 и Г2 , охватывающие соответственно точки z1 и z 2 (в качестве контуров Г1 и Г2 можно взять две непересекающиеся между собой окружности с центрами в точках z1 и z 2 соответственно, не выходящие за пределы области D ) (рис. 12.3).

Рис. 12.3

Рассмотрим трёхсвязную область Ω с границей ГΩ = Г È Г1 È Г2 . Подынтегральная функция

g ( z ) =	f ( z )
g ( z ) =	( z - z	)( z - z	2	)
	1		2

аналитична на W = W È ГΩ , т.е. аналитична в некоторой области G É W . Следовательно, в силу интегральной теоремы Коши для многосвязной области (см. формулу (11.30))

z - (-3i)

∫

f ( z )

dz = ∫

f ( z )

dz + ∫

f ( z )

dz . (12.15)

( z - z

)( z - z

)

( z - z )( z - z

)

( z - z )( z - z

)

Г1

Г2

Каждый из интегралов в правой части (12.15) вычисляется по формуле (12.13):

f ( z )

∫

dz = ∫

z - z2

dz = 2pi ×

( z - z

)( z - z

)

z - z

z = z1

Г1

f ( z )

∫

dz = ∫

z - z

dz = 2pi ×

z = z2 .

( z - z

)( z - z

)

z - z

Г2

Аналогично поступают, если в знаменателе подынтегрального выражения в интеграле типа (12.14) содержится более двух множителей.

Пример 12.2. Вычислим контурный интеграл

∫Г		dz
			,
	(z2 + 9)( z + 5)
где Г – окружность с центром в точке z* = 0 радиуса 4. Подынтегральная функция
1
g ( z ) =
		(z2 + 9)( z + 5)
аналитична на множестве C \ {- 3i; 3i; - 5} , т.е. g(z) имеет лишь три особые точки z1 = -3i , z 2				= 3i , z3 = -5 . Пусть D –
внутренность кривой Г . Рассмотрим окружности Г1 , Г2 с центром в точках z1 = -3i и z 2 = 3i				соответственно, такие что
Г1, Г2 Ì D . Пусть D1 и D2 – внутренности кривых Г1 и Г2 соответственно (рис. 12.4).

Рис. 12.4

Рассмотрим трёхсвязную область Ω с границей ГΩ = Г È Г1 È Г2 .						Функция g(z) аналитична на					= W È ГΩ , ибо её
										W
особые точки z1 = -3i , z 2 = 3i , z3 = -5 не принадлежат множеству					. По формуле (11.30)
				W
	dz		dz					dz
I = ∫Г		= Г∫					+ Г∫		.
	(z2 + 9)( z + 5)		(z2 + 9)( z + 5)					(z2 + 9)( z + 5)
	1					2
Вычислим
	I1 = Г∫		dz				.

			(z2 + 9)( z + 5)

Запишем функцию g(z) в виде

g(z) = ( z - 3i)( z + 5) .

f1 (z) =

= D1 È Г1

(функция

f1 (z)

Функция

аналитична в замкнутой области D1

имеет две

особые точки

( z

- 3i )( z

+ 5)

z 2 = 3i ,

z3 = -5 , но z 2 , z3

D1 ). По формуле (12.13)

I1 = ∫

( z - 3i )( z + 5)

= 2pi ×

z - (-3i)

( z - 3i)( z + 5)

z =−3i

Г1

= - p ×

5 + 3i

= 2pi ×

= -

(5 + 3i) ;

(-3i - 3i )(-3i + 5)

52 + (-3)2

3 5

102

I = -

(5 + 3i ) .

102

Вычислим

I2 = Г∫2

(z2 + 9)( z + 5)

Запишем функцию g(z) в виде

g (z) =

( z + 3i)( z + 5)

z - 3i

f2 (z) =

= D2 È Г2

(функция

f 2 (z)

Функция

аналитична в замкнутой области D2

имеет две особые точки

( z

+ 3i)( z

+ 5)

z1 = -3i,

z3 = -5 , но z1 , z3

2 ). По формуле (12.13):

( z + 3i )( z + 5)

p 1

p 5 - 3i

I2 = ∫

dz =

2pi ×

= = 2pi ×

= 3 ×

3 ×

- 3i ) ;

z - 3i

( z + 3i)( z + 5)

z =3i

(3i + 3i)(3i + 5)

5 + 3i

52 + 32

102

Г2

I2 =

(5 - 3i).

102

I = I1 + I2 = -

(5 + 3i)+

(5 - 3i) = -

;

102

I = -

Пусть функция w = f (z) определена и непрерывна на гладкой или кусочно-гладкой кривой γ .

Определение 12.1. Интегралом типа Коши от функции

f (z)

вдоль кривой γ

называется интеграл вида

∫

f (z)

I (z) =

dz , z Î C \ g .

