Госы 5к Надя / fomin-a

				β
			=	∫
					u ( x(t), y(t)) x¢(t)	- v ( x(t), y(t)) y¢(t) dt +
				α
				β
			+i	∫
					v ( x(t), y(t)) x¢(t)	+ u ( x(t), y(t)) y¢(t) dt =
	β			α			β
						[x¢(t) + iy¢(t)]dt =		f ( z(t)) z¢(t)dt .
=	∫						∫
		u	( x(t), y(t)) + iv ( x(t), y(t))
	α						α
Собирая начало и конец записи, получаем формулу (10.17).
Пример 10.1. Вычислить ∫(3z2 + 2z ) dz , где g : y = x2 ,						x [0; 1] .
	γ

Решение. Изобразим путь интегрирования γ на чертеже (рис. 10.5).

				Рис. 10.5
Заметим, что кривую γ можно задать в параметрической форме:
			g	x = t,	t [0; 1] ,
				:
				y = t 2 ,
или в комплексной параметрической форме вида (10.1):
			g : z = z(t) = t + it 2 , t [0; 1] .
Функции x(t) = t , y(t) = t	2	непрерывно дифференцируемы на отрезке				′	′	′
						[0; 1] и z (t) = x (t) + iy (t) = 1 + 2it ¹ 0 , "t Î[0; 1].
Следовательно, γ является гладкой кривой. Подынтегральная функция						f (z) = 3z 2 + 2z	непрерывна на кривой γ , ибо она
непрерывна на множестве Χ как целая рациональная функция (см. пример 6.9). Найдём действительную и мнимую части
функции f (z). Пусть z = x + iy, f (z) = u(х, y) + iv(x, y) . Тогда
		u(x, y) + iv(x, y) = 3(x + iy)2 + 2(x + iy) = (3x2 - 3y 2 + 2x)+ i(6xy + 2 y) ,
т.е. u(x, y) = 3x2 - 3y 2 + 2x ,		v(x, y) = 6xy + 2 y . По формуле (10.10)
		I = ∫(3z2 + 2z )dz = ∫(3x2 - 3y2 + 2x) dx - (6xy + 2 y ) dy +
		γ		γ		+i∫(6xy + 2 y) dx + (3x2 - 3y2 + 2x)dy .
									(10.18)
						γ
По формуле (10.9)
			I1 = ∫(3x2 - 3y2 + 2x) dx - (6xy + 2 y )dy =
			γ
		1	3x2 - 3(x	2 )2 + 2x	- (6x × x	2 + 2x2 )2x dx =
		= ∫
		0

1											1
= ∫		2	− 3x	4	+ 2x −12x		4	− 4x	3							+ 3x	2	− 4x	3	−15x	4
	3x									dx	= ∫ 2x										dx =
0											0
						= (x 2 + x 3 - x 4 - 3x 5 )									1 = -2 ;
															0
			I2 = ∫(6xy + 2 y) dx + (3x2 - 3y2 + 2x)dy =
						γ
			= ∫1	(6x × x2 + 2x				2 ) +		3x2 - 3(x2 )2						+ 2x		2x dx =
			0
	1										1
= ∫ 6x3 + 2x2 + 6x3 - 6x5 + 4x2 dx = ∫(6x2 +12x3 - 6x5 )dx =
	0										0
						= (2x3 + 3x4 - x6 )							1 = 4 .
													0
Получили I1 = -2 , I 2 = 4 . В силу (10.18)						I = I1 + iI 2 , т.е. I					= −2 + 4i .

Справедливы следующие свойства интегралов от функций комплексного переменного (их доказательство аналогично доказательству соответствующих свойств для определённых интегралов от функций вещественной переменной [2.8, с. 344]).

10.1. Если функции

f1 (z) ,

f 2 (z) непрерывны на гладкой кривой γ , то

∫

[ f1 (z) + f2 (z)]dz = ∫ f1 (z)dz + ∫ f2 (z)dz ,

(10.19)

γ

γ

γ

∫

[ f1 (z) - f2 (z)]dz = ∫ f1 (z)dz - ∫ f2 (z)dz .

