численные методы моделирования

50

Далее пользователю предлагается открыть новый файл исходных дан- ных в меню Файл или осуществить выбор существующего файла. Данные однофакторных зависимостей располагаются в файлах с расширением *.ofr, а данные множественных зависимостей в файлах с расширением *.mfr (см.

рис. 5.6).

Окно выбора каталога с файлами ис- ходных дан-

ных

Список фай- лов с исход- ными дан-

ными, *.ofr

Значения

исходных

данных

Рис. 5.6. Окно выбора исходного файла однофакторной зависимости

Вэтом же меню Файл можно выполнить импорт файлов из форматов *.ofr и *.mfr в формат *.txt с различными разделителями или экспорт из тек- стового формата (например, полученного или набранного в Excel) в формат данной программы.

Вменю Анализ имеется возможность изменить вид обработки с одно- на многофакторную, не переходя в стартовое окно.

Данные из файла *.ofr в режиме PreWiew отображаются в виде графи- ка, который в свою очередь можно отобразить в режиме точка или линия. Данные множественной регрессии представляются в виде таблицы с раздели- телем - |.

При использовании функций регрессии для аппроксимации данных происходит минимизация остаточной квадратичной ошибки между фактиче- скими и прогнозируемыми значениями по методу наименьших квадратов.

Впрограмме предусмотрен регрессионный анализ по 14 наиболее часто встречающимся в инженерной практике аналитическим зависимостям (см. табл. 5.2). Для облегчения работы пользователю в программе реализована

сервисная функция автоматического подбора наиболее оптимального вида аналитического выражения из 14 вышеперечисленных зависимостей по мак- симальному значению коэффициента парной корреляции ( Rxy ).

51

Вид окна обработки однофакторной зависимости методом наименьших квадратов представлен на рис. 5.7. Рабочая панель включает электронную таблицу вида y = f (x) с возможностью ее редактирования, графическую

Таблица 5.2

N

Вид аналитического

N

Вид аналитического

п/п

выражения

п/п

выражения

1

y = a + b × x

8

y = a × xb

2

y =

1

9

y = a + b × lg x

a + b × x

3

y = a +

b

10

y = a + b × log x

x

4

y =

x

11

y =

a

a + b × x

b + x

5

y = a × bx

12

y =

a × x

b + x

6

y = a × eb×x

13

b

y = a × e x

7

y = a ×10b×x

14

b

y = a ×10 x

зависимость интерпретации обрабатываемых данных, гистограмму погреш- ностей расчетной модели, сводную таблицу результирующих зависимостей с указанием значений коэффициентов A и B , а также их парного коэффициен- та корреляции Rxy . При этом предоставляется возможность возврата к перво-

начальным исходным данным, использования описательной статистики од- нофакторной зависимости, проверки работоспособности полученной модели путем задания различного набора исходных данных.

Полиномиальная регрессия (аппроксимация), реализованная в данной программе обеспечивает нахождение коэффициентов полинома сле- дующего вида:

y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn .

Полином степени n < M , где M – число пар xi и yi , обеспечивает ап- проксимацию (и интерполяцию) таблично заданной функции y = f (x) с ми-

нимальной среднеквадратичной погрешностью (детерминированностью). Ес- ли n = M , то имеет место обычная интерполяция, т.е. значения y = f (x) при

x = xi точно совпадают с заданными yi . При n < M такого совпадения в об- щем случае нет.

52

Рис. 5.7. Результат обработки однофакторной зависимости методом

наименьших квадратов

Полиномиальная регрессия с автоматическим выбором степени поли- нома и отрезков разбиения (кусочная аппроксимация) выполняется по сле- дующему алгоритму. Вначале задается степень полинома n =1 (линейная регрессия). После нахождения значений коэффициентов полинома ai вычис-

ляется коэффициент корреляции Rxy , характеризующий погрешность ап- проксимации и сравнивается с заданным Rзад . Если R < Rзад , то степень по-

линома увеличивается на единицу. Если степень полинома достигла указан- ного граничного значения в исходных данных, а коэффициент корреляции не соответствует Rзад происходит сужение диапазона поиска, путем исключе-

ния из регрессионного анализа значений последней пары x и y . Вычисления прекращаются, как только достигается условие R > Rзад . Далее осуществля-

ется поиск и захват следующей стадии кусочно-полиномиальной аппрокси- мации. Рабочее окно для полиномиальной регрессии представлено на рис. 5.8.

