Госы 5к Надя / fomin-a

Из (17.30) следует в силу теоремы 5.2 и замечания 5.5, что $Oδ2 (z0 ) , в которой функция y(z) ограничена по модулю и отлична от нуля. Функция ( z - z0 )m при m ³ 1 является бесконечно малой величиной при z ® z0 , следовательно, в силу замечания 5.6 функция 1/ ( z - z0 )m является бесконечно большой величиной при z ® z0 . Тогда в силу теоремы 5.4 функция

f ( z ) =	y ( z )		(17.31)
	( z - z	)m
	0

является бесконечно большой величиной при z ® z0 , т.е. выполняется (17.13), а это означает, что z0 есть полюс функции f (z) .

Пусть z0 – полюс функции			f (z) . Тогда, в силу теоремы 17.2 в некоторой проколотой d-окрестности точки z0
справедливо разложение		(17.28)	функции f (z) в ряд Лорана, при этом первый ряд в					правой части (17.28)		является
правильной частью лорановского разложения, второй ряд – главной частью лорановского разложения.
Старшим членом главной части лорановского разложения (17.28) называется слагаемое
				c−m
					.
				( z - z0 )m		f (z) называется показатель степени в
Определение	17.2.	Порядком (или кратностью) полюса z0 функции
знаменателе старшего члена главной части лорановского разложения функции f (z)						в проколотой окрестности точки z0 .
Согласно определению 17.2, порядок полюса z0 функции f (z) , имеющей разложение (17.28), равен числу m.
Полюс порядка m = 1 функции f (z) называется простым полюсом этой функции.
Теорема 17.3.	Изолированная особая точка z0 функции f (z) является полюсом порядка m этой функции тогда и
только тогда, когда функция f (z)			представима в некоторой проколотой δ -окрестности точки z0 в виде
					f ( z )	=	y ( z )
									,	(17.32)
							( z - z	)m
						0
где y(z) – некоторая аналитическая в Oδ (z0 ) функция, отличная от нуля в точке z0 .
Необходимость.		Пусть z0 – полюс порядка m функции f (z) , т.е. в некоторой						&
								Oδ (z0 ) справедливо разложение
			&							– сумма
(17.28) с c−m ¹ 0 . Тогда (см. доказательство теоремы 17.2) в Oδ (z0 ) справедливо представление (17.31), где y(z)

степенного ряда, записанного в квадратных скобках в правой части (17.29). В силу теоремы 14.14 y(z) аналитична в Oδ (z0 )

и y(z0 ) = c−m ¹ 0 .

Достаточность. Пусть справедливо представление (17.32). В силу теоремы 15.1 в Oδ (z0 ) справедливо разложение

∞

( z - z0 )n ,

y ( z ) = ∑dn

(17.33)

n=0

&

при этом d0 = y(z0 ) ¹ 0 . В силу (17.32), (17.33) для "z ÎOδ (z0 )

∞

n−m

m−1

dn

∞

n−m

f ( z ) = ∑dn ( z - z0 )

=

∑

+

∑ dn ( z - z0 )

. (17.34)

n=0

n=0 ( z - z0 )m−n

n=m

Аналогично тому, как получено (17.26), имеем

m−1

dn

m

c−n

∑

=

∑

,

(17.35)

n=0

( z - z0 )m−n

n=1 ( z

- z0 )n

где c−n = d m−n , 1 ≤ n ≤ m , в частности, c−m = d0 ¹ 0 .

Аналогично тому, как получено (17.27), имеем

∞

( z - z0 )n−m =

∞

∑ dn

∑cn ( z - z0 )n ,

(17.36)

n=m

n=0

где cn = bm+n , n Î N È{0}. В силу (17.34) – (17.36)

&

(z0 )

для "z ÎOδ

∞

m

c−n

f ( z )

= ∑cn ( z - z0 )

n

+

∑

,

( z - z

n=0

n=1

)n

0

z→z0

где c−m ¹ 0 , а это означает, по определению, что точка z0 является полюсом порядка m функции f (z) .

Пусть m – некоторое натуральное число.

Определение 17.3. Нуль z0 аналитической в окрестности Oδ (z0 ) функции

f (z)

называется нулём кратности m (или

порядка m), если в этой окрестности функция

f (z)

представима в виде

f ( z ) = ( z - z0 )m j( z ) ,

(17.37)

где j(z) –

некоторая аналитическая в Oδ (z0 )

функция, отличная от нуля в точке z0 .

Нуль кратности m = 1 функции f (z)

называется простым нулём этой функции.

