Госы 5к Надя / fomin-a

∞

( z + z

2

)n

∞

zn

∞

zn

(s)∑

1

= ez1 + z2 ,

(s)∑

1

= ez1 ,

(s)∑

2

= ez2 .

(6.22)

n=0

n!

n=0

n!

n=0

n!

Из (6.21), (6.22) следует, в силу произвольности выбора z1 , z 2

формула (6.15).

В силу (6.10), (6.15) для z = x + iy Χ

e z = e x+iy

= e x eiy = e x (cos y + i sin y) ,

(6.23)

откуда видно, что действительная и мнимая части функции e z

имеют вид

u(x, y) = e x cos y ,

v(x, y) = e x sin y ,

(6.24)

кроме того,

ez

= ex , Arg e z = y + 2pk ,

k Î Z .

В силу (6.23)

e z ¹ 0 ,

z Χ ,

(6.25)

ибо e x ¹ 0 , x Ρ ; sin 2 y + cos2 y = 1 , y Ρ .

С помощью формулы (6.23) можно вычислять значения показательной функции e z

для конкретных значений аргумента

z (задача вычисления значения функции

f (z)

при заданном значении аргумента

z0

предполагает, что f (z0 )

нужно

представить в алгебраической или тригонометрической форме).

Пример 6.1. Вычислим значения функции e z

при z = 5 + 2i , z = 3i ,

z =

pi

:

6

e5+2i

= e5e2i = e5 (cos 2 + i sin 2),

e3i

= cos 3 + i sin 3 ,

πi

p

p

= cos

+ i sin

=

3

+

i

.

e 6

6

2

2

6

Зная способ вычисления значений показательной функции

e z , значения тригонометрических функций sin z

и cos z

можно находить соответственно по формулам (6.12) и (6.13).

при z = 2 − 3i :

Пример 6.2. Вычислим значения функций sin z и cos z

sin(2 - 3i) =

1

ei(2−3i)

- e−i(2−3i) = -

i

e3+2i - e−3−2i

=

2i

2

= -

i

e3e2i - e−3e−2i

= -

i

e3

(cos 2 + i sin 2) - e−3 (cos(-2) + i sin(-2)) =

2

2

−3

e3 - e −3

e3

+ e

=

sin 2 - i

cos 2 = sin 2 ch3 - i cos 2 sh3 ,

2

2

cos(2 - 3i) =

1

ei(2−3i) + e−i(2−3i) =

2

=

1

e3

(cos 2 + i sin 2)

+ e−3 (cos 2 - i sin 2) =

2

e3

+ e

−3

e3

- e −3

=

cos 2 + i

sin 2 = cos 2 ch3 + i sin 2 sh3 .

2

2

Получили

sin(2 - 3i) = sin 2 ch3 - i cos 2 sh3 ,

cos(2 - 3i) = cos 2 ch3 + i sin 2 sh3 .

Значения функций sin z и cos z можно находить более простым способом.

Действительно, для "z1 , z 2 Î C справедливы формулы

sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ,

(6.26)

cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2 .

(6.27)

Докажем, например, формулу (6.26) (формула (6.27) доказывается аналогично). Используя (6.12), (6.13) и (6.15), получаем

sin z

cos z

2

+ cos z sin z

2

=

eiz1 - e−iz1

×

eiz2

+ e−iz2

+

1

1

2i

2

eiz1 + e−iz1

eiz2 - e−iz2

+

×

=

1

ei( z1 + z2 ) + ei( z1 − z2 )

- e−i( z1 − z2 ) -

2

2i

4i

-e

−i( z1 + z2 )

+ e

i( z1 + z2 )

- e

i( z1 − z2 )

+ e

−i( z1 − z2 )

- e

−i( z1 + z2 )

=

=

1

ei( z1 + z2 ) - e−i( z1 + z2 )

= sin ( z

+ z

) .

2i

1

2

Собирая начало и конец записи, получаем формулу (6.26). Заменяя в формулах (6.26), (6.27)

z2 на -z2

и используя

(6.8), получаем для "z1 , z 2 Î C

sin(z1 - z2 ) = sin z1 cos z2 - cos z1 sin z2 ,

(6.28)

cos(z1 - z2 ) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 .