(12.16)

2pi

z - z

Определение 12.1 корректно,

ибо при

произвольном

фиксированном z Î C \ g

любом z Î g

выполняется условие

z - z ¹ 0 , следовательно, подынтегральная функция g(z) = f (z) /(z - z)

непрерывна на γ как отношение двух непрерывных на

γ функций (см. следствие 5.4), а, значит, существует интеграл вида (12.16) (см. теорему 10.2, замечание 10.3).

Таким образом, формула (12.16) определяет функцию I : C \ g ® C .

Теорема 12.2. Функция I (z)

дифференцируема на множестве

C \ g и её производная выражается формулой

I ¢(z) =

∫

f (z)

dz .

(12.17)

2pi

(z - z)

Зафиксируем произвольную точку z Î C \ g . По определению производной функции в точке, нужно показать, что

$ lim

DI (z) =

∫

f (z)

dz ,

(12.18)

2pi

z→0

γ (z - z)

где DI (z) = I (z + Dz) - I (z) . Пусть d = inf

z - z

, т.е.

d –

расстояние от точки z до кривой γ . Тогда

ζ γ

z - z

³ d , "z Î g .

(12.19)

Возьмём δ > 0 \| δ <	d	. Рассмотрим приращение z \| z + z O (z) . Тогда
Возьмём δ > 0 \| δ <		. Рассмотрим приращение z \| z + z O (z) . Тогда
2		δ
2
			ζ − (z + z)	>	d	, ζ γ	(12.20)
					d

(рис. 12.5).				2
				2

Рис. 12.5

Используя формулы (10.20), (10.21), получаем

I (z) = I (z + z) − I (z) =

f (ζ)

dζ −

f (ζ)

dζ =

2πi

∫ ζ − (z + z)

2πi

∫

ζ − z

f (ζ)

f (ζ) z

−

d ζ =

2πi

ζ − (z +

2πi

∫ [ζ − (z + z)](

ζ − z )

∫

ζ − z

∫

f (ζ)

d ζ ;

2πi

[ζ − (z + z)](ζ − z )

I (z)

∫

f (ζ)

d ζ ;

2πi

[ζ − (z + z)](ζ − z )

I (z)

∫γ

f (ζ)

∫γ

f (ζ)

−

d ζ =

d ζ −

2πi

(ζ − z )2

2πi

[ζ − (z + z)](ζ − z )

−

∫

f (ζ)

∫

f (ζ)

2πi

d ζ = 2πi

[ζ − (z + z)](ζ − z ) −

2 d ζ =

γ (ζ − z )

(ζ − z )

∫γ

f (ζ) z

d ζ =

∫γ

f (ζ)

d ζ .

2πi

[ζ − (z + z)](ζ − z )2

2πi

[ζ − (z + z)](ζ − z )2

Итак,

I (z)

∫γ

f (ζ)

∫γ

f (ζ)

−

dζ =

d ζ .

2πi

(ζ − z)2

2πi

[ζ − (z + z)](ζ − z )2

Используя формулы (1.20), (1.23), получим

I (z)

−

∫γ

f (ζ)

dζ

∫γ

f (ζ)

d ζ

. (12.21)

2πi

(ζ − z)2

2π

[ζ − (z +

z)](ζ − z )2

Подынтегральная функция

g (ζ) =

f (ζ)

[ζ − (z + z)](ζ − z )2

непрерывна на кривой γ как отношение двух непрерывных на γ

функций. Следовательно, (см. замечание 5.10) её модуль

g(ζ)

f (ζ)

(12.22)

ζ − (z +

ζ − z

тоже является непрерывной функцией на ограниченном замкнутом множестве γ (напомним, что g(ζ) – вещественная функция двух вещественных переменных). Тогда по первой теореме Вейерштрасса для функций нескольких переменных

[2.8, с. 496] K > 0 |

Из (12.22) следует в силу (12.19), (12.20), (12.23), что					f (ζ)	≤ K , ζ γ .	(12.23)
					f (ζ)	≤ K , ζ γ .	(12.23)

	g(ζ)	≤	2K	, ζ γ .
			2K
			d 3
			d 3
Следовательно, в силу (10.34)

∫

g(ζ)d ζ

≤

lγ ,

(12.24)

d 3

где lγ

– длина кривой γ . В силу (12.21), (12.24)

I ( z)

−

∫

f (ζ)

d ζ

≤

Klγ

(12.25)

2πi

(ζ − z )

πd

Если

z = x + i y → 0 , то

( x)2 + (

y)2

→ 0 .

Следовательно,

при

z → 0

правая часть

неравенства

(12.25)

стремится к нулю. Тогда и левая часть неравенства (12.25)

при

z → 0 стремится к нулю,

а это означает в силу (5.11)

справедливость утверждения (12.18).

Справедливо более сильное утверждение[1.5, с. 45].

Χ \ γ и для её производной n-го порядка

Теорема 12.3. Функция I (z)

бесконечно дифференцируема на множестве

(n Ν) справедлива формула

∫

f (ζ)

I (n) (z) =

dζ .