Теорема 17.4. Точка z0

является нулём кратности m аналитической в Oδ (z0 )

функции

f (z) тогда и только тогда, когда

f ( z0 ) = f ¢( z0 ) = f ¢¢( z0 ) = ... = f (m−1) ( z0 ) = 0 , но f (m) ( z0 ) ¹ 0 .

(17.38)

Необходимость.

Пусть

z0

–

нуль

кратности

m

функции

f (z) ,

т.е.

выполняется

(17.37).

Тогда

f ( z

0

) = ( z

0

- z )m j( z

0

) = 0 ;

0

f ¢( z ) = m ( z - z

0

)m−1 j( z ) +

( z - z

0

)m j¢( z ) = ( z - z

0

)m−1 j

( z ) ,

1

где j1 ( z ) = mj( z ) + ( z - z0 ) j¢( z ) , j1 ( z0 ) = mj( z0 ) ¹ 0 ;

f ¢¢( z ) = (m -1)( z - z

0

)m−2 j ( z )

+ ( z - z

0

)m−1 j¢

( z ) = ( z - z )m−2 j

2

( z ) ,

1

1

0

где j2 ( z ) = (m -1) j1 ( z ) + ( z - z0 ) j1¢ ( z ) , j2 ( z0 ) = (m -1) j1 ( z0 ) ¹ 0 ;

……………………………………………………………………...

f (m−1) ( z ) = ( z - z0 ) jm−1 ( z ) , где jm−1 ( z ) | jm−1 ( z0 ) ¹ 0 ;

f (m) ( z ) = j

m−1

( z ) + ( z - z

0

) j¢

( z ) .

m−1

Получаем

f ( z0 ) = 0 , f ¢( z0 ) = 0 , f ¢¢( z0 ) = 0 , … ,

f (m−1) ( z0 ) = 0 ,

но f (m) ( z0 ) = jm−1 ( z0 ) ¹ 0 .

Достаточность.

Пусть выполняется (17.38). В силу теоремы 15.1 справедливо разложение

∞ f

(n) ( z

0

)

( z - z0 )n , z Î Oδ (z0 ) .

f ( z ) = ∑

(17.39)

n!

n=0

В силу (17.38) разложение (17.39) принимает вид

∞

f

(n) ( z

0

)

∞

f (n) ( z

0

)

( z - z0 )n−m . (17.40)

f ( z ) = ∑

( z

- z0 )n = ( z - z0 )m ∑

n!

n!

n=m

n=m

В силу теоремы 14.14 сумма j(z) степенного ряда в правой части (17.40) аналитична в Oδ (z0 ) и j(z0 ) = c0

=

f (m) (z0 )

¹ 0 . В

m!

силу (17.40)

f ( z ) = ( z - z0 )m j( z ) ,

z Î Oδ (z0 ) , где j(z) аналитична в Oδ (z0 ) и

j(z0 ) ¹ 0 , а это означает, по определению,

что точка z0

является нулём кратности m функции

f (z) .

Теорема 17.5.

Если точка z0 является нулём кратности m аналитической в Oδ (z0 )

функции g(z) , то эта точка

является полюсом порядка m функции

f (z) = 1/ g(z) .

В силу определения 17.3 g ( z ) = ( z - z0 )m j( z ) , следовательно, функция

f (z) = 1/ g(z)

имеет вид

f ( z )

=

y ( z )

,

( z - z

)m

0

где y(z) = 1/ j(z) . По условию j(z) аналитична в Oδ (z0 ). Следовательно, в силу замечания 9.3 j(z) непрерывна в Oδ (z0 ), в частности, j(z) непрерывна в точке z0 , т.е. lim j(z) = j(z0 ) ¹ 0 . Тогда, в силу замечания 5.5

$Oδ1 (z0 )| "z Î Oδ1 (z0 ) j(z) ¹ 0 .

Следовательно, функция y(z) = 1/ j(z) определена и аналитична в Oδ

( z0 ) как отношение двух аналитических в Oδ ( z0 )

1

1

функций

(см. теорему 9.5) . Кроме того, y(z

0 ) =

1

¹ 0 . Итак,

j(z0 )

f ( z ) =

y ( z )

&

( z0 ) ,

,

z Î Oδ1

( z - z )m

0

где y(z)

аналитична в Oδ ( z0 ) и y(z

0 ) ¹ 0 . Следовательно, в силу теоремы 17.3 точка z0 является полюсом порядка m

1

функции

f (z) .

В силу теоремы 17.5, чтобы найти полюсы функции f (z) = 1 / g(z) и определить их порядок, достаточно найти нули функции g(z) и определить их кратность.

Теорема 17.6. Если точка z0 является полюсом порядка m функции f (z) , то эта точка является нулём кратности m функции g(z) = 1/ f (z) .

