численные методы моделирования

		40
	Ni = Dk H0iη0i ,	(4.4)
где H0i	– располагаемый теоретический теплоперепад i -го отсека тур-
бины (рис. 4.2), определяемый как		H0i = f (Pп ,hп , Pk ) , где hп = f (Pп ,tп ) .
Произведение	H0iη0i представляет собой действительный теплоперепад на

i -й отсек - Hi .

Задание к работе и порядок ее выполнения

1.Разработать программу расчета узла тепловой схемы турбоустановки при изменении режима работы турбины (расхода пара через отсек). В состав расчетной схемы входит отсек проточной части турбины (рис.4.1) и узел теп- ловой схемы (по заданию из лабораторной работы №3).

2.При изменении расхода пара через отсек изменяются параметры пара

вотборах, что приводит к изменению режима работы узла тепловой схемы (изменению расхода пара в отбор, температуры подогрева питательной воды и т.д.). Новые расчетные значения давления Pп и температуры пара tп в от-

боре можно оценить по формулам (4.1, 4.2). В качестве исходных данных при

номинальном режиме работы отсека следует принять известные параметры из лабораторной работы №3. Давление в конденсаторе считать неизменным и равным Pk = Pk0 = 0,0035 МПа, расход пара в конденсатор при номинальном

режиме Dk0 = 100 кг/с.

h		Pп
hп	1	tп
H 0i	H i
		Pk
		hk
		K
		s

Рис. 4.2. Процесс расширения пара в отсеке турбины

Необходимо организовать определение искомых параметров при изме- нении расхода пара в конденсатор Dk от 100% до 30% с шагом в 10%.

3. Искомые величины:

41

-давление ( Pп , МПа) и температура (tп , °С) в камере отбора;

-расход пара в отбор ( Dп , кг/с);

-температура питательной воды или основного конденсата на выходе из теплообменника;

-к.п.д. отсека турбины (ηoi , %);

-внутренняя мощность отсека ( Ni , МВт).

4.Программу расчета целесообразно представить в виде двух модулей

–головной (организующей) программы и подпрограммы-функции. Головная программа может включать ввод исходных данных, определение параметров в камере отбора турбины, к.п.д. и мощность отсека, обращение к подпро- грамме-функции и вывод результатов на печать. В таком случае подпро- грамма должна выполнять расчет узла тепловой схемы. Для ее разработки необходимо воспользоваться Си-программой из лабораторной работы №3. При этом следует правильно описать ее тип, имя и список фактических и формальных входных параметров, включающий давление в камере отбора и температуру пара.

5.Результаты расчетов представить либо в табличном виде, либо в виде графических зависимостей изменения температуры, давления и расхода пара

в регенеративном отборе и температуры питательной воды или основного конденсата на выходе из теплообменника от изменения расхода пара в кон-

денсатор турбины: tп = f (Dk Dk 0 ) ; Pп = f (Dk Dk0 ) ; Dп = f (Dk Dk0 ) ; tпв = f (Dk Dk0 ) и т.д.

Содержание отчета

1.Исходные данные и полная схема расчетного узла.

2.Блок-схемы алгоритмов головной программы и подпрограммы- функции.

3.Листинг распечатки текста программы и полученных результатов.

4.Анализ полученных графических зависимостей изменения основных режимных параметров работы отсека турбины на переменном режиме.

Лабораторная работа №5 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Цель работы – ознакомиться с методами численного интегрирования.

Получить навыки в разработке алгоритмов и программ реализующих методы расчета определенных интегралов на примере определения технико- экономических показателей режима работы ТЭС. Получение знаний по ис-

пользованию пакета регрессионного анализа и аппроксимации эмпирических данных.

42

Краткие сведения

Качество работы ТЭС оценивается, прежде всего, ее коэффициентом полезного действия, удельными расходами условного топлива на выработку тепловой и электрической энергии [7].

Расход топлива на выработку отпускаемой потребителю тепловой энер- гии условно считают таким же, как и при ее выработке непосредственно в паровом котле. Тогда

Bт = Qгод ,

год Qнрηка

где Qнр – низшая калорийная способность топлива, кДж/кг; ηка – коэф-

фициент полезного действия котла.