(12.26)

2πi

n+1

(ζ − z)

Теорема 12.3 доказывается методом математической индукции: при n = 1 теорема 12.3

доказана (см. теорему 12.2);

предполагается, что теорема верна при n = k , т.е.

∫

f (ζ)

I (k ) (z) =

dζ

2πi

k +1

(ζ − z)

и доказывается, что теорема верна при n = k +1 :

(k +1)

(k )

′

(k +1)!

∫

f (ζ)

(z)

= I

(z)

d ζ ,

2πi

k +2

γ (ζ − z )

т.е. доказывается, что

lim

I (k ) (z)

(k +1)!

∫

f (ζ)

d ζ ,

2πi

(ζ − z )

k +2

z→0

где

I (k ) (z) = I (k ) (z + z) − I (k ) (z) (такое доказательство аналогично доказательству теоремы 12.2, однако, из-за увеличения

показателя степени в знаменателе подынтегральной функции доказательство усложняется, при этом используется бином Ньютона для комплексных чисел).

С помощью теоремы 12.3 доказывается следующий фундаментальный факт теории функций комплексного переменного.

Теорема 12.4. Аналитическая в области D функция w = f (z) бесконечно дифференцируема в этой области и её

производная n-го порядка ( n Ν ) представима в виде
f (n) ( z ) =	n!	∫	f (ζ )		dζ ,	(12.27)

	2πi		(ζ − z )	n+1
	2πi	γ	(ζ − z )

где γ – любой замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в области D и охватывающий точку z , внутренность которого содержится в D .

Зафиксируем произвольную точку z D . Возьмём какой-либо контур γ , удовлетворяющий условиям, указанным в формулировке теоремы. Пусть I γ = D1 , где I γ – внутренность контура γ (рис. 12.6).

Рис. 12.6

(на рис. 12.6 в качестве D изображена двусвязная область D с границей ГD = Г0 È Г1 ). По условию теоремы функция f (z) аналитична в области D , в частности, она аналитична в односвязной области D1 и на её границе γ. Следовательно,

применима интегральная формула Коши, в силу которой

f (z)

f ( z ) =

∫

d z .

(12.28)

2pi

z - z

Функция f (z) аналитична на γ , следовательно, в силу замечания 9.3. f (z) непрерывна на γ,

а, значит, выражение в правой

части (12.28) есть интеграл типа Коши по контуру γ от функции

f (z) . Тогда, в силу теоремы 12.3, для n Ν

$ f (n) (z) и в

силу (12.26) справедлива формула (12.27).

Замечание 12.1.

Значение интеграла в правой части формулы (12.27) не зависит от выбора контура γ

(важно лишь,

чтобы контур γ удовлетворял условиям теоремы 12.4).

Действительно,

пусть

какой-либо

другой

контур,

удовлетворяющий

условиям

теоремы

12.4.

Возьмём

–

окружность g* с

центром в

точке

z , такую

что g* Ì I γ и g

* Ì I γ .

Рассмотрим

двусвязные области

границей

G с

с границей ГG = g È g* . По интегральной теореме Коши для двусвязной области (см. формулу (11.31))

ГG = g È g* и G

получаем

∫

f (z)

dz = ∫

f (z)

d z ,

(z - z )

n+1

(z - z )

n+1

γ*

∫

f (z)

dz = ∫

f (z)

d z .

(z - z )

n+1

(z - z )

n+1

γ*

Следовательно,

∫

f (z)

dz = ∫

f (z)

d z .

(z - z )

n+1

(z - z )

n+1

Замечание 12.2. В случае односвязной области D требование о том, чтобы внутренность контура γ содержалась в D ,

становится в формулировке теоремы 12.4 лишним (оно выполняется в силу односвя-зности области D ).

В качестве контура интегрирования в формуле (12.27) удобно рассматривать окружность γ с центром в точке z , такую

что γ D и I γ Ì D .

Следствие 12.1.

Производная любого порядка аналитической в области функции является аналитической функцией в

этой области.

Следствие 12.2. Для функции

f (z) , аналитической в односвя-зной области D и на её границе Г , т.е. аналитической в

некоторой области G É

, где

= D È Г , справедлива формула

f (z)

f (n) ( z0 ) =

d z ,

"z0 Î D , n N . (12.29)

2pi ∫Г (z - z0 )n+1

Действительно, чтобы получить формулу (12.29) достаточно в равенстве (12.27) взять в качестве z точку z0 , а в

качестве γ контур Г.

Назовём соотношение (12.29) обобщённой интегральной формулой Коши.

Следствие 12.3. Для функции

f (z) , аналитической в односвязной области D

и на её границе Г справедлива формула

f (z)

2pi

f (n) ( z0 ) , "z0 Î D , n N .

d z =

(12.30)

∫Г (z - z0 )n+1

Формула (12.30) называется следствием обобщённой интегральной формулы Коши.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>