Госы 5к Надя / fomin-a

D рассматривается кривая (путь интегрирования); при изучении свойств аналитических функций в качестве D выступает односвязная или многосвязная область. Введём соответствующие определения.

Определение 7.1. Непрерывной кривой (линией или дугой) γ называется геометрическое место точек z комплексной

плоскости Χ , изображающих все значения непрерывной комплексной функции
z = z(t) = x(t) + iy(t)	(7.1)
вещественной переменной t Î[a,b] , при этом, переменная t называется параметром, соотношение (7.1) –	параметрическим
уравнением кривой γ .

Замечание 7.1. В силу следствия 5.3 непрерывность функции (7.1) на множестве [a, b] означает, что вещественные функции x(t), y(t) вещественной переменной t непрерывны на отрезке [a,b] .

В дальнейшем в целях краткости непрерывную кривую будем называть кривой.

При изменении параметра t в возрастающем порядке (от α к β ) точка z(t) совершает обход кривой γ от точки

z0 = z(a) до точки z* = z(b) , при этом точки z0 и z* называются соответственно начальной и конечной точками (началом и концом) кривой γ .

При изменении параметра t в убывающем порядке (от β к α ) точка z(t) совершает обход кривой γ от точки z* до

точки z0 .

Таким образом, возможны два варианта направления обхода кривой γ . Выбор определённого направления обхода кривой γ называется ориентацией кривой γ , а кривая с выбранной ориентацией называется ориентированной кривой или

контуром. Ориентированную кривую с направлением обхода от z0 к z* будем обозначать тем же символом γ , что и саму кривую, а ориентированную кривую с направлением обхода от z* к z0 символом g (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Определение 7.2. Точкой самопересечения (или кратной точкой) кривой γ называется точка этой кривой,

соответствующая двум или более различным значениям параметра t , из которых, по крайней мере, одно отлично от α и от

β (рис. 7.2, 7.3).

	Рис. 7.2		Рис. 7.3
Точкой самопересечения кривой γ		является на рис. 7.2 точка	~
			z , на рис. 7.3 – точка z0 .
Согласно определению 7.2, точка	~	Î g является точкой самопересечения кривой γ , если $t1, t2 Î[a,b], t1 ¹ t2 , хотя бы
	z

одно из	t1, t	2 отлично от α и от β | z(t1 ) = z (t	~
			2 ) = z .

Определение 7.3. Простой (или жордановой) кривой называется кривая, не имеющая точек самопересечения. Например, кривая γ , изображенная на рис. 7.1, является простой.

Определение 7.4. Замкнутой простой кривой (или замкнутым простым контуром) называется простая кривая начальная и конечная точки которой совпадают (рис. 7.4).

Рис. 7.4

Из рисунка 7.4 видно, что возможны следующие направления обхода замкнутой простой кривой γ :

а) обход кривой γ из z0 в точку z* таким образом, что множество D , ограниченное этой кривой, остается слева

(обход против движения (хода) часовой стрелки или, более кратко, обход против часовой стрелки); такой обход называется положительным обходом замкнутой простой кривой γ ; кривая γ с положительным направлением обхода называется

положительно ориентированной замкнутой простой кривой (или положительно ориентированным замкнутым простым контуром) и обозначается тем же символом γ , что и сама кривая;

б) обход кривой γ из z0 в точку z* таким образом, что указанное множество D , остается справа (обход по движению

(ходу) часовой стрелки или, более кратко, обход по часовой стрелке); такой обход называется отрицательным обходом замкнутой простой кривой γ ; кривая γ с отрицательным направлением обхода называется отрицательно

ориентированной замкнутой простой кривой (или отрицательно ориентированным замкнутым простым контуром) и

обозначается символом g (см. рис. 7.4).

Рассмотрим некоторое множество D на комплексной плоскости Χ .

Определение 7.5. Точка z0 Î D называется внутренней точкой множества, если

$Oδ (z0 ) Ì D .

Определение 7.6. Точка z0 Î C называется граничной точкой множества D , если "Oδ (z0 ) $ z1 Î Oδ (z0 )| z1 Î D и $ z2 Î Oδ (z0 )| z2 Î D .

Определение 7.7. Границей множества D называется совокупность всех граничных точек этого множества (обозначение: ГD или Г ).