(10.20)

γ

γ

γ

10.2. Если функция

f (z)

непрерывна на гладкой кривой γ , то для любой константы c Χ

∫с f (z)dz = c∫ f (z)dz .

(10.21)

γ

γ

10.3. Если функции

f1 (z) ,

f 2 (z) непрерывны на гладкой кривой γ , то для любых c1, c2 Î C

∫

[c1 f1 (z) + c2 f2 (z)]dz = c1 ∫ f1 (z)dz + c2 ∫ f2 (z)dz .

(10.22)

γ

γ

γ

10.4. Если функции

f1 (z), f2 (z) ,..., fn (z)

непрерывны на гладкой кривой γ , то для любых c1, c2 , ..., cn Î C

∫

[c1 f1 (z) + c2 f2 (z) + ... + cn fn (z)]dz =

γ

= c1 ∫ f1 (z)dz + c2 ∫ f2 (z)dz + ... + cn ∫ fn (z)dz

(10.23)

γ

γ

γ

или в более краткой записи

∫

n

n

∑ci

fi (z) dz =∑ci ∫ fi (z)dz .

γ

i=1

i=1

γ

10.5. Если функция

f (z)

непрерывна на гладкой кривой γ , то

∫ f (z)dz = -∫ f (z)dz ,

(10.24)

γ

S

γ

где γ

– кривая вида (10.1)

с направлением

обхода от точки z0 = z(a)

к точке

z* = z(b); g

–

кривая вида (10.1) с

направлением обхода от точки z* = z(b) к точке z0 = z(a) .

10.6. Для гладкой кривой γ

справедлива формула

∫ dz = z* - z0 ,

(10.25)

γ

где z0 ,

z* – соответственно начальная и конечная точки кривой γ .

10.7. Если функция

f (z)

непрерывна на гладкой кривой γ

и кривая γ

разбита на две части g1 ,

g 2 так, что конец g1

совпадает с началом g 2 , то

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz .

(10.26)

γ

γ1

γ2

10.8. Если функция f (z) непрерывна на гладкой кривой γ и кривая γ				разбита на n частей γ1, γ 2 , ..., γ n так, что конец
γ i совпадает с началом γ i+1 (1 ≤ i ≤ n −1 ), то
		∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ... + ∫ f (z)dz								(10.27)
		γ		γ1			γ2	γn
или в более краткой записи
		n
	∫ f (z)dz = ∑ ∫ f (z)dz .
	γ	i=1 γi
Свойство 10.8 называется свойством аддитивности интеграла функции комплексного переменного.
Замечание 10.2. Если функция	f (z) = u(x, y) + iv(x, y)	комплексного переменного z = x + iy						непрерывна на гладкой
кривой γ , то вещественная функция
двух вещественных переменных x , y	непрерывна на этой кривой.			f (z)		=	[u(x, y)]2 + [v(x, y)]2			(10.28)

Действительно, из непрерывности функции f (z) на кривой γ вытекает в силу следствия 5.3 непрерывность u(x, y) и

v(x, y) на γ , что влечёт за собой непрерывность функции (10.28).

Укажем некоторые оценки сверху модуля интеграла функции комплексного переменного. 10.9. Если функция f (z) непрерывна на гладкой кривой γ , то

∫ f (z)dz

≤ ∫

f (z)

dl ,

(10.29)

γ

γ

где в правой части записан криволинейный интеграл первого рода от функции (10.28) вдоль кривой γ .

Действительно, оценим сверху модуль интегральной суммы (10.4) функции

f (z) . Используя (1.26), (1.20), получаем

n

n

n

n

Sn

=

∑ f (ζk )

zk

≤ ∑

f (ζk )

zk

= ∑

f (ζk )

zk

≤ ∑

f (ζk

)

lk ,

k =1

k =1

k =1

k =1

ибо

zk

≤ lk , 1 ≤ k ≤ n (см. рис. 10.4). Получили оценку

n

S n

≤ ∑

f (ζk )

lk .