Программа Regress ENEK наряду с задачей построения математиче- ской модели позволяет выполнять корреляционный анализ данных, вычис- лять их суммарную статистику, сортировку, сглаживание и интерполяцию.

Корреляция является признаком, указывающим на взаимосвязь ряда численных последовательностей. Вычисляемая в программе парная корреля- ция характеризует взаимосвязь двух последовательностей xi и yi . Коэффи-

циент парной корреляции Rxy характеризует степень отклонения связи xi и yi от линейной. Если Rxy близок к 1, то эта связь линейна.

53

Полином	Кусочный полином	Расчетная зависимость по
		модели

Границы

разбиения

заданного

диапазона по точкам

	Табличный	Коэффи-
	редактор ис-
		циенты
	ходных дан-
		модели
	ных

Рис. 5.8. Вид окна при обработке однофакторной зависимости кусочным

полиномом

Одномерный массив из n некоторых данных xi или yi характеризуется

следующей совокупностью статистических характеристик: максимальное значение, минимальное, среднее, сумма, среднеарифметическое и среднегео- метрическое, начальный и центральный моменты, дисперсия, коэффициент асимметрии, вариация, эксцесс.

Среднее значение характеризует наиболее вероятное значение числа в массиве. Дисперсия применяется при статистической обработке чисел с нор- мальным распределением. Асимметрия – характеризует скошенность графи- ческой функции плотности распределения вероятности. Эксцесс характери-

зует степень остроты пика кривой в сравнении с вероятностью нормального распределения.

Если значение данных по оси X идут не по возрастанию программа позволяет выполнить их сортировку по возрастанию методом пузырька.

Сглаживание данных является специальной операцией усреднения с помощью интерполяционных полиномов, обеспечивающей получение уточ- ненного значения y по заданному значению и ряду близлежащих значений

(..., yi−1, yi , yi+1,...) , известных со случайной погрешностью. В данной про-

грамме реализовано автоматическое линейное сглаживание по трем или пяти точкам и нелинейное по семи в зависимости от количества точек в исходных данных. Нелинейное сглаживание по семи точкам обеспечивает усреднение на основе применения полинома третьей степени.

54

Интерполяция функции y = f (x), заданной (n + 1) узлами заключается в нахождении значений y по значениям x , находящихся в промежутках между узлами. Обычно при интерполяции функция f (x) заменяется на ин- терполяционный полином P(x) , значение которого в узлах точно совпадает с f (x). Значение n задает степень полинома. Однако полиномиальная интер- поляция не обеспечивает непрерывность производных функции y = f (x) и

может давать значительные погрешности в промежутках между узлами. По-

этому в данной работе для сгущения или разряжения исходных табличных данных используется интерполяция с помощью сплайн-функций. Сплайн- функцию можно наглядно трактовать как линию, которую образует гибкая линейка, будучи закрепленной, в ряде точек – узлах интерполяции. Матема- тически сплайн – специальный многочлен, принимающий в узлах значения обеспечивающий непрерывность в них производных. Обычно достаточно обеспечить непрерывность первой и второй производных, для чего достаточ- но использовать сплайн-многочлены третьего порядка (кубические сплайны).

Большой практический интерес при решении реальных задач представ-

ляет математическое описание многофакторных зависимостей вида y = f (x1, x2 , x3,..., xn ) методом множественной регрессии, позволяющее оп-

ределить статистическую связь между факторами и степень влияния факто- ров на исследуемую характеристику, найти вид множественной регрессии, оценить адекватность полученного математического описания.