Определение 7.8. Точка z0 Î C \ D называется внешней точкой множества D , если $Oδ (z0 )| Oδ (z0 )Ç D = Æ .

Определение 7.9. Внешностью множества D называется совокупность всех внешних точек этого множества (обозначение: ED (Е – начальная буква английского слова exterior – внешность)).

Определение 7.10. Множество D называется открытым, если каждая точка z D является внутренней точкой множества D , т.е. " z Î D $Oδ (z), d = d(z) | Oδ (z) Ì D .

Пример 7.1. Пусть D = OR (z0 ) = {z Î C : z - z0 < R} – открытый круг с центром в точке z0 радиуса R (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Множество D является открытым, для него ГD = {z Î C : z - z0 = R} – окружность с центром в точке z0 радиуса R ,

ED = {z ÎC : z - z0 > R}– внешность замкнутого круга OR (z0 ) = = {z Î C : z - z0 £ R}.

Определение 7.11. Множество D называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Пример 7.2. Множество D1 = OR (z0 ) является замкнутым, для него ГD1 = S R (z0 ) , E D1 = C \ OR (z0 ).

Замечание 7.2. Из примеров 7.1, 7.2 видно, что два различных множества могут иметь одинаковую границу и одинаковую внешность.

Определение 7.12. Множество D называется связным, если любые две точки z1 , z2 D можно соединить ломаной,

расположенной в D (в частности, ломаная может состоять из одного отрезка). Определение 7.13. Множество D называется областью, если оно открыто и связно.

Определение 7.14. Множество D называется ограниченным, если OR (0)| D OR (0), т.е. R > 0 | z D z ≤ R .

Определение 7.15. Множество D называется неограниченным, если для OR (0) z D | z OR (0) , т.е. если для

R > 0 z D : z > R .

В курсах топологии доказывается следующее утверждение.

Теорема Жордана. Каждая замкнутая простая кривая Г делит комплексную плоскость Χ на две различные области D и G , общей границей которых она является. При этом одна из этих областей ограничена, другая не ограничена (рис. 7.6).

Рис. 7.6

На рисунке 7.6 D – ограниченная область, G – неограниченная область.

Области D и G называются соответственно внутренностью и внешностью замкнутой простой кривой Г и

обозначаются I Г и E Г (I – начальная буква английского слова interior – внутренность).

Если некоторая точка z0 принадлежит I Г , то будем говорить, что замкнутая простая кривая Г охватывает

(окаймляет, окружает) точку z0 .

Заметим, что внешность границы ГD области D совпадает с внешностью области D : EГD = ED .

Положительная ориентированность границ ГD и ГG означает, что их обход совершается соответственно против

движения и по движению часовой стрелки (см. рис. 7.6).

Определение 7.16. Множество, состоящее из области D и её границы ГD , называется замкнутой областью

(обозначение: D ; по определению, D = D ГD ).

Заметим, что замкнутая область D не является областью в смысле определения 7.13, ибо D не является открытым

множеством (каждая точка множества D , принадлежащая ГD , не является внутренней точкой множества D ).

Замкнутая область D является замкнутым множеством.

Определение 7.17. Область D называется односвязной, если для любой замкнутой простой кривой γ, расположенной

в D, внутренность кривой γ расположена в D : для γ D I γ	D .
На рисунке 7.6 область D является односвязной; область G не является односвязной; область G не является
~
односвязной, ибо можно указать замкнутую простую кривую γ, расположенную в G, внутренность которой I γ не входит в
	~
~
G (в качестве γ можно взять любую замкнутую простую кривую, расположенную в G, внутренность которой содержит
кривую Г ).
Определение 7.18. Область D называется n-связной (n Ν ,	n ³ 2 ), если её граница имеет вид

ГD = Г0 Г1 Г2 ... Гn−1 ,

где Гi , ( 0 £ i £ n -1 ) – замкнутые простые кривые, такие что а) Гi I Г0 , "1 £ i £ n -1 ;

б) " 1 £ i £ n -1 Гi EГ j , " 1 £ j £ n -1 , j ¹ i ,

n−1

при этом кривая Г0 называется внешней границей, а объединение U Гi – внутренней границей n-связной области D (рис.

i=1

7.7).