(10.30)

k =1

В правой части (10.30) записана интегральная сумма функции (10.28) вдоль кривой γ существования криволинейного интеграла первого рода [2.3, с. 258]

n

f (ζ

)

lim

∑

k

l

max l

k

→0

k

1≤k ≤n

k

=1

В силу замечания 5.8

lim

Sn

=

lim

max lk →0

max lk →0

1≤k ≤n

1≤k ≤n

. По достаточному									признаку
= ∫		f (z)				dl .			(10.31)
γ
		=		∫ f (z)dz				.	(10.32)
Sn
				γ

Переходя в неравенстве	(10.30) к пределу при max l	k	→ 0 и учитывая соотношения (10.31),							(10.32), получаем оценку
	1≤k ≤n
(10.29).
10.10. Если функция	f (z) непрерывна на гладкой кривой γ и
то				f (z)			≤ M , z γ ,			(10.33)
					∫ f (z)dz				≤ M lγ ,	(10.34)
					γ
где lγ – длина кривой γ .
Действительно, в силу (10.30), (10.33)

			n
	S n		£ M ∑lk ,
			k =1
n
или в силу того, что ∑lk = lγ ,
k =1
				S n		£ M lγ .	(10.35)
Переходя в неравенстве (10.35) к пределу при max lk ® 0 , получаем оценку (10.34).
1≤k ≤n

Пусть функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного z = x + iy непрерывна на гладкой кривой γ . Тогда в силу замечания 5.10 вещественная функция (10.28) двух вещественных переменных x, y непрерывна на кривой γ . Заметим,

что гладкая кривая γ является замкнутым ограниченным множеством. Следовательно,

по второй теореме Вейерштрасса для

функций двух переменных [2.8, с. 496] $max

f (z)

.

zγ

10.11. Если функция f (z)

непрерывна на гладкой кривой γ , то

∫ f (z)dz

£ max

f (z)

×lγ .

(10.36)

γ

zγ

Заметим, что оценка (10.36) является частным случаем оценки (10.34).

m

Замечание 10.3. Если функция w = f (z) определена и непрерывна на кусочно-гладкой кривой g = Ugi

, то интеграл

i=1

функции f (z) вдоль кривой γ

можно определить формулой

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ... + ∫ f (z)dz

γ

γ1

γ 2

γ m

или в краткой записи

m

∫ f (z)dz = ∑ ∫ f (z)dz .

γi=1 γi

Замечание 10.4. Свойства 10.1 – 10.11 интегралов функций комплексного переменного сохраняют силу также в случае, когда в качестве пути интегрирования выступает кусочно-гладкая кривая, а подынтегральная функция непрерывна на этой

кривой.
Пусть функция w = f (z)	непрерывна на гладком или кусочно-гладком положительно ориентированном замкнутом
простом контуре γ . Тогда для интеграла функции f (z) вдоль контура γ используют обозначение
	∫ f ( z ) dz	(10.37)
	γ
а для интеграла функции f (z)	вдоль отрицательно ориентированного замкнутого простого контура g	– обозначение
	∫ f ( z ) dz .	(10.38)
	γ

Интегралы вида (10.37), (10.38) называют контурными интегралами.

11. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ

Формула Грина; интегральная теорема Коши для односвязной области; независимость интеграла аналитической функции от пути интегрирования; теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом интегрирования; формула Ньютона-Лейбница; формула интегрирования по частям; интегральная теорема Коши для многосвязной области.

При доказательстве интегральной теоремы Коши для односвязной области будет использована формула Грина [2.3, с. 288], позволяющая выразить криволинейный интеграл второго рода вдоль замкнутой простой кривой через двойной интеграл по области, ограниченной этой кривой: пусть вещественные функции P(x, y) и Q(x, y) вещественных переменных x, y определены и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвязной области D и на её гладкой или кусочно-гладкой границе ГD ; тогда справедлива формула

	∫	P ( x, y ) dx + Q ( x, y) dy = ∫∫	¶Q ( x, y )		-	¶P ( x, y )
							dxdy . (11.1)
				¶x		¶y
	ГD	D

Докажем интегральную теорему Коши для односвязной области.