(6.29)

Гиперболические функции sh z

(гиперболический

синус),

ch z (гиперболический

косинус),

th z (гиперболический

тангенс), сth z (гиперболический котангенс) комплексного переменного z

определяются по формулам

sh z =

e z - e− z

ch z =

e z

+ e− z

,

,

(6.30)

2

2

th z =

sh z

,

сth z =

сh z

.

(6.31)

ch z

sh z

Из (6.12), (6.13) следуют формулы, выражающие тригонометрические функции sin z и cos z

через гиперболические

функции:

sin z = -ish iz ,

(6.32)

cos z = ch iz .

(6.33)

Заменяя в равенствах (6.32), (6.33) z

на −iz и записывая их справаналево, имеем -ish z = sin(-iz) ,

ch z = cos(-iz) , откуда с

учётом (6.8) получаем формулы, выражающие гиперболические функции sh z

и ch z

через тригонометрические функции:

sh z = -i sin iz ,

(6.34)

ch z = cos iz .

(6.35)

Следовательно,

sin iz = ish z ,

(6.36)

cos iz = ch z .

(6.37)

Используя формулы (6.28), (6.29), (6.36), (6.37), получаем более простое решение примера 6.2:

sin(2 - 3i) = sin 2 cos 3i - cos 2 sin 3i = sin 2 ch3 - i cos 2 sh3 ,

cos(2 - 3i) = cos 2 cos 3i + sin 2 sin 3i = cos 2 ch3 + i sin 2 sh3 .

Значения гиперболических функций комплексного переменного можно находить, используя последовательно формулы

(6.34), (6.35), (6.26) – (6.29), (6.36), (6.37).

Например,

sh(3 + 2i) = -i sin [i (3 + 2i)]= -i sin(- 2 + 3i) =

= -i [sin(-2) cos 3i + cos(-2)sin 3i]= -i [- sin 2 ch3 + i cos 2 sh3]=

= cos 2 sh3 + i sin 2 ch3 .

Получили sh(3 + 2i) = cos 2 sh3 + i sin 2 ch3 .

Исследуем функцию e z на периодичность. Для этого нужно выяснить, существует ли комплексное	число
T = T1 + iT2 , T ¹ 0 | z Χ
e z +T = e z .	(6.38)
Умножая обе части равенства (6.38) на e − z и используя формулу (6.15), получаем

eT

= e0 .

(6.39)

В силу (6.23)

= eT1 +iT2

= eT1 (cosT

)

eT

+ i sin T

2

2

и равенство (6.39) принимает вид

eT1 (cosT + i sin T

) = 1 ,

2

2

откуда получаем

eT

= eT1

= 1 ,

следовательно,

T = 0 ;

T

2

= 0 + 2pk , k Î Z . Итак, комплексное

число T = T

+ iT

2

¹ 0

1

1

является периодом функции e z

только в том случае, когда T

= 0 , T

2

= 2pk ,

k Î Z , k ¹ 0 .

1

Получили: любое комплексное число вида T = 2pki ,

k Î Z ,

k ¹ 0 , является периодом функции e z :

e z +2πki = e z , z Χ , "k Î Z .

(6.40)

В качестве основного периода функции e z берётся число T0

= 2pi , получаемое при k = 1 .

Из (6.40) видно, что w = e z , z Χ , является многолистной функцией.

Определение

6.1.

Областью однолистности

многолистной

функции

w = f (z)

называется

область

D Ì C | "z1 , z2 Î D, z1 ¹ z2 f (z1 ) ¹ f (z2 ).

Согласно определению 6.1 областями однолистности показательной функции w = e z являются области комплексной плоскости , которые отображение w = f (z) переводит взаимно однозначно в соответствующие области комплексной переменной .

Простейшей областью однолистности функции w = e z является прямоугольная горизонтальная полоса шириной h

( 0 < h £ 2p )

Dh = {z Î C | j < Im z < j + h}

(рис. 6.1).

Действительно,

"z , z

2

Î D

Im ( z - z

2

)

< h £ 2p arg z - arg z

2

¹ 2pki , "k Î Z e z1

¹ e z2 .

1

h

1

1

Образом полосы

Dh

при отображении

w = f (z) является угол Gh раствора h с вершиной в начале координат,

стороны которого образуют с действительной осью углы ϕ и j + h [1.2, с. 84] (рис. 6.2).