Доказательство теоремы 17.6 аналогично доказательству теоремы 17.5 (нужно провести такие же рассуждения, но только в обратном порядке).

	Теорема 17.7. Пусть функция f (z) имеет вид
	f (z) =	p(z)		,
		q(z)

где p(z), q(z) – аналитические в Oδ (z0 ) функции и точка z0 является нулём кратности m функции p(z) и нулём кратности

k функции q(z) . Тогда при m ³ k точка	z0 является устранимой особой точкой функции f (z) , при m < k					точка z0
является полюсом порядка k - m функции	f (z) .
По условию теоремы
	p ( z ) = ( z - z	0	)m j		( z ) ,	(17.41)
			1
где j1 (z) аналитична в Oδ (z0 ) и j1 (z0 ) ¹ 0 ;
	q ( z ) = ( z - z		)k j	2	( z ) ,	(17.42)
		0

где j2 (z ) аналитична в Oδ (z0 ) и j2 (z0 ) ¹ 0 .

Пусть m ³ k , т.е. m - k ³ 0 . Тогда, в силу (17.41), (17.42)

f ( z ) = ( z - z0 )m−k	j1	( z )	.	(17.43)
	j2
		( z )

Функции j1 (z) , j2 (z ) аналитичны в Oδ (z0 ) следовательно, в силу замечания 9.3, эти функции непрерывны в Oδ (z0 ) , в

частности, они непрерывны в точке z0

, т.е. lim j1 (z) = j1 (z0 ),

lim j2 (z) = j2 (z0 ). Тогда, в силу теоремы 5.6

z→z0

z→z0

$ lim

j1

(z)

=

j1

(z0 )

.

j2

(z)

j2

z→ z0

(z0 )

Следовательно, в силу (17.43)

j

(z

)

$ lim f (z) =

1

0

, m = k,

j

(z

)

z→ z0

2

0

m > k,

0,

а это означает, по определению, что точка z0 является устранимой особой точкой функции f (z) .

Пусть m < k , тогда в силу (17.41), (17.42)

		f ( z ) =	y ( z )	,	(17.44)
			( z - z0 )k −m
где y(z) = j1 (z)/ j2	(z). Так как lim j2 (z) = j2 (z0 ) ¹ 0 , то в силу замечания 5.5
	z→z0
	$Oδ	(z0 )| "z Î Oδ (z0 ) j2 (z) ¹ 0 .
	1	1

Следовательно, функция y(z)= j1 (z)/ j2 (z) определена и аналитична в Oδ (z0 ) как отношение					двух аналитических в
		1
Oδ (z0 )	функций (см. теорему 9.5). Кроме того, y(z0 )= j1 (z0 )/ j2 (z0 )¹ 0 . Итак, функция		f (z)	представима в виде (17.44),
1
где y(z)	аналитична в Oδ (z0 ) и y(z0 )¹ 0 . Следовательно, в силу теоремы 17.3 точка z0		является полюсом порядка k - m
	1
функции f (z).
Пример 17.2. Определим тип изолированной особой точки z0		= 0 функции
		f (z)=	cos z	.	(17.45)
			z5
Точка z0 = 0 является единственной особой точкой функции		f (z). Следовательно,	f (z)	разложима в ряд Лорана в
кольце K0,∞ (z0)= C \ {0}. Используя стандартное разложение (15.41), получаем для "z Î C \ {0}

( ) = cos z f z

z5

= 1 1 - z2 z5 2!

z

4

z

6

+ ... + (-1)n

z

2n

+

-

+ ...

=

4!

6!

(2n)!

1

1

1

1

2!

4!

=

-

+

+

-

z

+ ... +

z5

z3

z

6!

	(-1)	n
			z2n−5 + ... .	(17.46)
	(2n)!

Главная часть лорановского разложения (17.46) содержит три ненулевых члена, при этом в его старшем члене 1/ z5 показатель степени в знаменателе равен пяти. Следовательно, в силу теоремы 17.2 точка z0 = 0 является полюсом порядка m = 5 функции (17.45).

	Пример 17.3. Найдём особые точки функции
	f (z)=	e z		(17.47)
		z 2 +1

и определим их тип.

Функция f (z) имеет две особые точки z1 = i , z 2 = -i (это те значения z , при которых знаменатель в (17.47) равен нулю) (рис. 17.1).

Рис. 17.1

		&	(i) в виде
	Запишем функцию f (z) в O2
						f (z)= y(z) ,
						z - i
	где y(z)= e z /(z + i) .	Функция e z	аналитична на всей комплексной плоскости Χ (см. пример 9.1);				функция w(z)= z + i
	аналитична на C и	w(z ) ¹ 0 , " z Î C \ {-i}		. Следовательно, функция y(z) аналитична в O2 (i)			как отношение двух
	аналитических в O2 (i) функций. Кроме того,			y(i)=	ei	¹ 0 , ибо e z ¹ 0 , z Χ (см. (6.25)). Следовательно, в силу теоремы
					2i

17.3 точка z1 = i является простым полюсом функции (17.47). Аналогично показывается, что точка z 2 = -i тоже является простым полюсом этой функции.