Теорема 11.1. Пусть функция f (z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексного переменного z = x + iy определена в односвязной области D и удовлетворяет следующим условиям:

а) f (z) аналитична в области D ;

б) f ′(z) непрерывна в области D .

Тогда интеграл функции	f (z) вдоль любого положительно ориентированного замкнутого простого гладкого или кусочно-
гладкого контура γ D равен нулю:
	∫ f ( z ) dz = 0 .	(11.2)
	γ
Пусть γ –	положительно ориентированный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий	контур,
расположенный в D; D1	– внутренность контура γ (рис. 11.1).

Рис. 11.1

В силу односвязности области D справедливо включение					D1 D. Следовательно,	в силу	условия	а) функция
	f (z) аналитична в замкнутой области						и v(x, y)
			D1 = D1 γ . Тогда в силу следствий 8.1, 5.3 функции u(x, y)					непрерывны в
	D1 , в частности, непрерывны на γ . По формуле (10.10)
				∫ f ( z ) dz = ∫ u ( x, y ) dx − v ( x, y ) dy + i ∫ v ( x, y ) dx + u ( x, y) dy . (11.3)
				γ	γ	γ

Из формул (8.32), (8.35), условия б) и следствия 5.3 вытекает, что частные производные первого порядка функций u(x, y) и v(x, y) непрерывны в D1 . Следовательно, к каждому из интегралов в правой части (11.3) можно применить формулу (11.1):

I1 = ∫ u ( x, y) dx − v ( x, y) dy = ∫∫

∂v ( x, y )

∂u ( x, y )

−

−

dxdy ,

(11.4)

∂x

∂y

γ

D1

I2 = ∫ v ( x, y ) dx + u ( x, y) dy = ∫∫

∂u ( x, y )

−

∂v ( x, y)

dxdy .

(11.5)

∂x

∂y

γ

D1

В силу условия а) и теоремы 9.3 в области D , в частности, в замкнутой области

D1 выполняются условия Коши-Римана

∂u(x, y) =

∂v(x, y) ,

∂u(x, y) = −

∂v(x, y) .

(11.6)

∂x

∂y

∂y

∂x

В силу (11.6) подынтегральные функции в правых частях формул (11.4), (11.5) равны нулю, следовательно,

I1 = 0 ,

I 2 = 0 .

Тогда, в силу (11.3), справедлива формула (11.2). Теорему 11.1 можно сформулировать в следующем виде [1.4, с. 153]:

Теорема 11.1′. Пусть

а′) функция f (z) аналитична в односвязной области D и на ограничивающем её замкнутом простом гладком или кусочно-гладком контуре ГD , т.е. аналитична в замкнутой области D1 = D ГD ;

б′) производная f ′(z) непрерывна в D .

Тогда

				∫	f ( z ) dz = 0 .
				ГD
Замечание 11.1. Условие а′) означает, что функция
					f (z) аналитична в некоторой области D* , включающей в себя			D	:
D* É		.
	D
Замечание 11.2.			Теорема 11.1	(теорема 11.1′) сохраняют силу без условия б) (условия б′), однако доказательство
теоремы 11.1 (теоремы 11.1′), не использующее условие б)					(условие б′), существенно усложняется [1.2, с. 145].
Следствие 11.1.			Если функция	f (z) аналитична в односвязной области D , то для произвольных точек z1, z2 Î D и
любых простых гладких или кусочно-гладких кривых g1 , g 2 Ì D , соединяющих точки z1 и z 2 , выполняется равенство
					∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz .		(11.7)
					γ1	γ2
Действительно, пусть z1, z2 Î D ;				g1 , g 2 – простые гладкие или кусочно-гладкие кривые, соединяющие точки z1 и z 2 и
расположенные в области D (рис. 11.2).