Рис. 7.7

Рис. 7.8

Положительная ориентированность границы ГD n-связной области D означает, что обход её внешней границы

совершается против движения часовой стрелки, а обход кривых, составляющих её внутреннюю границу – по движению часовой стрелки (см. рис. 7.7).

Граница ГD n-связной области D называется составным контуром.

Простейшим примером n-связной области является двусвязная область (рис. 7.8). n-связную область также называют многосвязной областью.

8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Производная функции в точке; производная функции; дифференцируемость функции в точке, дифференциал функции в точке; дифференцируемость функции на множестве; связь между дифференцируемостью и существованием производной функции в точке; необходимое условие дифференцируемости функции в точке; признак дифференцируемости функции в точке и на множестве; условия Коши-Римана; основная теорема о производных функций комплексного переменного; правило дифференцирования сложной функции; правило дифференцирования обратной функции.

Пусть дана однозначная функция w = f (z) , z D и z0 – внутренняя точка множества D , т.е. Oδ (z0 )| Oδ (z0 ) D .

Придадим z0 приращение z , т.е. рассмотрим точку z0 + z	(модуль приращения	z должен быть достаточно малым,
а именно, таким, чтобы z0 + z Oδ (z0 )). Тогда функция w = f (z)	получит приращение	w(z0 )= f (z0 + z)− f (z0 ).

Определение 8.1. Производной функции w = f (z) в точке z0 называется конечный предел отношения приращения

этой функции в данной точке к приращению независимого переменного при стремлении приращения независимого переменного к нулю, если такой предел существует.

Для обозначения производной функции w = f (z) в точке z0 можно использовать любой из символов:

f ′(z

0

) , w′(z

0

) ,

df (z0 )

,

dw(z0 )

,

df

,

dw

.

dz

dz

dz

z =z0

dz

z =z0

Итак, по определению,

		f ′(z0 ) = lim		w(z0 ) = lim		f (z0 +	z )− f (z0 )	.	(8.1)
			z→0	z	z →0		z
Если окажется, что
lim	f (z0 +	z)− f (z0 )	= ∞ ,
z→0		z

то говорят, что функция f (z) имеет бесконечную производную в точке z0 .

Пусть функция w = f (z) имеет производную в каждой точке некоторого множества D1 D . Тогда каждому z D1

можно поставить в соответствие производную

f ′(z) функции

f (z)

во взятой точке z . Тем самым на множестве D1 задана

функция w′ = f ′(z) , называемая производной функции w =

f (z) . Производную w′ = f ′(z) обозначают также символом

dw

.

f (z) = z ,

dz

Пример 8.1. Найдём производную функции

z Î C . Используя определение 8.1 и соотношение (5.33),

получаем

f ′(z) = lim

f (z +

z)− f (z)

= lim

z + z − z

lim 1 = 1 .

z

z→0

z

z

→0

z→0

Итак,

(z)′ = 1 .

(8.2)

Пример 8.2. Найдём производную целой степенной функции

f (z) = z n ,

z Î C , n Î N , при n ³ 2 . Используя бином

Ньютона (см. (6.18)) и следствие 5.2, получаем

f ′( z ) = lim

f ( z +

z ) − f ( z )

= lim ( z +

z )n − zn

=

z

z→0

z

z

→0

= lim

1

zn

+ Cn1 zn−1 z + Cn2 zn−2 ( z )

2

+ ...

z→0

z

z )n − zn } =

... + Cnn−1z (

z )n−1 + Cnn (

= lim

nzn−1 + Cn2 zn−2

z + ... + Cnn−1z ( z )n−2 + (

z )n−1 = nzn−1 .

z→0

Итак,

(z n )′ = nz n−1 .

(8.3)

Пусть функция w = f (z) непрерывна в точке z0 . Тогда в силу (5.37) приращение

w функции w = f (z)

в точке z0

является б.м.в. при z → 0 . В некоторых вопросах необходима более подробная информация о природе б.м.в.

w при

z → 0 . В связи с этим вводится понятие дифференцируемости функции в точке.