Пример 17.4. Определим тип особой точки z0 = 0 функции

f (z) =

sin 2z

.

(17.48)

cos z -1 +

z 2

Используя стандартное разложение (15.40), получаем для z Χ

2

∞

(-1)

n

2n+1

∞

(-1)

n

2

2n+1

z

2n

p(z) = sin 2z = ∑

(2z)

= z∑

= zj1

(z ),

(2n +1)!

(2n +1)!

n=0

n=0

где j1 (z) – сумма ряда

∞

n

2

2n+1

z

2n

∑

(-1)

.

n=0

(2n +1)!

В силу теоремы 14.14 j1 (z) аналитична на Χ. Кроме того,

j1 (0) = c0 = 2 ¹ 0 . Получили

p(z) = zj1 (z), где j1 (z) аналитична

на Χ и j1(0) ¹ 0. Следовательно, точка z0 = 0 является нулём кратности m = 1 (т.е. простым нулём) функции p(z). Далее, используя стандартное разложение (15.41), получаем для z Χ

q(z) = cos z -1+ z

2

= ∑ (-1)

n

z

2n

-1 + z

2

= ∑

(-1)

n

z

=

∞

∞

2n

2

n=0

(2n)!

2

n=2

(2n)!

∞

(-1)

n

z

2n−4

= z 4j2 (z),

= z 4 ∑

(2n)!

n=2

где j2 (z ) – сумма ряда

∞

(-1)

n

z

2n−4

∑

.

(2n)!

n=2

В силу теоремы 14.14 j2 (z ) аналитична на Χ. Кроме того,

j2

(0) =

1

¹ 0 . Получили q(z) = z 4j2 (z) , где j2 (z)

аналитична на

4!

Χ и j2 (0) ¹ 0. Следовательно, точка z0

= 0 является нулём кратности k = 4 функции q(z) . Тогда в силу теоремы 17.7 точка

z0 = 0 является полюсом порядка 3 функции f (z) = p(z)/ q(z) .

Теорема 17.8. Изолированная особая точка z0

функции

f (z) является существенно особой точкой этой функции тогда

и только тогда, когда главная часть лорановского разложения (17.1) функции

f (z) в некоторой проколотой d-окрестности

точки z0 содержит бесконечное число ненулевых членов.

Необходимость. Пусть z0 –

существенно

особая

точка функции

f (z)

. Тогда главная часть

лорановского

разложения (17.1) содержит бесконечное число ненулевых членов, ибо в противном случае точка z0 была бы в силу теорем 17.1, 17.2 либо устранимой особой точкой, либо полюсом функции f (z) .

Достаточность. Пусть главная часть лорановского разложения (17.1) содержит бесконечное число ненулевых членов. Тогда z0 является существенно особой точкой функции f (z) , ибо в противном случае в силу теорем 17.1, 17.2 главная часть

лорановского разложения (17.1) либо равнялась бы нулю, либо содержала бы конечное число ненулевых членов. Пример 17.5. Определим тип особой точки z0 = 0 функции

7
f (z) = z 3e		.
	z 2		(17.49)
Точка z0 = 0 является единственной особой точкой функции f (z). Следовательно, f (z)			разложима в ряд Лорана в
кольце K0,∞ (z0) = C \ {0}. Используя стандартное разложение (15.39), получаем для "z Î C \ {0}

7

f ( z ) = z3e z2

							7			2
				7
= z	3		+			+	z2
		1
				z	2		2!

	7			3		7		n
+	z2				+ ... +	z2
	3!						n!

72

= 7z + z3 + 2!

z

+ ... =

73

+3! + ... + z3

	7n
	n!
z2n−3
			+ ... .	(17.50)

Главная часть лорановского разложения (17.50) содержит бесконечное число ненулевых членов, следовательно, в силу теоремы 17.8 точка z0 = 0 является существенно особой точкой функции (17.49).

Поведение функции в окрестности её существенно особой точки уточняет следующее утверждение, называемое

теоремой Сохоцкого.

Теорема

17.9.

Пусть

z0

–

существенно

особая

точка

функции

f (z) .

Тогда

для

"A Î

$ {zn

} Ì C , lim zn

= z0 | lim f (zn ) = A .

C

n→∞

n→∞

1) Пусть A = ∞ .