Рис. 6.1

Рис. 6.2

В силу (6.12), (6.40) имеем z Χ , "k Î Z ,	k ¹ 0 :
sin ( z + 2pk ) =		1	eiz +2πki - e−iz −2πki		=	eiz - e−iz	= sin z ,
		2i				2i

т.е.

sin(z + 2pk ) = sin z .

Аналогично доказывается, что

cos(z + 2pk ) = cos z .

Таким образом, любое число вида T = 2pk , k Î Z , k ¹ 0 , является периодом функций sin z и cos z . В качестве основного периода этих функций берётся число T0 = 2p .

Из формул (6.12), (6.13) следует основное тригонометрическое тождество для функций комплексного переменного: sin 2 z + cos2 z = 1 , z Χ .

Из равенств (6.26), (6.27) следуют формулы приведения аргумента: z Χ

		p						p
sin z +			= cos z ,			cos z +			= -sin z ,
		2						2
sin(z + p) = -sin z , cos(z + p) = - cos z .
По определению,
tg z =				sin z	,	ctg z =	cos z			.
				cos z				sin z
Заметим, что области определения функций tg z ,	ctg z имеют вид
D(tg z) = {z Î C | cos z ¹ 0},						D(ctg z) = {z Î C | sin z ¹ 0}.
Уточним вид множеств D(tg z) , D(ctg z) .
Определение 6.2. Нулём функции w = f (z) , z D ,						называется значение z0 Î D , при котором данная функция
обращается в нуль: f (z0 ) = 0 .

Замечание 6.2. Существуют функции, у которых нет нулей.

Например, в силу (6.25), функция w = e z , z Χ , не имеет нулей. Замечание 6.3. Множество нулей функции cos z имеет вид

N (cos z) = p

2

	(6.41)
+ pk, k Î Z .

Действительно, множество нулей функции cos z совпадает с множеством решений уравнения

					cos z = 0 .			(6.42)
Используя формулы (6.27), (6.36), (6.37), получаем
					cos z = cos(x + iy) = cos x ch y - i sin x sh y .			(6.43)
В силу (6.43) уравнение (6.42) равносильно системе двух уравнений
					cos x сh y = 0 ,			(6.44)
		(e y + e− y )¹ 0			sin x sh y = 0 .			(6.45)
Из (6.44) вытекает, что cos x = 0 , ибо ch y =	1				для y Ρ . Следовательно, x =	p	+ pk , k Î Z . Подставляя
2					2
такие значения x в уравнение (6.45), получаем
		p
		sin		+ pk sh y = 0 .
			2

p

k

1

(e

y

− y

)= 0 , следовательно, y = 0 . Таким образом, множество

Но sin

+ pk = (-1)

¹ 0 , "k

Î Z . Значит,

sh y = 0 ,

т.е.

- e

2

2

p

p

решений уравнения (6.42) имеет вид z =

+ pk + i ×0

=

+ pk ,

k Î Z . А это означает, что справедливо соотношение (6.41).

2

2

Замечание 6.4. Множество нулей функции sin z

имеет вид

N (sin z) = {pk, k Î Z}.

(6.46)

Действительно, множество нулей функции sin z совпадает с множеством решений уравнения

sin z = 0 .

(6.47)

p

В силу формулы (6.29) справедливо равенство sin z = cos z -

.

Тогда уравнение (6.47) принимает вид

2

p

cos z

-

= 0 .

(6.48)

2

В силу замечания 6.3 множество решений уравнения (6.48) имеет вид

z -

p

=

p

+ pm ,

m Î Z или z = p(m +1) , m Î Z , или,

2

2

полагая m +1 = k , z = pk , k Î Z . А это означает, что справедливо соотношение (6.46).

В силу замечаний 6.3, 6.4

D(tg z) = z Î C | z ¹

p

+ pk, k Î Z

,

2

D(ctg z) = {z Î C | z ¹ pk, k Î Z}.

В силу (6.8)

tg (-z) = -tg z ,

ctg (-z) = -ctg z .

(6.49)

Из (6.32), (6.33) следуют формулы, выражающие тригонометрические функции

tg z

и

ctg z через гиперболические

функции:

tg z = -ith iz ,

(6.50)

ctg z = icth iz .

(6.51)

Заменяя в равенствах (6.50), (6.51)

z

на -iz

и учитывая соотношения (6.49), получаем формулы, выражающие

гиперболические функции th z

и cth z через тригонометрические функции:

th z = -itg iz ,

cth z = ictg iz ,

следовательно,

tg iz = ith z ,

ctg iz = -icth z .