Рис. 11.2

Рассмотрим замкнутый простой контур g = g1 È g2 . Контур γ является гладким или кусочно-гладким как объединение двух гладких или кусочно-гладких кривых.

В силу теоремы 11.1
		∫ f ( z ) dz = 0 .		(11.8)
		γ
В силу (10.26)
	∫	f ( z ) dz = ∫	f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz .	(11.9)
	γ	γ1	S
			γ2
В силу (10.24)
		∫ f (z)dz = - ∫ f (z)dz .		(11.10)
		S	γ2
		γ2
В силу (11.8) – (11.10)
∫ f (z)dz - ∫ f (z)dz = 0 ,
γ1	γ2

откуда следует равенство (11.7).

Таким образом, если функция f (z) аналитична в односвязной области D , то для любой простой гладкой или кусочно-

гладкой кривой γ D , соединяющей две данные точки z1, z2 Î D , выполняется соотношение
∫ f (z)dz º c - const ,	(11.11)
γ

т.е. такой интеграл не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования. Следовательно, такой интеграл можно обозначить как

z2
∫ f (z)dz ,	(11.12)
z1

при этом z1 и z 2 называются пределами интегрирования (соответственно, нижним и верхним).

Интеграл (11.11) можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница

z2

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz = Ф(z)

γz1

z2 = Ф(z	2	) − Ф(z ) , (11.13)
z1		1

где Ф(z) – первообразная функции f (z) в области D (это означает, по определению, что Ф(z) аналитична в D и Ф′(z)

= f (z) ).

Покажем справедливость формулы (11.13). Для этого докажем вначале теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 11.2. Пусть функция f (z) непрерывна в односвязной области D и для произвольных точек z1, z2 D и

любых простых гладких или кусочно-гладких кривых γ1 , γ 2 D , соединяющих точки z1 и z 2 , выполняется условие (11.7).

Тогда при любом фиксированном z0 D функция

z

F (z) = ∫ f (ζ)dζ , z D ,

(11.14)

z0

аналитична в области D и

F ′(z) = f (z) .

(11.15)

Пусть z – произвольная фиксированная точка из D . По определению производной

F ′(z) = lim

F (z1 )− F (z)

.

z1→ z

z − z

1

Следовательно, нужно показать, что

lim

F (z1 )− F (z)

= f (z) ,

(11.16)

z1

→ z

z − z

1

&

т.е. ε > 0 Oδ (z), δ = δ(ε) | z1 Oδ (z)

F ( z1 )

− F ( z )

− f (z)

< ε .

(11.17)

z1 − z

Возьмём произвольное фиксированное ε > 0 . По условию теоремы функция

f (ζ)

непрерывна в области D ,

в частности,

она непрерывна во взятой точке z D . Следовательно,

для

ε

O (z), δ = δ

ε

= δ(ε) | ζ O (z)

f (ζ) − f (z)

<

ε

. (11.18)

δ

δ

2

2

2

Рассмотрим произвольное фиксированное	&	и z1 рассмотрим кривую
	z1 Oδ (z) . В качестве кривой, соединяющей точки z0

L = γ γ1 , где γ – какая-либо гладкая кривая, соединяющая точки z0 и z ; γ1 – прямолинейный отрезок, соединяющий точки z и z1 (рис. 11.3).

Рис. 11.3

Используя формулу (10.26), получаем

z1

F (z1 ) = ∫ f (ζ)dζ = ∫ f (ζ)dζ = ∫ f (ζ)dζ + ∫ f (ζ)dζ =

z0

L

γ

γ1

z

= ∫ f (ζ)dζ + ∫ f (ζ)dζ = F (z) + ∫ f (ζ)dζ .

z0

γ1

γ1

Тогда

F (z1 )− F (z) = ∫ f (ζ)dζ .

(11.19)

γ1

В силу (10.21), (10.25)

f (z) =

1

∫ f (z)dζ .

(11.20)

z

1

− z

γ1

В силу (11.19), (11.20) и формулы (10.20)

F ( z1 ) − F ( z )

1

∫ [ f (ζ) − f (z)]d ζ .