Функция f (z) не

ограничена в

любой

&

&

Oδ (z0 ) . Действительно,

: $Oδ1 (z0 ):

f (z )

£ M ,

(z0 ) .

&

Тогда (см.

доказательство необходимости в теореме 17.1) все коэффициенты

c−n , n Î N ,

главной части

"z Î Oδ1

лорановского разложения функции f (z)

в проколотой окрестности точки z0 равны нулю. Следовательно,

в силу теорему

17.1 (см. достаточность)

z0 является

устранимой особой

точкой

f (z) .

Противоречие.

. Итак, функция f (z)

не

ограничена в

&

O1 (z0 ) при любом n Ν . Следовательно,

n

" & ( )

O1 z0

n

$ zn	ÎO1 (z0 ): f (zn ) > n .
	&
		n

&

1

Имеем zn Î O1 (z0 )Û 0 <

zn - z0

<

.

n

n

Переходя в последних неравенствах к пределу при n → ∞ , получаем

lim

z n

- z0

= 0 lim (z n - z

0 )= 0 lim z n = z

0 .

n→∞

n→∞

n→∞

f (zn )

> n к пределу при n → ∞, получаем lim

f (zn )

= +¥ lim f (zn )

= ¥. Итак, построена

Переходя в неравенстве

n→∞

n→∞

последовательность {zn },

lim zn

= z0

| lim f (zn )= ¥ .

n→∞

n→∞

2)Пусть A ¹ ¥ . Возможны два случая

&

(z0 )

&

и lim f (zn )= lim A = A , что и требовалось доказать.

2.1) "O1

$ zn ÎO1 (z0 )| f (zn ) = A . Тогда lim zn = z0

n→∞

n→∞

n→∞

n

n

&

(z0 )

&

2.2) $O1

| "z ÎO1 (z0 ) f (z)¹ A . Тогда функция

n

n

g(z)= f (z)- A

1

&

&

Так как

определена и аналитична в O 1 (z0 ) как отношение двух аналитических в

O 1 (z0 ) функций (см. теорему 9.5).

n

n

функция f (z) не

имеет

предела при z ® z0 , то функция

g(z) тоже не

имеет

предела при z ® z0 ,

т.е. z0

является

существенно особой точкой функции g(z). Тогда по уже доказанному в пункте 1)

${zn }Ì C , lim z n = z0

| lim g(zn )= ¥ .

n→∞

n→∞

Значит,

lim [1 / g(z n )]= 0 , т.е. lim [f (zn )- A]= 0 , следовательно, lim f (zn )= A .

n→∞

n→∞

n→∞

Если рассматривать расширенную комплексную плоскость

= C È{¥}, то естественно ввести следующие определения.

C

Определение 17.4.

Несобственное комплексное число

z = ∞ называется изолированной особой точкой функции

w = f (z) , если $OiE (¥)= {z Î C :

z

> E}, в которой нет особых точек функции

f (z) , т.е. в которой эта функция аналитична.

Определение 17.5. Изолированная особая точка z = ∞ функции f (z) называется:

1)

устранимой особой точкой, если существует конечный

lim f (z)= A ;

z→∞

2)

полюсом, если lim f (z)= ¥ ;

z→∞

3)

существенно особой точкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f (z) при z → ∞ .

Замечание 17.2.

Если z = ∞ является устранимой особой точкой функции f (z) ,

то можно доопределить эту функцию

при z = ∞ , положив

f (¥)= lim f (z)= A . Тогда "расширенную" функцию

z→∞

f% (z ) = f (z ), z Î C,

A, z = ¥

можно считать аналитической на

.

C

Пусть z = ∞ является изолированной особой точкой функции f (z) , т.е. функция

f (z) аналитична в некотором кольце

K E ,∞ (0)= {z Î C :

z

> E}.

Положим w =

1

. Заметим, что при таком отображении образом кольца K E ,∞ (0)

является кольцо

z

&

1

&

K0,δ (0) = {w ÎC : 0 <

w

< d}= Oδ (0), где d = 1/ E . Положим h(w) =

f

, w ÎOδ (0) .

Функция

h(w) аналитична

в

кольце

w

K 0,δ (0), следовательно, в силу теоремы 16.2, h(w) разложима в этом кольце в ряд Лорана

∞

ˆ

n

∞

cˆ −n

w Î K0,δ (0),

h(z) = ∑cn w

+ ∑

w

n

,

(17.51)

n=0

n=1

где

h (z)

ˆ

1

=

∫γ zn+1

d z ,

cn

2pi

и введя обозначения cn = c−n ,

γ – любая окружность в центром в нуле радиуса r < δ .

Возвращаясь к переменной

z

c−n = cn , получаем

ˆ

ˆ

∞

∞

f (z) = ∑

c−n

+ ∑cn z n , z Î K E ,∞ (0) .