Логарифмическая функция комплексного переменного определяется как функция, обратная показательной функции.

Определение 6.3. Логарифмом комплексного числа z Î C ,

z ¹ 0 , называется любое комплексное число w | ew = z .

Замечание 6.5.

Условие

z ¹ 0 в определении 6.3

указывается в связи с тем, что в силу (6.25) значение z = 0 не

принадлежит области значений показательной функции, поэтому логарифм числа z = 0 не существует.

Замечание 6.6.

Число

w0 = ln r + ij является

логарифмом

комплексного

числа

z = r(cos j + i sin j)

(здесь

r =

z

, j = arg z ).

Действительно, применяя формулу (6.23), получаем

ew0

= eln ρ+iϕ = eln ρ (cos j + i sin j) = r(cos j + i sin j) = z .

(6.52)

Число w0 = ln r + ij называется главным значением логарифма комплексного числа z и обозначается ln z :

ln z = ln r + ij

или в других обозначениях

ln z = ln

z

+ i arg z .

(6.53)

Замечание 6.7. Любое число вида wk = w0 + 2πki , k Ζ , является логарифмом комплексного числа z .

Действительно, в силу (6.40) (6.52)

ewk = ew0 +2πki = ew0 = z .

Замечание 6.8. Если w1 , w2

− логарифмы комплексного числа z , то w1 − w2

= 2πki , где k Ζ .

Действительно, по определению логарифма e w1

= z , e w2

= z . Следовательно,

e w1 = e w2 .

(6.54)

Умножая обе части равенства (6.54) на e −w2 и используя формулу (6.15), получаем

e w1 −w2 = e 0 .

(6.55)

Пусть w1 = a1 + ib1 ,

w2 = a2 + ib2 . Тогда w1 − w2 = (a1 − a2 )+ i(b1 − b2 ) и в силу (6.23)

ew1 −w2 = e(a1 −a2 )+i(b1 −b2 )

= ea1 −a2 [cos(b − b )+ i sin(b

− b )] .

1

2

1

2

Равенство (6.55) принимает вид

ea1 −a2 [cos(b

− b )+ i sin(b

− b )] = 1 ,

1

2

1

2

откуда получаем

e a1 −a2 = 1 ,

следовательно

a

− a

2

= 0 ;

b − b =

= 0 + 2πk = 2πk , где k Ζ .

Значит,

1

1

2

w1 − w2 = 0 + i2πk = 2πki , k Ζ .

В силу замечаний 6.6 – 6.8 множество всех логарифмов данного комплексного числа z задаётся формулой

Ln z = ln z + 2πki , k Ζ ,

или, в силу (6.53)
Ln z = ln		z		+ i(arg z + 2πk ) , k Ζ ,					(6.56)
или, в силу равенства arg z + 2πk = Arg z
Ln z = ln						z		+ iArg z .	(6.57)
Определение 6.4. Логарифмической функцией комплексного переменного z называется функция,									определённая на
множестве D = Χ \ {0} по формуле (6.56).

Из определения 6.4 видно, что логарифмическая функция является многозначной, точнее, бесконечнозначной функцией, ибо каждому z D соответствует бесконечное множество значений wk = ln z + i(arg z + 2πk ), k Ζ , при этом действительные части этих значений одинаковы, а их мнимые части отличаются между собой на слагаемые, кратные 2π .

При каждом фиксированном k Ζ функция вида
(Ln z)k = ln z + i (arg z + 2πk ), k Ζ	(6.58)

является однозначной функцией, ибо аргумент ϕ (− π + 2πk; π + 2πk ] комплексного переменного z при фиксированном k

определяется однозначно. Каждая из функций вида (6.58) называется стандартной ветвью логарифмической функции. Таким образом, логарифмическая функция имеет бесконечное число стандартных ветвей (Ln z)k , k Ζ .

Определение 6.5. Главной ветвью (или главным значением) логарифмической функции Ln z называется её стандартная ветвь при k = 0 :

(Ln z)0 = ln z + i arg z .

Из (6.53) видно, что главная ветвь логарифмической функции Ln z совпадает с главным значением логарифма комплексного переменного z : (Ln z)0 = ln z , т.е. в качестве главной ветви логарифмической функции Ln z выступает функция

ln z = ln z + i arg z .