− f (z) =

z − z

z − z

1

1

γ1

В силу включения γ Oδ (z) и соотношения (11.18)

f (ζ) − f (z)

<

ε

, ζ γ1 .

2

Тогда, используя оценку (10.34) и учитывая равенство lγ =

z1 − z

,

имеем

F ( z1 ) − F ( z )

1

1

∫ [ f (ζ) − f (z)]d ζ

− f (z)

=

=

z − z

z − z

1

1

γ1

1

∫ [ f (ζ) − f (z)]d ζ

1

ε

1

ε

ε

=

≤

lγ1 =

z1 − z

=

< ε ,

z − z

z − z

2

z − z

2

2

1

γ1

1

1

т.е.

F ( z1 ) − F ( z ) − f (z) < ε . z1 − z

Утверждение (11.17) доказано.

В силу теоремы 11.2 функция (11.14) является первообразной функции f (z) в области D .

Замечание 11.3.		Если Ф1 (z) , Ф2 (z) –		первообразные для функции		f (z)	в области D , то Ф1 (z) − Ф2 (z) = C − const ,
z D .				g(z) = Ф1 (z) − Ф2 (z).					′
Действительно,			положим					Тогда
									g (z) =
′	′	′		′	z	D .	Пусть g(z) = u(x, y) + iv(x, y) . Тогда в силу
= [Ф1 (z) − Ф2 (z)]	= Ф1	(z) − Ф2	(z) = f (z) − f (z) = 0. Получили g (z) = 0,
формул (8.32), (8.35)
			∂u(x, y) = 0 ,	∂u(x, y) = 0 u(x, y) = C − const ,			(x, y) D ;
			∂x	∂y	1
			∂v(x, y) = 0 ,	∂v(x, y) = 0 v(x, y) = C	2 − const ,		(x, y) D .
			∂x	∂y

Следовательно, g(z) = u(x, y) + iv(x, y) = C1 + iC2 = C − const ,

(x, y) D , т.е. Ф1 (z) − Ф2 (z) = C − const , z D .

Теорема 11.3. Пусть функция f (z) аналитична в односвязной области D , а Ф(z) – некоторая первообразная функции f (z) в D. Тогда для любых z1, z2 D справедлива формула (11.13).

Рассмотрим произвольные фиксированные z1, z2 D . В силу замечания 9.3 функция f (z) непрерывна в области

D . Следовательно, в силу теоремы 11.2 функция

z

F (z) = ∫ f (ζ)dζ , z D ,

z1

является первообразной функции f (z) в области D .

В силу замечания 11.3 F (z) = Ф(z) + C , где C − const , т.е.

	z
	∫ f (z)dz = Ф(z) + C .	(11.21)
	z1
Полагая в (11.21)	z = z1 , получаем 0 = Ф(z1 ) + C , откуда C = -Ф(z1 ). Тогда (11.21) принимает вид
	z
	∫ f (z)dz = Ф(z)- Ф(z1 ).	(11.22)
	z1
Полагая в (11.22)	z = z 2 , получаем формулу (11.13).
Пример 11.1. Вычислим

∫(z2 + cos z ) dz ,

γ

где γ – ломаная, соединяющая точки z1 = 0 , z 2 = 1 , z3 = i (рис.11.4).

Рис. 11.4

Подынтегральная функция f (z) = z 2 + cos z

аналитична на комплексной плоскости Χ как сумма двух аналитических на Χ

функций (см. примеры 9.1, 9.3,

теорему 9.5). Кривая γ является простой кусочно-гладкой кривой. Следовательно, применима

формула Ньютона-Лейбница. Первообразной функции

f (z)

является функция Ф(z) =

1

z3 + sin z .

Действительно,

применяя

3

формулы (8.41), (8.46), (8.3), (8.39), получаем Ф¢(z) = z 2 + cos z = f (z) .