Для случая совместного нормального распределения факторов наибо- лее простой формой множественной регрессии является линейная форма:

y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn .

Коэффициенты парной корреляции исследуемой характеристики y и определяющих факторов x1, x2 , x3 ,…, xn показывают влияние каждого фак-

тора на характеристику.

После предварительного отбора факторов на основе коэффициентов парной корреляции выполняется определение коэффициентов модели a1, a2 , a3 ,...,an методом наименьших квадратов.

В качестве меры функциональной связи между экспериментальным значением характеристики y и вычисленным по полученному уравнению

регрессии служит множественный коэффициент корреляции Rxy .

Отображение функционального окна множественной регрессии пред- ставлено на рис. 5.9.

Повысить адекватность математической модели в некоторых случаях позволяет использование уравнения множественной регрессии степенного вида: y = a0 x1a1 x2a2 x3a3 ...xnan .

55

Линейная	Степенная Квадратичная	Проверка работоспособности
		Значения
		расчетных
		коэффици-
		ентов моде-
Табличный ре-		ли
дактор исход-		Значи-
ных данных
		мость па-
		раметров
		модели
		Статистиче-
		ские данные

Рис. 5.9. Рабочая панель множественной регрессии

Максимальная точность математической модели на наш взгляд дости-

гается посредством использования уравнения множественной регрессии квадратичного вида:

y = a0 + a1x + a2 x1 + a2 x2 + ... + an xn + an1x12 + an2 x22 + an3 xn23 + ... + ann xn2

.

Содержание отчета

1.Задание с исходными данными.

2.Алгоритм расчета, реализующий методы приближенного решения интегральных уравнений, в виде блок-схемы.

3.Текст программы и результаты расчета.

4.Сравнение и анализ полученных результатов.

Расчетно-графическое задание РАСЧЕТ ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ ТЕПЛОВОЙ

СХЕМЫ ЭНЕРГОБЛОКА Цель работы – ознакомление студентов с составом основного и вспо-

могательного оборудования электростанции и способами его включения в тепловую схему энергоблока; ознакомление с методикой расчета упрощен- ной принципиальной тепловой схемы (ПТС) энергоблока, разработка алго- ритма и составление программы расчета ПТС. Выполнение расчета ПТС на ЭВМ.

56

Содержание и объем курсовой работы

В соответствии с вариантами, представленными в приложении к кур- совой работе необходимо выполнить следующее:

разработать алгоритм расчета принципиальной тепловой схемы энер- гоблока;

написать программу расчета ПТС на ЭВМ; расчет ПТС, определение параметров и расходов теплоносителей во

всех расчетных точках схемы.

Порядок выполнения курсовой работы

Выбор вида и параметров тепловой схемы энергетической установки, а также анализ режимов ее работы возможны лишь на основе расчета большо- го числа (нескольких десятков) ее вариантов.

“Ручной” расчет одного варианта тепловой схемы современной паро- турбинной электростанции (рис. 6.1) требует значительных затрат инженер- ного труда и времени (нескольких рабочих дней). При ограниченном числе вариантов “ручной” расчет тепловой схемы не обеспечивает получения оп- тимального решения. В настоящее время широко используют метод расчета тепловых схем с применением ЭВМ.

									цвд								цсд1															цсд2																				цнд
	К
						2				1
															3																				6
																		4												7								8					9										10
																				5

П1
						к
П2						х.в.о.
						кн
П3		д				оэ
	пн	П4	П5	П6	П7	пу
		тп
		дн	дн
						днс

эг

сн1

оу

от нс

вс

сн2

пвк

Рис. 6.1. Принципиальная тепловая схема ТЭС (на примере Т-250-240)

