Расчет электростатического поля по его картине

Аналитический расчет полей не всегда позволяет рассчитать поле, например, когда поверхности электродов имеют сложную форму. Поэтому аналитические методы расчета поля применимы только в случае тел простой конфигурации. В другом случае расчет электростатического поля проводят по его картине.

При построении картины плоскопараллельного поля следует руководствоваться следующими правилами:

1. Картина поля изображается совокупностью взаимно ортогональных силовых и эквипотенциальных линий.

2. При этом образуются ячейки (криволинейные квадраты), для которых отношения средней длины к средней ширине ячейки а/b должны быть одинаковыми для всех ячеек.

3. Поверхности электродов считаются эквипотенциальными поверхностями.

4. Если картина поля обладает симметрией, то первой силовой линией является линия симметрии.

5. Следующие силовые линии проводятся так, чтобы образующаяся между двумя соседними силовыми линиями трубка потока поля могла быть разделена эквипотенциальными линиями на целое число криволинейных ячеек, для которых удовлетворяется условие а/b = const.

6. Приращение потенциала между соседними эквипотенциальными линиями должно быть постоянным.

7. Может оказаться, что ячейки, построенные последними, имеют иное соотношение сторон а/b, чем предыдущие. Тогда картину поля приходится перестраивать, изменяя число ячеек в трубке.

Построение правильной картины поля, возможно, потребует нескольких попыток.

Чем меньше разбиение на квадраты, тем меньше погрешности.

Правильно построенная картина поля позволяет найти потенциал и напряженность в любой точке поля, а также позволяет рассчитать напряжение, что и является расчетом поля.

Напряженность электрического поля E в любой заданной точке можно определить по формуле:

,

где – разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциалями. Значениепостоянно для всей картины поля;– средняя длина квадрата, в котором находится рассматриваемая точка поля.

Очевидно, что в областях поля с наибольшей густотой силовых и эквипотенциальных линий напряженность поля будет наибольшей. Т.е. чем меньше криволинейный квадрат, тем выше напряженность поля. Считается, что напряженность поля во всех точках криволинейного квадрата постоянна и примерно равна, а на границе меняется скачком.

Поток вектора напряженности

Рассмотрим некоторую площадь S которую пронизывает поле напряженностью E. На ней выделим элемент поверхности dS. Выберем положительное направление нормали (перпендикуляра) к элементу поверхности. Значение вектора dS в некотором масштабе равно площади элемента поверхности, а его направление совпадает с положительным направлением нормали. Будем полагать, что площадь элемента достаточно мала, чтобы в пределах этого элемента вектор Е можно было считать одним и тем же во всех точках.

Поток вектора напряженности через элемент поверхности является скаляром алгебраического характера. Он может оказаться положительным или отрицательным. Положительное значение потокаозначает, что он направлен в сторону; отрицательное – направлен в обратную сторону.

Условимся, что положительный знак потока означает, что он направлен в сторону нормали, отрицательный – в обратную сторону.

Если перпендикулярно, тоне пронизывает элемент поверхности

.

Если направлен по, то черезdS проходит максимум потока вектора

.

Если , тоотрицательная величина.

Если поверхность большая, то нельзя считать, что напряженность во всех точках одна и та же. В этом случае ее делят на несколько элементарных поверхностей. Тогда поток равен сумме потоков элементарных поверхностей.

,,

где – поток вектора электрического смещения.