Определение 8.2. Функция w = f (z)

называется дифференцируемой в точке z0 , если приращение w этой функции в

данной точке, отвечающее приращению

z независимого переменного z , представимо в виде

w = A z + o( z) ,

(8.4)

где А – некоторая комплексная константа, не зависящая от

z ;

o( z)–

б.м.в. высшего порядка по сравнению с

z при

z → 0 , т.е.

lim

o(

z)

= 0 ,

z→0

z

при этом выражение A z называется дифференциалом функции w = f (z) в точке z0

и обозначается символом dw(z0 ) (или

df (z0 )):

dw(z0 ) = A z .

(8.5)

Определение 8.3. Функция w = f (z) , z D , называется дифференцируемой на множестве D1 D , если она

дифференцируема в каждой точке этого множества.

Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием конечной производной этой функции в данной точке устанавливается следующим утверждением.

Теорема 8.1. Дифференцируемость функции w = f (z) в точке z0 , т.е. справедливость равенства (8.4) равносильна существованию конечной производной f ′(z0 ) функции f (z) в точке z0 , при этом A = f ′(z0 ) .

Теорема 8.1 доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для вещественной функции вещественной переменной [2.7, с. 31], при этом используется теорема 5.3.

В силу теоремы 8.1 определение дифференцируемости функции в точке можно сформулировать в следующем виде. Определение 8.4. Функция w = f (z) называется дифференцируемой в точке z0 , если она имеет конечную

производную в этой точке.

В силу равенства A = f ′(z0 ) соотношения (8.4), (8.5) можно записать соответственно в виде
			w = f ′ ( z0 ) z + o ( z ) ,
					dw ( z0 ) = f ′( z0 ) z .	(8.6)
Учитывая, что dz =	z , формулу (8.6) можно записать в виде
			dw ( z0 ) = f ′( z0 ) dz .
Укажем необходимое условие дифференцируемости функции комплексного переменного в точке.
Теорема 8.2. Если функция w = f (z) дифференцируема в точке z0 , то она непрерывна в этой точке.
Используя представление (8.4), имеем:
	lim	w = lim A	z + o ( z ) = A lim z + lim o ( z ) = 0 .
	z→0	z→0		z→0	z→0
Получили lim	w = 0 , а это означает, согласно определению 5.12, что функция w = f (z) непрерывна в точке z					0 .
z→0
Следствие 8.1. Если функция w = f (z) дифференцируема на некотором множестве D1 D , то она непрерывна на
этом множестве.
Докажем признак дифференцируемости функции комплексного переменного в точке.
Теорема 8.3. Дифференцируемость функции			f (z) = u (x, y) +	+iv (x, y)	комплексного переменного z = x + iy	в точке

z0 = x0 + iy0	равносильна дифференцируемости её действительной и мнимой частей в точке (x0 , y0 ) и выполнению условий:
			∂u(x0 , y0 )	= ∂v(x0 , y0 )	,	(8.7)
			∂x	∂y
			∂u(x0 , y0 )	= − ∂v(x0 , y0 ) .		(8.8)
			∂y	∂x
Необходимость. Пусть функция f (z) дифференцируема в точке z0 , т.е. выполняется соотношение (8.1). Тогда в
силу теоремы 5.3
		w(z0 )	= f ′(z0 )+ α( z)
		z
или
			w(z0 ) = f ′(z0 ) z + α(		z) z ,	(8.9)
где α( z) –	б.м.в. при z → 0 . Пусть z = x + i y , тогда z0 + z = (x0 + x)+ i(y0 + y) ,
	w(z0 ) = f (z0 + z)− f (z0 ) = [u(x0 + x, y0 + y)+ iv(x0 + x, y0 + y)]−
	− [u(x0 , y0 )+ iv(x0 , y0 )]= [u(x0 + x, y0 + y)− u(x0 , y0 )]+
	+ i [v(x0 + x, y0 + y)− v(x0 , y0 )]= u(x0 , y0 )+ i v(x0 , y0 ) .