Расход топлива на выработку электроэнергии определяется по формуле

Вгодэ = В − Вгодт ,

где В – общий расход топлива на ТЭС (т/ч, кг/с).

При таком методе расчета вся выгода от совместной выработки тепло- ты и электроэнергии приходится на долю электроэнергии.

Коэффициенты полезного действия ТЭС брутто по производству элек- трической ηэбр и тепловой ηтбр энергии находятся по формулам:

ηбр = Эгод э Вгодэ Qнр

ηбр = Qгод т Вгодт Qнр

Удельный расход условного топлива (кг/(кВт × ч)) на ТЭС на выработку 1 кВт×ч электроэнергии находится по формуле

bу	=	3600Вэ	Q р		=	0,123
		год		н
э		29300Эгод				ηэбр
Удельный расход условного топлива (кг/кДж) на ТЭС на выработку 1
кДж теплоты определяется по выражению
bу	=	106
т		29300ηтбр

Основой для выполнения расчета показателей режима работы ТЭС по вышеизложенным формулам является правильное определение количества вырабатываемой электроэнергии Эгод и теплоты Qгод , вычисляемые через

значения определенных интегралов в зависимости от вида функций соответ- ственно N (t) и Q(t) .

Для обеспечения надежной и эффективной работы электростанции не- обходимо знать изменение потребления энергии по времени. Изменение по- требления энергии по времени обычно изображается диаграммой, которая называется графиком нагрузки. Графики нагрузки могут быть суточными,

43

месячными и годовыми. На рис. 5.1 изображен пример годовых графиков электрической (а) и тепловой (б) нагрузки [7]. На графике по оси абсцисс откладывается продолжительность нагрузки в часах за год (8670 ч), а на оси ординат – соответствующая нагрузка (кВт, кДж).

N, кВт		N( t )	Q, кДж
	Эгод
0	а )		8760 t, ч

	Q( t )
	Qгод
0	б )	8760 t, ч

Рис.5.1. Примеры интерпретации определенных интегралов

Площадь, ограниченная кривой годового графика (см. рис. 5.1), пред- ставляет собой в масштабе количество выработанной станцией за год энер- гии, т.е.

- годовая выработка электроэнергии:

8760

Эгод = ò N(t)dt ,

0

- годовая выработка тепловой энергии:

8760

Qгод = òQ(t)dt .

0

Аналогично годовому строятся суточные и месячные графики нагру-

зок.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычис- ления значения определенного интеграла:

I = òb f (x)dx ,

a

где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования; f (x) – непре- рывная функция на отрезке [a, b].

Этот интеграл можно трактовать как площадь фигуры, объем, работу переменной силы и т.д., ограниченной ординатами a и b , осью абсцисс X и графиком подынтегральной функции f (x) (см. рис. 5.1).

44

Способы задания или получения зависимостей N(t) и Q(t) могут быть различны (таблично, аналитически и т.д.), но та и другая функции могут быть интерпретированы как непрерывные функции f (x) [2].

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и ее первообразную удается выразить через известные функции, то для вычисления интеграла можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

I = F(b) − F(a) .

Однако в большинстве случаев аналитическое выражение для первооб- разной найти не удается, даже если подынтегральная функция содержит эле- ментарные функции, а во многих решениях под интегралом содержатся спе- циальные функции (например, функция Бесселя). В этих случаях приходится прибегать к численному интегрированию.

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f (x) аппроксимирующей функ- цией ϕ(x) , для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях [3], т.е.:

òb	f (x)dx = òb ϕ(x)dx + R = S + R ,
a	a

где S – приближенное значение интеграла; R – погрешность вычисле- ния интеграла.

Обычно отрезок [a, b] разбивается на m частей, в каждой из которых

применяется соответствующая простая формула. Таким образом, получают составные формулы численного интегрирования. Используемые на практике

методы численного интегрирования можно классифицировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции на следующие группы: 1 – методы Ньютона-Котеса, основанные на полиномиальной аппроксимации (метод прямоугольников, трапеций, метод Симпсона и т. д.); 2 – сплайновые методы, базирующиеся на аппроксимации подынтегральной функции сплай- нами, представляющими собой кусочный полином; 3 – методы наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса – Кристоффеля и др.), использую- щие неравноценные узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования при заданном количестве узлов.