По формуле (11.13)

2

i

2

1

3

i

I = ∫(z

+ cos z )dz

= ∫(z

+ cos z )dz =

z

+ sin z

=

γ

0

3

0

1

1

1

3

3

1

=

i

+ sin i

-

× 0

+ sin 0

= -

i + i

sh1 = i

sh1 -

3

3

3

3

1

(использована формула (6.36)). Получили I = i

sh1 -

.

3

Для функций, аналитических в односвязной области, справедлива формула интегрирования по частям.

Теорема 11.4.

Пусть функции f (z) и g(z)

аналитичны в одно-связной области D . Тогда для любой простой гладкой

или кусочно-гладкой кривой γ D, соединяющей две данные точки z1, z2 Î D справедлива формула

z2

[g(z)] = f (z)g(z)

z2

∫ f (z)d [g(z)] = ∫ f (z)d

z2 - ∫ g (z)d [ f (z)] . (11.23)

γ

z1

z1

z1

Пусть z1, z2 Î D ; γ –

простая гладкая или кусочно-гладкая кривая с началом в точке

z1 и концом в точке z 2 ,

расположенная в D. Позже будет показано (см. следствие 12.1), что производная аналитической в односвязной области

функции является аналитической функцией в этой области. В силу этого производные

f ′(z) , g ′(z)

аналитичных в D

функций

f (z)

,

g(z)

аналитичны

в

D .

Следовательно,

в

силу

теоремы

9.5

функции

′

′

′

′

f (z)g (z)

аналитичны в области D .

В силу следствия 11.1

f (z)g(z),

f (z)g (z), f

(z)g(z)

+ f (z)g (z),

		z2		z2
∫ f ′(z)g(z)dz = ∫ f ′(z)g(z)dz = ∫ g(z)d [ f (z)] ,
γ		z1		z1
		z2		z2
∫	′	∫	′	∫ f (z)d [g (z)] .
	f (z)g (z)dz =		f (z)g (z)dz =
γ		z1		z1

Тогда

z2

z2

∫ f ′(z)g(z)dz + ∫ f (z)g ′(z)dz = ∫ g(z)d [ f (z)]+ ∫ f (z)d [g(z)].

(11.24)

γ

γ

z1

z1

С другой стороны, используя формулы (10.19), (8.43), (11.13), получаем

∫ f ′(z)g(z)dz + ∫ f (z)g ′(z)dz = ∫[ f ′(z)g (z) + f (z)g ′(z)]dz =

γ

γ

γ

z2

[ f ′(z)g(z) + f (z)g′(z)]dz =

= ∫

z1

z2

z2

[ f (z)g (z)] = f (z)g (z)

z2

= ∫

[ f (z)g(z)] ′dz = ∫ d

.

(11.25)

z1

z1

z1

В силу (11.24), (11.25)

z2

z2

= f (z)g (z)

z2

∫ g(z)d [ f (z)] + ∫ f (z)d [g (z)]

,

z1

z1

z1

откуда следует формула (11.23).

Пример 11.2. Вычислим

∫ z cos zdz ,

γ

i

где γ – правая половина окружности

S

1

с началом в точке z1 = i и концом в точке z 2

= 0 (рис.11.5).

2

2

Рис. 11.5

В силу (8.39) cos zdz = d (sin z). Функции z , sin z аналитичны на комплексной плоскости Χ (см. примеры 9.1, 9.3). Кривая
γ является простой гладкой кривой. Следовательно, применима формула (11.23):
		0						0
I = ∫ z cos zdz = ∫ zd				(sin z ) = z sin z				0 − ∫sin zdz =
γ								i
		i								i
= 0sin 0 − i sin i + cos z			0 = −i sin i + cos 0 − cos i = sh1+ 1 − ch1 =
			i
= 1 +	e1 − e−1				−	e1 + e−1	= 1 −		1
									e
		2		2

(использованы формулы (8.40), (6.36), (6.37), (6.30)). Получили I = 1 − 1 . e

Докажем интегральную теорему Коши для многосвязной области (интегральную теорему Коши о составном контуре).