Получили
Dw(z0 ) = Du(x0 , y0 )+ iDv(x0 , y0 ),	(8.10)

где Du(x0 , y0 ) и Dv(x0 , y0 ) – полные приращения вещественных функций u(x, y) и v(x, y) двух вещественных переменных

в точке (x0 , y0 ). Пусть
f ′(z0 ) = a + ib ,	(8.11)
Тогда
f ¢( z0 ) Dz = (a + ib)(Dx + iDy ) = aDx - bDy + i (bDx + aDy ) .	(8.12)

Пусть a(Dz) = a1 (Dz)+ ia2	(Dz). Так как lim a(Dz) = 0 , то в силу теоремы 5.5
	z→0
			lim a1			(Dz) = 0 ,		lim
			z→0					z→0
т.е. a1 (Dz), a 2 (Dz) – б.м.в. при z → 0 . Далее,
	α ( z ) z = (α1 ( z ) + iα2 ( z ))( x + i y ) =
	= α	( z )	x − α	2	(	z )	y + i α		2	(
	1

Покажем, что при r = Dz = (Dx)2 + (Dy)2 ® 0

a2 (Dz) = 0 ,

(8.13)

z )	x + α	( z )	y . (8.14)
	1

a1 (Dz ) Dx - a2 (Dz ) Dy = o1 (r) ,

(8.15)

a2 (Dz ) Dx + a1 (Dz ) Dy = o2 (r) .

(8.16)

Действительно, используя (1.20), (1.23), (1.27), получаем

0 £

a1 (Dz ) Dx - a2 (Dz ) Dy

£

a1 (Dz )

×

Dx

+

a2 (Dz )

×

Dy

£

r

r

r

£

a1 (Dz )

+

a2 (Dz )

® 0 ,

(8.17)

ибо в силу (5.11), (8.13) lim

a1 (Dz )

= 0 , lim

a2 (Dz )

= 0 .

z→0

z→0

Из (8.17) следует, что

a1 (Dz ) Dx - a2 (Dz ) Dy

= 0 ,

lim

ρ→0

r

откуда в силу (5.11)

lim

a1 (Dz )Dx - a2 (Dz )Dy

= 0 ,

ρ→0

r

а это означает справедливость (8.15). Аналогично показывается (8.16). В силу (8.14) – (8.16)

a (Dz )Dz = o1 (r) + io2 (r) .

(8.18)

В силу (8.9), (8.10), (8.12), (8.18)

Du(x0 , y0 )+ iDv(x0 , y0 ) = aDx - bDy + i(bDx + aDy)+ o1 (r)+ o2 (r),

откуда получаем

Du(x0 , y0 ) = aDx - bDy + o1 (r),

(8.19)

Dv(x0 , y0 ) = bDx + aDy + o2 (r) ,

(8.20)

где o1 (r), o2 (r) – б.м.в. высшего порядка по сравнению с ρ при ρ → 0 . Соотношения (8.19), (8.20) означают по

определению дифференцируемости вещественной функции двух вещественных переменных [2.8, с. 500], что функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0 , y0 ). Кроме того, в силу необходимого признака дифференцируемости

вещественной функции двух вещественных переменных [2.8, с. 501] существуют частные производные первого порядка функций u(x, y) , v(x, y) в точке (x0 , y0 ) по обоим аргументам и справедливы равенства

∂u(x0 , y0 ) = a ,

∂u(x0 , y0 )

= −b ;

(8.21)

∂x

∂y

∂v(x0 , y0 ) = b , ∂v(x0 , y0 ) = a .

(8.22)

∂x

∂y

Из (8.21), (8.22) следуют равенства (8.7), (8.8).

Достаточность. Пусть функции u(x, y)

и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) и выполняются условия (8.7),

(8.8). Тогда полные приращения этих функций в точке (x0 , y0 ) имеют вид

u(x0 , y0 )

=

∂u(x0 , y0 )

x + i

∂u(x0 , y0 )

y + o1 (ρ),

(8.23)

∂x

∂y

v(x0 , y0 )=

∂v(x0 , y0 )

∂v(x0 , y0 )

(8.24)

∂x

x +i

∂y

y + o2 (ρ),

где ρ =

; o (ρ),

( x)2 + ( y)2

o

2

(ρ) –

б.м.в. высшего порядка по сравнению с ρ при ρ → 0 , т.е.

1

lim

o1 (ρ)

= 0 ,

lim

o2 (ρ)

= 0 .

