Глава 1. Помехоустойчивые коды

1.1. Основные характеристики помехоустойчивых кодов

Основание кода. Коды характеризуются основанием кода , т.е. числом символов, или букв, кодового языка. При основанииимеет место двузначный (бинарный) код, при- трехзначный код и т.д.

Разрядность кода - число символов в кодовой комбинации (длина кодового слова). Если длина всех кодовых слов одинакова (), код называется равномерным.

Мощность кода - число кодовых комбинаций , используемых для передачи сообщений, из общего числа всех возможных кодовых комбинаций.

Избыточность кода, коэффициент избыточности. Если , то код обладает избыточностью, так как не все кодовые комбинации используются для передачи сообщений. С избыточностью связана способность кода к обнаружению ошибок, так как для этой цели используютсянеразрешенных кодовых комбинаций. Избыточность кода характеризуется коэффициентом избыточности

.

(1.1)

Скоростью кода называется отношение

.

(1.2)

Кодовое расстояние между двумя кодовыми комбинациями есть число одноименных разрядов в этих кодовых комбинациях с различными символами.

Для бинарных кодов кодовое расстояние определяется подсчетом числа единиц суммы по модулю 2 двух кодовых комбинаций.

Пример

1-я кодовая комбинация 2-я кодовая комбинация сумма по модулю 2.

Число единиц в сумме (вес суммы) равно кодовому расстоянию .

Кодовое расстояние, как правило, между различными кодовыми комбинациями может быть разным. Помехозащищенность кода характеризуется минимальным кодовым расстоянием из всех возможных кодовых расстояний для данного кода.

Распределение рабочих кодовых комбинаций по кодовым расстояниям характеризует потенциальную помехозащищенность кода. Рассмотрим эту характеристику кода на примере. Пусть код содержит следующую совокупность кодовых комбинаций (кодовых векторов): ,,,. Найдем кодовые расстояния между всеми кодовыми векторами и поместим их в табл.1.1.

Таблица 1.1

	0	2	1	2
	2	0	1	2
	1	1	0	3
	2	2	3	0

На основании табл.1.2 получим распределение рабочих кодовых комбинаций по кодовым расстояниям (табл.1.1).

Таблица1.2

	1	2	3
	1	2	0
	1	2	0
	2	0	1
	0	2	1

Из анализа табл.1.2 ясно, что, например, кодовый вектор отстоит от одного из векторов на величинуи от двух других - на, а векторотстоит от двух векторов наи от одного на. Введем обозначение- число рабочих кодовых векторов, отстоящих от данного вектора на. Коды, для которых числоразлично для разных кодовых векторов, называются несимметричными. Если числодля всех рабочих кодовых векторов одинаково, то код называется симметричным.

Для рассматриваемого кода минимальное кодовое расстояние между рабочими векторами . Это означает, что даже единичная ошибка может привести к ложному (необнаруживаемому) переходу одного кодового вектора в другой. Следовательно, имеется вероятность приема ложного сообщения при искажении качественного признака одного изэлементов кодовой комбинации из-за наличия помех.

Потенциальная помехозащищенность кода характеризуется коэффициентом ложных переходов одной кодовой комбинации в другую под влиянием помех кратности .

Коэффициент ложных переходов определяет вероятность ложного перехода одной кодовой комбинации в другую под влиянием помех кратности :

,

(1.3)

где - общее число кодовых векторов, отстоящих от данного вектора на кодовое расстояние.

Для симметричных кодов число одинаково для всех рабочих кодовых векторов, и коэффициентопределяется согласно (1.3). Для несимметричных кодов коэффициент ложных переходовпри-кратной ошибке определяется как среднее значение этого коэффициента для всехрабочих кодовых векторов, т.е.

.

(1.4)

Общее число кодовых векторов , отстоящих друг от друга на кодовое расстояние, для бинарных кодов может быть определено как число сочетаний поиз числа разрядов кода, т.е.

.

(1.5)

Для рассматриваемого примера найдем коэффициент ложных переходов

при ;

при ;

при .

Таким образом, при однократной ошибке вероятность приема ложного сообщения , при двух- и трехкратной ошибке вероятность ложного приема.

Очевидно, чем больше , тем выше помехозащищенность кода, так как при кратности ошибки меньшепереход одной рабочей кодовой комбинации в другую невозможен. Следовательно, не будет и ложного приема информации. Искаженная помехами кодовая комбинация легко обнаруживается, так как она не принадлежит к числу рабочих комбинаций. Таким образом, приобнаруживаются все ошибки кратности. Примогут быть исправлены все ошибки кратности, а при(при) обнаруживаются все ошибки кратностии исправляются ошибки кратности.

Энергетическим выигрышем кода (ЭВК) называют величину

,

где - минимально допустимое отношение сигнал-шум на входе демодулятора при некодированной передачебит за времядля получения заданного значения вероятности сбоя бита;- отношение сигнал-шум при передаче информации помехоустойчивым кодомсимволов за то же времяи при том же значение.

Быструю ориентировочную оценку энергетической эффективности для оперативного сравнения кодов осуществляют по величине .

Корреляционные свойства кодов оценивают апериодической функцией автокорреляции (АКФ) и несколькими видами функции взаимной корреляции (ВКФ): апериодической, периодической, смешанно-периодической.

Для кодового слова X, состоящего из символов ,апериодическую АКФ определяют как .

ВКФ вычисляют для совокупности двух или трех кодовых слов (словасостоят из символов,).Апериодическая ВКФ между словами X и

;

периодическая ВКФ между тремя словами и

;

смешанно-периодическая ВКФ между словами и

.