(17.52)

n

n=0 z

n=1

Двусторонний степенной ряд в правой части представления (17.52) называется рядом Лорана функции

f (z) в iE -

окрестности изолированной особой точки z = ∞ , а само представление (17.52) называется разложением функции

f (z) в ряд

Лорана (или лорановским разложением функции f (z) ) в iE -окрестности изолированной особой точки z = ∞ .

Заметим, что поведение функции f (z) при z → ∞ определяется поведением ряда по положительным степеням z . По

этой причине главной частью лорановского разложения функции

f (z) в iE -окрестности изолированной особой точки z = ∞

называется ряд

∞

∑cn z n ,

(17.53)

n=1

правильной частью этого разложения называется ряд

∞

c−n

∑

.

(17.54)

n

n=0

z

Напомним, что если z0 –

конечная изолированная особая точка

f (z) ,

то главной частью её лорановского разложения в

кольце

&

мы называли ряд по отрицательным

степеням

z - z0

, а

правильной частью

–

ряд по

K0,δ (z0 ) = Oδ (z0 )

неотрицательным степеням z - z0 .

Замечание 17.3. Представление вида (17.52) единственно.

Действительно, в силу теоремы 16.4 представление вида (17.51) единственно, откуда следует единственность

представления (17.52).

Замечание 17.4.

Правильная и главная часть разложения (17.51) переходят соответственно в правильную и главную

часть разложения (17.52).

устранимой особой точкой функции f (z) ,

Замечание 17.5. Если z = ∞ является

то главная часть лорановского

разложения функции

f (z) в окрестности точки z = ∞ равна нулю:

cn = 0 ,

n Ν , т.е. справедливо разложение

∞

f (z) = ∑

c−n

,

z Î K E ,∞ (0) .

(17.55)

n

n=0 z

Действительно,

пусть

z = ∞ является

устранимой особой

точкой

функции f (z)

. Тогда точка w0 = 0

является

1

1

устранимой особой точкой

функции h(w) =

f

, ибо lim h(w) = lim

f

= A ¹ ¥ . Следовательно, в силу теоремы 17.1

w

w→0

w→0

w

главная часть лорановского разложения (17.51) равна нулю. Значит, в силу замечания 17.4 главная часть лорановского разложения (17.52) тоже равна нулю.

Замечание 17.6.

Если z = ∞ является полюсом функции

f (z) , то главная часть лорановского разложения функции

f (z)

в окрестности точки z = ∞ содержит конечное число ненулевых членов: $m Î N | cm ¹ 0; cn = 0 , n > m , т.е.

∞

m

f (z) = ∑

c−n

+ ∑cn z n , z Î K E ,∞ (0) .

(17.56)

n

n=0 z

n=1

Действительно,

пусть

z = ∞ является полюсом функции

f (z). Тогда точка

w0 = 0 является полюсом

функции

h(w)

1

lim h(w) = lim

1

= f

, ибо

f

= ¥ . Следовательно, в силу теоремы 17.2 главная часть лорановского разложения

w

w→0

w→0

w

(17.51) содержит конечное число ненулевых членов. $m Î N | c−m ¹ 0; cˆ −n = 0 , n > m . Значит, в силу замечания 17.4 главная часть лорановского разложения (17.52) тоже имеет конечное число ненулевых членов: cm ¹ 0; cn = 0 , n > m , т.е. справедливо разложение (17.56).

Замечание 17.7. Если z = ∞ является существенно особой точкой функции							f (z) , то главная часть лорановского
разложения функции	f (z) в окрестности точки z = ∞ содержит бесконечное число ненулевых членов.
Действительно,	пусть z = ∞ является существенно особой точкой функции						f (z) . Тогда	точка w0 = 0 является
					1
существенно особой точкой функции			h(w) = f			, ибо если не существует предел функции		f (z) при w → 0 , то не
				w
	1
существует предел функции h(w) = f				при w	→ 0 . В силу теоремы 17.8 главная часть лорановского разложения (17.51)
	w

имеет бесконечное число ненулевых членов. Значит, в силу замечания 17.4 главная часть лорановского разложения (17.52) имеет бесконечное число ненулевых членов, т.е. справедливо разложение (17.52), в котором среди коэффициентов cn ,

n Ν , найдётся бесконечное число ненулевых коэффициентов.