(8.25)

ρ

ρ→0

ρ

ρ→0

Используя условия (8.7), (8.8), заменим в формуле (8.23)

∂u(x0 , y0 )

на −

∂v(x0 , y0 )

,

а в формуле (8.24)

∂v(x0 , y0 )

на

∂y

∂x

∂y

∂u(x0 , y0 )

. После чего, учитывая (8.10), получаем

∂x

w(z

0

)=

∂u(x0 , y0 )

( x +i y)+ i

∂v(x0 , y0 )

( x + i y)+ o (ρ)+io

2

(ρ)=

∂x

∂x

1

= ∂u(x0 , y0 )+i

∂v(x0 , y0 )

z + o (ρ)+io

2

(ρ).

∂x

∂x

1

Тогда

w(z0 )

∂u(x0 , y0 )+i

∂v(x0 , y0 )+

o1(ρ)+io2 (ρ)

=

.

(8.26)

z

∂x

∂x

z

Заметим, что

o (ρ)+io (ρ)

o

(ρ)+ io

(ρ)

o (ρ)

+

o (

ρ)

0 ≤

1

2

=

1

2

≤

1

2

=

z

z

ρ

=

o1 (ρ)

+

o2 (ρ)

→ 0 ,

(8.27)

ρ

ρ

ρ→0

ибо в силу (5.11), (8.25)

lim

o1 (ρ)

= 0 ,

lim

o2 (ρ)

= 0 .

ρ

ρ

ρ→0

ρ→0

Учитывая, что

получаем из (8.27)

o1 (ρ)+io2 (ρ)

ρ =

(

x)2 + ( y)2

=

z

→ 0

z → 0 ,

(8.28)

lim

= 0 ,

z

z→0

откуда в силу (5.11)

o1 (ρ)+io2 (ρ)

lim

= 0 .

(8.29)

z

z→0

Из (8.26), (8.29) следует, что

f ′(z0 ) = lim

w(z0 )

=

∂u (x0 , y0 )

+i

∂v (x0 , y0 )

,

z

z→0

∂x

∂x

а это означает, согласно определению 8.4, что функция

f (z) дифференцируема в точке z0 .

Следствие 8.2. Если функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема в точке z0 = x0 + iy0 , то её производную в

этой точке можно вычислять по любой из следующих формул:
f ′(z0 ) =	∂u(x0 , y0 ) + i	∂v(x0 , y0 ) ,
	∂x	∂x
f ′(z0 ) =	∂v(x0 , y0 ) + i	∂v(x0 , y0 )	,
	∂y	∂x
f ′(z0 ) =	∂u(x0 , y0 ) − i	∂u(x0 , y0 ) ,
	∂x	∂y
f ′(z0 ) =	∂v(x0 , y0 ) − i	∂u(x0 , y0 ) .
	∂y	∂y

Следствие 8.3. Дифференцируемость функции f (z) = u (x, y) + +iv (x, y), z D, на некотором множестве D1 D

равносильна дифференцируемости её действительной и мнимой частей на этом множестве и выполнению на этом множестве соотношений

		∂u(x, y) = ∂v(x, y) ,						(8.30)
			∂x			∂y
		∂u(x, y) = − ∂v(x, y) .						(8.31)
			∂y			∂x
Равенства (8.30), (8.31) называются условиями Коши-Римана (или условиями Даламбера-Эйлера). Краткая запись этих
условий:
∂u =	∂v	,
	∂y
∂x
∂u = − ∂v .
∂y	∂x
Следствие 8.4. Если функция f (z) = u (x, y) + iv (x, y), z D,		дифференцируема на множестве D1 D , то её
производную на этом множестве можно вычислять по любой из следующих формул:
		f ′(z) = ∂u(x, y) + i ∂v(x, y) ,						(8.32)
			∂x			∂x
		f ′(z) =	∂v(x, y)		+ i	∂v(x, y) ,		(8.33)
			∂y			∂x
		f ′(z) =	∂u(x, y)		− i	∂u(x, y) ,		(8.34)
			∂x			∂y
		f ′(z) =	∂v(x, y) − i			∂u(x, y)	.	(8.35)
			∂y			∂y
В силу теоремы 8.3 и следствия 8.3 проверка функции f (z) =		= u(x, y) + iv(x, y) , z D , комплексного переменного

z = x + iy на дифференцируемость в точке z0 = x0 + iy0 (на данном множестве D1 D ) сводится к проверке вещественных функций u(x, y) и v(x, y) вещественных переменных x, y на дифференцируемость в точке (x0 , y0 ) (на множестве D1 ).

