- •Теория электромагнитного поля
- •Величины характеризующие электромагнитное поле
- •Магнитное поле
- •Основные уравнения электромагнитного поля
- •Сила взаимодействия двух точечных зарядов (Закон Кулона). Напряженность поля точечного заряда
- •Принцип суперпозиции (Метод наложения)
- •Напряжение и потенциал электростатического поля
- •Силовые и эквипотенциальные линии
- •Градиент потенциала
- •Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор Набла)
- •Расчет электростатического поля по его картине
- •Поток вектора напряженности
- •Теорема Гаусса в интегральной форме
- •Применение теоремы Гаусса
- •Теорема Гаусса в дифференциальной форме
- •Ёмкость
- •Поляризация диэлектриков
- •Проводящее тело
- •Граничные условия
- •Уравнение Пуассона – Лапласа
- •Теорема единственности решения
- •Метод зеркальных изображений
- •Расчет на границе раздела двух сред
- •Группы формул Максвелла
- •Шар и цилиндр в однородном поле
- •Энергия и силы в электростатическом поле
- •Система заряженных тел
- •Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •Основные уравнения и законы
- •Граничные условия
- •Аналогия между электрическим полем в проводящей среде и электростатическим полем
- •Метод зеркальных изображений
- •Ток утечки коаксиального кабеля
- •Заземлители и их расчет. Шаговое напряжение
- •Магнитное поле постоянного тока
- •Основные уравнения и законы
- •Принцип непрерывности магнитного потока
- •Скалярный потенциал магнитного поля
- •Граничные условия
- •Векторный потенциал магнитного поля
- •Уравнение Пуассона
- •Метод зеркальных изображений
- •Построение картины магнитного поля
- •Индуктивность
- •Эдс самоиндукции и взаимоиндукции
- •Энергия и силы в магнитном поле
- •Экранирование
- •Переменное электромагнитное поле
- •Полный ток
- •Закон Ома в дифференциальной форме: - электрический ток в проводящей среде, ток проводимости
- •Основные уравнения переменного электромагнитного поля Первое уравнение Максвелла
- •Второе уравнение Максвелла
- •Непрерывность линий полного тока
- •Полная система уравнения электромагнитного поля
- •Теорема Умова-Пойтинга
- •Уравнение электромагнитного поля в комплексной форме
- •Плоская электромагнитная волна
- •Из рисунка видно, что движение энергии падающей волны происходит вдоль положительного направления оси z, а отражённой - вдоль отрицательного направления направления осиZ.
- •Плоская электромагнитная волна в однородном проводящем полупространстве
- •Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •Поверхностный эффект
- •Магнитный поверхностный эффект
- •Электрический поверхностный эффект
- •Эффект близости
- •Поле в пазу электрической машины
- •Электромагнитная совместимость
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Гаусса в интегральной форме
С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий вектора электрического смещения в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в этой же точке. Чтобы узнать это, рассмотрим дифференциальную форму теоремы Гаусса. Для этого разделим обе части уравнения интегральной формы записи теоремы Гаусса на одну и туже скалярную величину V (объем), находящийся внутри замкнутой поверхности:
.
Это выражение справедливо для V любой величины, устремим V к 0.
Предел отношения потока вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, к объему называют дивергенцией вектора электрического смещения.
Или вместо слова «дивергенция» употребляют термины «расхождение».
,
где – объемная плотность заряда:
.
Если объемная плотность зарядов >0 в данной точке поля положительна, то из бесконечно малого объема окружающего данную точку поля, линии вектора электрического смещения исходят (исток).
Если объемная плотность зарядов <0 в данной точке поля отрицательна, то в бесконечно малый объем окружающий данную точку поля, линии вектора электрического смещения входят (сток).
Если объемная плотность зарядов =0 в данной точке поля равна нулю, то в данной точке поля нет ни стока, ни истока. Линии вектора электрического смещения проходят через данную точку пространства.
Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах.
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Если среда однородна и изотропна, то ее и тогда:
.
Разложим дивергенцию в декартовой системе координат:
;
;
.
Ёмкость
Если два проводящих тела разделены диэлектриком и несут на себе равные по значению и противоположные по знаку заряды, то в пространстве между ними создается электрическое поле.
Под емкостью С между двумя телами, на которых имеются равные и противоположные по знаку заряды, понимают абсолютную величину отношения заряда на одном из тел к разности потенциалов между телами.
.
Емкость измеряется в Фарадах .
Емкостью обладают любые два тела, разделенные диэлектриком.
Техническое устройство определенной емкости – это конденсатор.
Емкость линейного конденсатора не зависит от заряда и разности потенциалов, а зависит от геометрических размеров конденсатора и свойств диэлектрика находящегося между пластинами.
Методика расчёта ёмкости тела правильной формы:
Условно считают заряд известным, через него выражают напряжение и подставляют в формулу для емкости, где заряд сокращают.
Емкость плоского конденсатора
Применим теорему Гаусса в интегральной форме:
.
Поле плоского конденсатора равномерно, поэтому можно убрать знак интеграла:
.
Заряд равномерно распределен по поверхности пластин, поэтому в расчетах удобно пользоваться понятием поверхностной плотности заряда.
;
;
.
Зная напряженность электростатического поля найдем напряжение:
.
Тогда
.
Ёмкость цилиндрического конденсатора
(коаксиального кабеля)
Напряженность поля цилиндрического конденсатора (см. применение теоремы Гаусса):
.
Зная напряженность электростатического поля найдем напряжение:
.
Заряд распределен по длине.
,
где l – длина кабеля.
Тогда емкость цилиндрического конденсатора:
.
Ёмкость двух проводной линии
Если d >> Rn , то .
Если d ≈ Rn , то .
Ёмкость сферического конденсатора
.
Если R2 устремить к бесконечности, то получим формулу для шара:
.
Ёмкость двухслойного цилиндрического конденсатора
Поверхность каждого слоя эквипотенциальна, поэтому её можно заменить металлической поверхностью, сообщив некоторый потенциал (второе следствие теоремы единственности решения). Получим два конденсатора один внутри другого.
+
Конденсаторы соединим последовательно:
;
;;
;.