Таким образом, главное значение логарифмической функции Ln z получается из выражения для этой функции при k = 0 , т.е. отвечает выбору главного значения аргумента комплексного переменного z .

Замечание 6.9. Значение функции ln z при z = x , где x Ρ , x > 0 , является действительным числом и совпадает с натуральным логарифмом этого числа: ln z |z = x = ln x .

Например,

Ln z | z =7 = ln 7 + i(0 + 2πk ) = ln 7 + 2πki , k Ζ ; ln z | z =7 = ln 7 .

Пример 6.3. Вычислим значения функций Ln z и ln z при z = 3 + 4i ,

z = −2i , z = −4 :

4

Ln (3 + 4i) = ln 5 + i arctg

+ 2πk

, k Ζ ;

3

ln (3 + 4i ) = ln 5 + iarctg

4

;

3

π

+ 2πk

, k Ζ ;

Ln (−2i ) = ln 2 + i −

2

ln(− 2i) = ln 2 − i

π

;

2

Ln (−4) = ln 4 + i (π + 2πk ) , k Ζ ;

ln(− 4) = ln 4 + i π .

Для z1, z2 Χ \ {0} справедливы равенства

Ln (z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2 ,

(6.59)

Ln

z1

= Ln z − Ln z

2

.

(6.60)

1

z2

Действительно, по определению

Ln z1 = ln

z1

+ i(arg z1 + 2πp) ,

p Ζ ;

Тогда

Ln z2 = ln

z2

+ i(arg z2 + 2πq),

q Ζ .

Ln z1 + Ln z2 = ln

z1

+ ln

z2

+ i(arg z1 + arg z2 + 2π( p + q)) ;

p, q Ζ . (6.61)

Учитывая замечание 6.9 а также свойство

ln b1 + ln b2 = ln(b1b2 )

натуральных

логарифмов и

равенство (1.20), получаем

ln

z1

+ ln

z2

= ln

z1z2

. Заметим, что когда

величины

p

и q

изменяются на множестве Z ,

множество

всех значений

величины k = p + q совпадает со множеством Z . Тогда формулу (6.61) можно записать в виде

Ln z1 + Ln z2 = ln

z1z2

+ i(arg z1 + arg z2 + 2πk ) , k Ζ .

Или в силу (1.21)

Ln z1 + Ln z2 = ln

+ iArg(z1z2 ) .

В силу (6.57)

z1z2

(6.62)

+ iArg(z1z2 ) = Ln (z1z2 ).

Из (6.62), (6.63) следует формула (6.59).

ln

z1z2

(6.63)

Аналогично доказывается равенство

(6.60), при

этом

используются

свойство ln b − ln b = ln

b1

натуральных

1

2

b2

логарифмов и формулы (1.23), (1.24).

Из (6.59) вытекает формула

Ln z m = mLn z , "m Î N .

(6.64)

Определение 6.6. Общей показательной функцией с основанием a Î C , a ¹ 0 , называется функция, определённая на множестве C по формуле

az = ez Ln a .

(6.65)

Используя определение логарифма комплексного числа, формулу (6.65) можно записать в виде
a z = e z[ln a +i(arg a+2πk )], k Î Z .	(6.66)

Из (6.66) видно, что общая показательная функция является бесконечнозначной функцией.

Определение 6.7. Главной ветвью (или главным значением) общей показательной функции называется функция,

определённая на множестве Χ по формуле

a z = e z ln a .

Главная ветвь функции a z является однозначной функцией, она получается из выражения для общей показательной функции при k = 0 , т.е. отвечает выбору главного значения логарифма комплексного числа а.

Пример 6.4. Вычислим значение функции (1 + 3i )z , при z = 2 + 2i :

(2+2i)

π

2+2i

= e(2+2i)Ln(1+ 3i)

ln 2+i

+2

πk

(1 +

3i )

= e

3

=

π

2π

2ln 2−2

+2

πk

+i

2ln 2+

+4

πk

= e

3

3

=

π

2p

2p

2ln 2

−2 3 +

2πk

= e

e

cos

2 ln 2

+

+ 4pk

+ i sin

2 ln 2 +

+ 4pk

=

3

3

π

2p

2p

−2 3

+2πk

= 4e

cos

2 ln 2 +

+ i sin

2 ln 2 +

.