Пусть f (z) целая функция. Тогда в силу замечания 15.6 f (z) представима на Χ в виде суммы своего ряда Тейлора по степеням z :

		∞
		f (z) = ∑cn z n ,	z Χ .	(17.57)
		n=0
В частности, представление (17.57) справедливо в произвольно взятой iE -окрестности точки z = ∞ :
		∞
		f (z) = c0 + ∑cn z n ,	z Î OiE (¥) .	(17.58)
		n=1
В силу замечания 17.3	соотношение (17.58)	является лорановским разложением функции	f (z) в iE -окрестности точки
		∞
z = ∞ . Правильной частью этого разложения является число c0 , главной частью – ряд ∑ cn z n .
		n=1
Замечание 17.8.	Если z = ∞ является устранимой особой точкой целой функции f (z) , то эта функция является
константой.
Действительно, в силу замечания 17.5		главная часть лорановского разложения (17.58) равна нулю,		следовательно
f (z) º c0 .

Замечание 17.9. Если z = ∞ является полюсом целой функции f (z) , то эта функция является многочленом ненулевой

степени.

Действительно, в силу замечания 17.6 главная часть лорановского разложения (17.58) содержит конечное число ненулевых членов, следовательно,

m

f ( z ) = c0 + ∑cn zn = Pm ( z ) .

n=1

Замечание 17.10. Если z = ∞ является существенно особой точкой целой функции f (z) , то эта функция не является

многочленом.

Действительно, в силу замечания 17.7 главная часть лорановского разложения (17.58) содержит бесконечное число ненулевых членов, т.е. выражение в правой части (17.58) не является многочленом.

Определение 17.6. Целой трансцендентной функцией называется целая функция, для которой несобственное число z = ∞ является существенно особой точкой.

К целым трансцендентным функциям относятся, например, функции e z , sin z , cos z .

Определение 17.7. Функция w = f (z) называется мероморфной, если она аналитична на всей комплексной плоскости Χ , за исключением, быть может, конечного или счётного числа изолированных особых точек, являющихся её полюсами.

Пример 17.6. Любая целая функция (например, e z , sin z , cos z ) является мероморфной функцией, ибо у неё вообще нет особых точек.

Пример 17.7. Дробно-рациональная функция f (z) = Pn (z) / Ql (z) , где Pn (z), Ql (z) – многочлены степени m и l соответственно, является мероморфной функцией, ибо она имеет конечное число особых точек, являющихся её полюсами.

Действительно, особыми точками функции f (z) являются нули многочлена Ql (z) . Если z0 – нуль кратности k многочлена Ql (z) и не является нулём многочлена Pn (z) , то в силу теоремы 17.7, z0 – полюс порядка k функции f (z) . Если z0 – нуль кратности k многочлена Ql (z) и нуль кратности m многочлена Pn (z) и k > m , то, в силу теоремы 17.7, z0 – полюс порядка k - m функции f (z) . Если же в предыдущей ситуации окажется m ³ k , то z0 – устранимая особая точка функции f (z) . В этом случае такую точку "устраняют", полагая

f (z0 ) = lim

f (z) = lim

Pn (z)

,

(z)

z®z0

z ®z0 Q

l

и считают, что f (z)

аналитична в точке z0 .

Пример

17.8.

Функция tg z =

sin z

является

мероморфной

функцией, ибо

она

имеет счётное

число

полюсов

cos z

zk =

p

+ pk, k Î Z .

2

Замечание 17.11. В любом круге OR (0) мероморфная функция

f (z) может иметь лишь конечное число полюсов.

Действительно,

: $O

R

(0)| последовательность полюсов {z

n

}¥

Ì O

(0) . Последовательность {z

n

}¥

ограничена,

n=1

R

n=1

ибо

zn

£ R ,

n Ν .

Тогда, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса для вещественных функций двух вещественных

переменных

[2.8, с.485] из

последовательности {zn }¥

можно

выделить

сходящуюся подпоследовательность

{zn

}¥

:

n=1

k

k =1

lim zn = z* .

Точка z*

является неизолированной особой точкой функции

f (z) , ибо в любой её сколь угодно малой d-

k ®¥

k

окрестности есть другие особые точки функции

f (z) . А это противоречит определению мероморфной функции. .

Теорема 17.10. Если для мероморфной функции

f (z)

точка z = ∞ является устранимой особой точкой или полюсом, то

f (z) является дробно-рациональной функцией.