В свою очередь, при исследовании функций u(x, y) ,	v(x, y) на дифференцируемость в точке (x0 , y0 ) используется
достаточный признак дифференцируемости вещественной функции двух вещественных переменных [2.8, с. 503]:
Теорема 8.4. Если вещественная функция h = h(x, y)	двух вещественных переменных x, y имеет в некоторой δ-
окрестности точки (x0 , y0 ) частные производные ∂h(x, y),	∂h(x, y)	и эти частные производные непрерывны в точке (x0 , y0 ),
∂x	∂y

то функция h(x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ).

Следствие 8.5. Если вещественная функция h = h(x, y) двух вещественных переменных x, y имеет на некотором

открытом множестве D Í R 2 непрерывные частные производные ¶h(x, y) , ¶h(x, y) , то эта функция дифференцируема на

¶x ¶y

множестве D .

Используя следствия 8.3, 8.5 получаем достаточный признак дифференцируемости функции комплексного переменного на открытом множестве (в частности, в области).

Теорема 8.5. Если действительная и мнимая части функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного

z = x + iy , z D , имеют на открытом множестве D1 Í D непрерывные частные производные первого порядка и на этом множестве выполняются условия Коши-Римана, то функция f (z) дифференцируема на множестве D1 .

Пример 8.3. Функция f (z) = e z , z Χ , дифференцируема на Χ и
(ez )¢ = ez .	(8.36)

На самом деле, действительная и мнимая части этой функции имеют вид u(x, y) = e x cos y , v(x, y) = e x sin y (см. (6.24)).

Функции u(x, y) , v(x, y) имеют на множестве R 2 частные производные
¶u(x, y) = e x cos y ,	¶v(x, y) = e x sin y ,	(8.37)
¶x	¶x
¶u(x, y) = -e x sin y ,	¶v(x, y) = e x cos y .	(8.38)
¶y	¶y

Частные производные (8.37), (8.38) непрерывны на Χ , значит, в силу следствия 8.5, функции u(x, y) , v(x, y)

дифференцируемы на Χ . Кроме того, в силу (8.37), (8.38) на Χ выполняются условия Коши-Римана (8.30), (8.31).

Следовательно, в силу следствия 8.3 функция f (z) = e z дифференцируема на множестве Χ и в силу (8.32), (8.37)

f ¢(z) = (ez )′ = ex cos y + iex sin y = ez .

Пример 8.4. Аналогично показывается, что функции sin z , cos z дифференцируемы на Χ и
(sin z)′ = cos z ,	(8.39)
(cos z)′ = -sin z .	(8.40)

Пример 8.5. Главная ветвь w = ln z логарифмической функции Ln z дифференцируема на множестве D = C \ {0} и

(ln z)¢ = 1 z

[1.4, с. 120].

При дифференцировании функций комплексного переменного применяется следующее утверждение, называемое

основной теоремой о производных функций комплексного переменного.

Теорема 8.6. Пусть функции f (z) и g(z) дифференцируемы на множестве D Í D( f ) Ç D(g) . Тогда сумма, разность,

произведение и частное этих функций тоже дифференцируемы на множестве D (в случае частного предполагается, что g(z) ¹ 0, "z Î D ) и справедливы формулы

[ f (z) + g(z)]′ = f ¢(z) + g ¢(z) ,

[ f (z) - g (z)]′ = f ¢(z) - g¢(z) ,

[ f (z)g(z)]′ = f ¢(z)g(z) + f (z)g ¢(z) ,

f (z) ′				f ¢(z)g(z) - f (z)g¢(z)
			=		.
				2
g(z)				[g(z)]

Доказательство теоремы 8.6 аналогично доказательству соответствующего утверждения для производных вещественных функций вещественного переменного [2.8, с. 166], при этом используются теоремы 5.6, 8.2.

Замечание 8.1. Если f (z) = c = const , z D , то f ′(z) = 0 , т.е.

(c)′ = 0 .

Утверждение замечания 8.1 следует из определения производной функции в точке.

(8.41)

(8.42)

(8.43)

(8.44)

(8.45)