Метод прямоугольников – простейший прием численного интегрирова- ния, при котором функция y = f (x) заменяется интерполяционным многочле- ном нулевого порядка. Для повышения точности интегрирования отрезок [a, b] разбивается на m частей и формула прямоугольника применяется к ка- ждому отрезку. При реализации метода прямоугольников возможно три ва- рианта его модификации: метод левых, правых и средних прямоугольников

(см. рис. 5.2).

Обобщенная формула прямоугольников выглядит следующим обра-

зом:

45

I ≈ b − a åm−1 yi . m i=0

Алгоритм численного интегрирования по методу средних прямо- никовугольниковпредставленпредстнавленрис.на5.3рис. . 5.3.

а)

б)

Рис. 5.2. Численное интег- рирование методом прямоуголь- ников: а – метод левых прямо- угольников; б – правых прямо- угольников; в – средних прямо-

угольников

в)

Вследствие низкой точности метод прямоугольников широкого рас- пространения не получил.

Согласно методу трапеций подынтегральную функцию заменяют на участке [xi , xi + h], где h = b m− a полиномом первой степени. Как и в методах

прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных

способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис 5.4).

В этом случае приближенное значение интеграла определяется суммой площадей трапеций:

	I = h	f (x0 ) + f (x1 )	+ h	f (x1 ) + f (x2 )	+ h	f (x2 ) + f (x3 )	+ ... + h	f (xm−1 ) + f (xm )
		2		2		2		2

46

x = x + h

i = i + 1

н а ч а л о

в в о д a, b, m, i = 0

h= (b − a) / m x = a + h / 2 y = f (x)

I = I + yh

i < m − 1

в ы в о д

I

о к о н ч а н и е

Рис. 5.3. Алгоритм вычисления определенного интеграла методом

средних прямоугольников

Рис. 5.4. Графическая иллюстрация метода трапеций

.

47

Эта формула соответствует приближенной замене площади некоторой криволинейной трапеции площадью фигуры, ограниченной ломаной линией,

	проходящей через точки					f (x0 ) , f (x1 ) , f (x2 ) , … , f (xm ) :
		b - a æ f (x0 ) + f (xm )			m−1	ö
	I =		ç		+ å f (xi )÷ .
		m		2
			è		i=1	ø

Задание к работе

1.По исходным данным, приведенным в таблице 5.1 разработать алго- ритм определения показателей режима работы ТЭС (коэффициент полезного

действия и удельные расходы условного топлива по выработке тепловой и электрической энергии).

2.Написать программу на языке Си с использованием методов числен- ного интегрирования (методами прямоугольников и трапеций).

3.Организовать наглядную печать результатов.

Таблица 5.1

Исходные данные к лабораторной работе №5

№	На-								Часы года, ч									ηка ,		Q р ,			Вгодэ
п/п	груз-																			н
																		%					Вгодт
																				МДж
	ка,																			кг
	МВт,
	МДж
		0		1220		2500		3780		5010		6200		7500		8760
1	N(t)	330		310		275		225		175		110		75		50		93,5		19,8		0,55
	Q(t)	700		570		450		375		300		290		300		400
2	N(t)	100		170		275		310		300		280		275		265		90,8		15,6		0,63
	Q(t)	500		415		390		365		350		335		325		300
3	N(t)	125		165		200		230		275		310		330		390		91,3		17,5		0,74
	Q(t)	200		425		530		625		700		730		720		710
4	N(t)	300		220		160		125		105		85		80		75		92,6		21,5		0,91
	Q(t)	650		680		725		750		700		550		375		150
5	N(t)	50		225		315		360		365		360		325		230		93,7		24,2		0,88
	Q(t)	400		325		225		205		210		300		450		700
6	N(t)		350		310		275		225		180		135		140		145	91,2		16,7		0,83
	Q(t)		425		450		500		530		570		605		650		700
7	N(t)		50		55		60		75		110		160		225		365	94,4		23,1		0,97
	Q(t)		600		590		560		540		500		550		590		650