3

3

Получили

(1 +

i)2+2i =

3

π

2p

2p

−2 3

+2πk

=

4e

cos 2 ln 2 +

+ i sin

2 ln 2

+

,

k Î Z . (6.67)

3

3

Главное значение функции (1 +

i )z

при z = 2 + 2i

3

равно комплексному числу

−

2π

2p

2p

4e 3

cos 2 ln 2 +

+ i sin 2 ln 2 +

.

3

3

Определение 6.8. Целой степенной функцией с показателем степени

n Ν называется функция, определённая на

множестве Χ по формуле

z n = z × z ×...× z .

14243

n раз

Функция z n является однозначной функцией, её значения можно вычислять по формуле Муавра (см. (1.30)). Функция

z n непрерывна на Χ как натуральная степень непрерывной на Χ функции w = z (функция w = z									непрерывна в любой
точке z0 Î C согласно определению 5.12, ибо Dw = w(z0 + Dz)- w(z0 )= z0 + Dz - z0 = Dz и w → 0 , при									z → 0 ) .
Определение 6.9. Общей степенной функцией с показателем степени a Χ называется функция,										определённая на
множестве C \ {0} формулой
				z a = eaLn z .						(6.68)
Учитывая (6.56), формулу (6.68) можно записать в виде
				z a = ea[ln		z		+i(arg z +2πk )], k Î Z .		(6.69)
Из (6.69) видно, что общая степенная функция является бесконечнозначной функцией.
Например, значение функции z 2+2i при z = 1+
		3i		выражается формулой (6.67).
Функции w = Arcsin z , w = Arccos z ,	w = Arctg z ,			w = Arcctg z определяются как функции, обратные соответствующим
тригонометрическим функциям z = sin w ,	z = cos w ,	z = tg w , z = ctg w .

Определим, например, функцию w = Arcsin z как функцию, обратную функции z = sin w .

Определение 6.10. Арксинусом комплексного числа z Χ называется любое комплексное число w | sin w = z .

Чтобы найти множество всех арксинусов данного комплексного числа z , нужно решить уравнение

sin w = z ,

которое в силу (6.12) можно записать в виде

eiw − e −iw

= z .

2i

Полагая eiw = t , получаем

t − t −1

= z

2i

или

t 2 − 2izt −1 = 0 ,

t = iz +

− z 2 +1

.

Итак,

eiw = iz +

1 − z 2

.

(6.70)

: iz +

Заметим, что для

z Χ правая

часть равенства

(6.70)

отлична от нуля

(действительно,

1 − z 2

= 0

1− z 2

= −iz 1 − z 2 = −z 2

1 = 0 − неверно.

).

Соотношение (6.70) означает, что

1− z

2

откуда

iw = Ln iz +

,

1

2

w =

Ln iz + 1 − z

.

i

Таким образом, множество всех арксинусов данного комплексного числа z задаётся формулой

Arcsin z =

1

Ln (iz +

) .

1− z2

(6.71)

i

Замечание 6.10. В формуле (6.71) для корня берутся оба его значения,

является двузначной (см.

ибо функция z

пример 5.2).

Формула (6.71) задаёт функцию w = Arcsin z ,

z Χ , обратную тригонометрической функции z = sin w .

Пример 6.5. Вычислим значение функции Arcsin z

при z = i :

Arcsin i =

1

Ln (i2 +

) =

1

Ln (−1 ±

) =

1 − i2

2

i

i

1

1

Ln (−1 + 2 )

ln

(

2 −1) + i (0 + 2πk )

, k Z,

=

= i

i

=

1

1

Ln (−1 − 2 )

ln

(

2 +1) + i (π + 2πk ) , k Z,

i

i

2πk − i ln (

−1), k Z,

2

=

(2k +1) − i ln (

+1), k Z.

π

2

Получили

	2πk − i ln (		−1), k Z,
		2
Arcsin i =

π(2k +1) − i ln (2 +1), k Z.