По условию теоремы точка z = ∞ является изолированной особой точкой функции f (z) ,

т.е. $OiE (¥) ,

в которой

функция f (z) аналитична. Тогда в силу замечания 17.11

функция

f (z) имеет конечное число полюсов. Пусть {zk }lk =1

–

множество всех конечных полюсов функции

f (z) . Рассмотрим систему окрестностей

{ O

( z

k

)}l

| O ( z ) Ç O

(z

j

) ¹ 0 , "1 £ i, j £ l, i ¹ j .

d

k

k =1

d

i

d

j

i

В силу теорем 16.2, 17.2 получаем для "1 £ k £ l

¥

mk

(k )

(k )

( z - zk )

n

c-n

&

f ( z ) = ∑cn

+ ∑

, z ÎOd

(zk ) ,

(17.59)

n=0

n=1

( z - zk )n

k

или, в более краткой записи,

f (z) = pk (z)+ qk (z)

&

(zk ) ,

(17.60)

, z ÎOdk

где

pk (z) , qk (z) –

соответственно суммы правильной и главной части лорановского разложения (17.59)

функции f (z)

в

&

(z k ). Рассмотрим функцию вида

Odk

j(z) = f (z)- Q(z),

(17.61)

где

Q(z)

l

(z) .

= ∑qi

i=1

В силу (17.60), (17.61) при фиксированном k (1 £ k £ l )

l

j(z) = pk (z )- ∑qi (z) , z ÎOdk (z k ).

(17.62)

i=1

i¹k

¥

Функция pk ( z ) = ∑cn(k ) ( z - zk )n аналитична в Odk

(z k ) как сумма степенного ряда (см. теорему 14.14). Функция

n=0

l

y ( z ) = ∑qi ( z )

i=1

i¹k

аналитична в

Odk (z k ), ибо её особые точки z1, z2 ,

... , zk -1, zk +1

, ... , zl

не принадлежат окружности

Odk (z k ). Следовательно,

функция (17.62) аналитична в Odk (z k ) как разность двух аналитических в этой окрестности функций (см. теорему 9.5). Итак, функция (17.61) аналитична в каждой точке z k ( 1 £ k £ l ) . В каждой точке z* Î C , отличной от полюсов z1, z2 , ... , zl ,

функция j(z) тоже аналитична как разность аналитических в этой точке функций. Таким образом,							j(z) аналитична на всей
комплексной плоскости, т.е. является целой функцией.
Заметим, что для 1 ≤ k ≤ l
		m	(k )
	lim qk (z ) = lim ∑k		c−n	= 0 ,
	z→∞	z→∞ n=1 (z - zk )n
следовательно,
					l
				lim Q(z)= lim ∑qk		(z)= 0 .		(17.63)
				z→∞	z→∞ k =1
Пусть z = ∞ – устранимая особая точка функции f (z), т.е. $ lim f (z)= A ¹ ¥ . Тогда, учитывая (17.63), получаем
		z→∞
	$ lim j(z)= lim [f (z)- Q(z)]= A ,
	z→∞	z→∞
т.е. точка z = ∞ является устранимой особой точкой целой функции j(z). Следовательно, в силу замечания 17.8								функция
j(z) является константой: j(z)º a0 . Тогда в силу (17.61)
					l
				f (z)= a0 + ∑qk (z).				(17.64)
					k =1
Пусть z = ∞ – полюс функции	f (z), т.е. lim f (z)= ¥ . Тогда
	z→∞
	lim j(z)	= lim [f (z)- Q(z )]= ¥ ,
	z→∞	z→∞
т.е. z = ∞ является полюсом	целой функции j(z) .	Следовательно,		в силу	замечания	17.9	функция j(z)	является
многочленом ненулевой степени:
					m
				j(z)= a0 + ∑an z n .				(17.65)

n=1

В силу (17.61), (17.65)

m

f (z)= a0 + ∑an z

n=1

l	(z).
n + ∑qk		(17.66)

k =1

Объединяя формулы (17.64), (17.66), получаем

m	l mk	(k )
f (z ) = ∑an zn + ∑∑		c−n	.	(17.67)
n=0	k =1 n=1	(z - zk )n

Приведя слагаемые в правой части формулы (17.67) к общему знаменателю, получим дробно-рациональную функцию. Формула (17.67) означает, что мероморфную функцию f (z), для которой z = ∞ является устранимой особой точкой

или полюсом, можно представить в виде суммы целой части и правильных простейших дробей.

18. ВЫЧЕТЫ

Вычет функции относительно точки, его выражение через коэффициенты лорановского разложения; вычет функции относительно устранимой особой точки; вычет функции относительно простого полюса; вычет функции относительно кратного полюса; основная теорема о вычетах; вычет логарифмической производной функции относительно кратного полюса и относительно кратного нуля этой функции; логарифмический вычет функции относительно контура; теорема о логарифмическом вычете; принцип аргумента.

Рассмотрим функцию	w = f (z) ,	z D .	Пусть z0 – изолированная особая точка функции f (z) .	Это означает, по
определению, что $Oδ (z0 ),	в которой нет других особых точек функции f (z), кроме самой точки z0 ,			т.е. функция f (z)
аналитична в проколотой окрестности		&	(рис. 18.1).
		Oδ (z0 )