48

Продолжение таблицы 5.1

№	Нагруз-				Часы года					ηка ,	Q р ,		Вгодэ
п/п	ка,МВт,										н
										%			Вгодт
											МДж
	МДж										кг
		0	1220	2500	3780	5010	6200	7500	8760
8	N(t)	75	120	150	180	200	215	225	230	91,9	19,6		0,49
	Q(t)	750	450	275	175	225	300	390	420
9	N(t)	225	220	215	150	80	60	45	40	92,1	20,9		0,75
	Q(t)	150	225	280	350	425	410	400	380
10	N(t)	75	85	110	160	225	285	350	380	93,6	24,7		0,62
	Q(t)	100	550	750	800	805	780	625	300
11	N(t)	400	390	375	340	280	215	150	100	94,2	18,1		0,95
	Q(t)	500	425	345	300	295	300	450	600
12	N(t)	275	335	340	375	350	260	185	125	92,4	17,0		0,77
	Q(t)	100	105	150	350	575	725	790	815
13	N(t)	50	65	160	360	375	275	175	140	90,6	22,3		0,81
	Q(t)	700	675	640	600	570	530	500	460
14	N(t)	175	250	285	320	380	345	340	335	89,9	15,4		0,96
	Q(t)	120	125	130	175	250	450	600	750
15	N(t)	200	205	225	235	260	280	300	305	91,8	19,2		0,79
	Q(t)	500	550	650	700	650	560	480	420
16	N(t)	195	270	300	335	360	355	350	345	93,9	12,4		0,83
	Q(t)	145	155	160	175	250	450	400	350
17	N(t)	600	550	425	235	260	280	310	325	92,5	19,8		0,69
	Q(t)	345	510	550	600	620	570	510	490
18	N(t)	325	350	385	320	280	295	310	315	88,8	14,6		0,94
	Q(t)	225	250	330	375	450	480	420	400
19	N(t)	405	365	325	335	360	380	400	405	90,0	21,9		0,77
	Q(t)	250	350	450	500	450	360	280	220
20	N(t)	75	150	185	220	280	245	230	220	89,3	19,4		0,90
	Q(t)	25	100	130	175	250	300	320	310

Для определения вида функциональных зависимостей N (t) и Q(t) не- обходимо воспользоваться специальной программой Regres ENEK, предна-

49

значенной для генерации математических моделей. Эта программа позволяет выполнять аппроксимацию и регрессионный анализ как одно- так и много- факторных экспериментальных зависимостей.

В свою очередь анализ однофакторных зависимостей по типу y = f (x)

предусматривает регрессию парных зависимостей по методу наименьших квадратов и полиномиальную аппроксимацию.

Регрессия парных зависимостей позволяет формализовать математиче-

скую модель исследуемого процесса и на основе выбора пользователем вида аналитического решения определить коэффициенты регрессии удовлетво-

ряющих условию минимума суммы квадратов отклонений опытных значений функции от рассчитанных по выбранной зависимости. В программе реализо-

вана возможность автоматического подбора оптимальной математической формы аналитического выражения из имеющегося набора зависимостей по минимальному коэффициенту корреляции. Раздел математической статисти- ки, именуемый регрессионным анализом, позволяет на основе эксперимен- тальных данных приближенно описать искомую, функциональную зависи- мость в виде полинома или степенного ряда, рассчитать коэффициенты этого полинома, проверить адекватность полученного уравнения. Для этой цели в программе предусмотрена аппроксимация кусочным полиномом, опреде- ляющая коэффициенты полинома заданной степени, либо заданной точности, при автоматическом определении его степени и числе отрезков разбиения.

Значительно больший практический интерес представляет математиче- ское описание многофакторных зависимостей вида y = f (x1, x2 , x3 ,...,x4 ) . Мето-

дом множественной регрессии можно определить статистическую связь ме- жду факторами и степень влияния факторов на исследуемую характеристику, найти вид множественной регрессии, оценить адекватность полученного ма- тематического описания.

Первоначально, при работе с программой появляется стартовое окно, в котором осуществляется выбор вида аппроксимации: одно- или многофак- торная обработка, путем нажатия соответствующей кнопки (см. рис. 5.5)

Рис. 5.5. Стартовое окно