Аналогично формуле (6.71) получаются формулы, выражающие остальные обратные тригонометрические функции комплексного переменного через логарифмическую функцию:

	Arccos z =	1	Ln (z +		) , z Χ ;
				z2 −1		(6.72)
		i

	Arctg z =	1		Ln		1	+ iz		, z Î C \ {i,-i};	(6.73)
							- iz
		2i			1
	Arcctg z =		1		Ln		z + i		, z Î C \ {i,-i}.	(6.74)
			2i
							z - i
Из формул (6.71) – (6.74) видно, что Arcsin z ,	Arccos z , Arctg z , Arcctg z являются бесконечнозначными функциями,
ибо они выражаются через бесконечнозначную логарифмическую функцию.
Введённые выше функции e z , sin z , cos z ,	tg z , ctg z , sh z , сh z , th z ,				cth z ,			Ln z , a z , z a ,		Arcsin z , Arccos z ,
Arctg z , Arcctg z называются основными элементарными функциями комплексного переменного.
Непрерывность основных элементарных функций (для многозначных функций −									их однозначных ветвей) можно

проверять с помощью признака непрерывности функций комплексного переменного (см. теорему 5.8 и следствие 5.3) и основной теоремы о непрерывных функциях комплексного переменного (см. теорему 5.9 и следствие 5.4).

Пример 6.6. Функция w = sin z	непрерывна на Χ .
Действительно, пусть z = x + iy ,	w = u(x, y) + iv(x, y) . Тогда, используя формулы (6.26), (6.36), (6.37), получаем
	u(x, y) + iv(x, y) = sin( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y ,

откуда u(x, y) = sin x ch y , v(x, y) = cos x sh y . Функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны на R 2 , следовательно, функция sin z

непрерывна на Χ .			непрерывна на Χ , ибо её действительная часть u(x, y) = cos x ch y
Пример 6.7.	Функция	w = cos z						и мнимая часть
v(x, y) = - sin x sh y непрерывны на R 2			(вид u(x, y) и v(x, y) получен из (6.43)).
Пример 6.8.	Функции	w = tg z =		sin z	и w = ctg z =	cos z	непрерывны соответственно на D(tg z)	и D(ctg z) как
				cos z
						sin z

отношение двух непрерывных на этих множествах функций.

Элементарными функциями комплексного переменного называются функции, полученные из основных элементарных функций комплексного переменного с помощью конечного числа алгебраических операций и конечного числа операций взятия функции от функции (конечного числа суперпозиций).

Приведём несколько примеров элементарных функций комплексного переменного, используемых в различных

приложениях.	:: =
Пример 6.9. Целая рациональная функция			функция		вида		w = Pn (z) , где Pn (z) − многочлен степени n
комплексного переменного z :			+ a z n−1
P (z) = a	0	z n		+ ... + a		n−1	z + a	n	;
n			1

a0 , a1,..., an−1, an Î C , a0 ¹ 0 (числа ai , 0 ≤ i ≤ n , называются коэффициентами многочлена Pn (z) ). Отметим, что D(w) = C . Целая рациональная функция непрерывна на множестве Χ как линейная комбинация непрерывных на этом множестве

целых степенных функций (см. следствие 5.5).

Замечание 6.11. Часть слагаемых в выражении для многочлена может отсутствовать. Это означает, что коэффициенты при соответствующих степенях z равны нулю.

Частным случаем целой рациональной функции является линейная функция w = a0 z + a1 , a0 ¹ 0 .

Пример 6.10. Дробно-рациональная функция :: = функция вида w = Pn (z) / Qm (z) , где Pn (z) , Qm (z) − многочлены степени n и m соответственно. Заметим, что D(w) = {z Î C | Qm (z) ¹ 0}.

Дробно-рациональная функция непрерывна на своей области определения как отношение двух непрерывных на этой области целых рациональных функций (см. следствие 5.4).

Частным случаем дробно-рациональной функции является дробно-линейная функция

w = a0 z + a1 , b0 ¹ 0 . b0 z + b1

Замечание 6.12. Дробно-рациональную функцию называют также рациональной функцией.

7. НЕКОТОРЫЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Непрерывная кривая; ориентация кривой; ориентированная кривая; точки самопересечения кривой; простая кривая; замкнутая простая кривая; положительно ориентированная замкнутая простая кривая; отрицательно ориентированная замкнутая простая кривая; внутренние и граничные точки множества; граница множества; внешние точки множества; внешность множества; открытые и замкнутые множества; связное множество; область; ограниченное множество; теорема Жордана; внутренность и внешность замкнутой простой кривой; односвязная область; многосвязная область, её внешняя и внутренняя границы.

При введении понятия функции комплексного переменного в качестве её области определения рассматривалось произвольное множество D точек комплексной плоскости Χ . В различных конкретных вопросах в качестве D приходится брать множества специального вида. Например, при определении интеграла функции комплексного переменного в качестве