			57
Необходимость использования ЭВМ при таких расчетах обусловлена
значительным усложнением конфигурации тепловой схемы конденсацион-
ных и, в особенности, теплофикационных турбоустановок, а также возрос-
шими требованиями экономии энергоресурсов и повышения к.п.д. энергети-
ческих установок.
Вместе с тем расчет тепловой схемы электростанции является основой
комплексной технико-экономической оптимизации. Проведение расчетов те-
пловой схемы электростанции с применением ЭВМ требует использования
приемов вычислительной математики. Появились также новые требования к
форме исходной информации для расчета, в том числе о теплофизических
свойствах рабочего тела и теплоносителя (водяного пара и воды) и др.
Расчет ПТС производится по исходным данным, к основному числу ко-
торых относятся электрическая и тепловая нагрузки, параметры острого пара
на входе турбину и за ней, а так же давление пара в отборах [7].
По начальным параметрам пара перед турбиной ( P0						и t0 ), а так же по
давлению пара в конденсаторе ( Pk ) и давлению пара в отборах ( Pi ) строится
процесс расширения пара в проточной части турбины (рис. 6.2).
			P0	t0
h	h0		0
	H 01	H1		P
		h1	1	1
		H 02	H 2		P2
			h2	2
			H	3
			H 03
					hk	K	Pk
							s
Рис. 6.2. Процесс расширения пара в проточной части турбины

58

При этом на h − s диаграмме параметры пара в точке 0 определяются по P0 и t0 . Далее из точки 0 проводится линия, перпендикулярная оси абс-

цисс ( S = const ), до пересечения с изобарой P1. Получают значение идеаль- ного теплоперепада на первый отсек H01. Для оценки действительного теп-

лоперепада на отсек, необходимо значение теоретического теплоперепада умножить на относительно внутренний к.п.д. отсека H1 = H01η0i . Значение

энтальпии пара в первом регенеративном отборе определяется как h1 = h0 − H1 .

Для определения энтальпии пара во втором отборе откладывают изоэн- тропу из точки 1 до пересечения с изобарой P2 . По аналогии находят значе-

ния энтальпий во всех нижеследующих отборах. Линия 0 − K соответствует действительному процессу расширения пара в проточной части турбины.

После определения параметров пара в регенеративных отборах присту- пают к расчету расхода пара на турбину – D0 .

	D0 = k рег (	Wэ	+ yпDп + yт Dт ) ,
		n
		åHiηэм
	где k рег –	i=1
		коэффициент регенерации,		для расчета ПТС, принимается
ориентировочно в диапазоне 1,15÷1,3; Wэ				– электрическая мощность, кВт;
ηэм	– электромеханический к.п.д., принимается в расчетах равным 0,98÷0,99;
yп ,	yт – коэффициент недовыработки паром соответственно отопительного

и теплофикационного отборов. Значения этих коэффициентов определяются по следующим формулам:

yn =	hn −hk	;	yт =	hт − hk	,
	h0 −hk			h − h
				0 k

где hп , hт – энтальпии в производственном и теплофикационном от- борах, кДж/кг; Dп , Dт – расходы пара на производство и отопление, кг/с.

Расход пара промышленного отбора Dп определяется обычно произ-

водственными потребностями в технологическом паре и является известной величиной. Расход пара (кг/с) на теплофикацию Dт определяется потребно-

стью потребителя в тепловой энергии Qт .

	Dт =		Qт			,
		(hт − tд )ηт
	где ηт		– к.п.д. теплообменника (сетевой установки); tд – энтальпия

конденсата пара теплофикационного отбора, кДж/кг.

Расход питательной воды для барабанного котла определяется по фор-

муле:

59

Gпв = D0 + Dут + Dcн + Dпр,

где Dут – внутренние потери пара и конденсата Dут = (1− 2)%D0 ; Dсн – расход пара на собственные нужды станции, Dсн = (1− 5)%D0 ; Dпр –

расход котловой воды в расширители непрерывной продувки,

Dпр = (2 − 2,5)%D0.

При расчете величины расхода питательной воды для прямоточного котла в последней формуле отсутствует расход продувочной воды.

Тепловая схема энергоблока состоит из теплообменников поверхност- ного и смешивающего типов (см. рис. 6.1). При тепловом расчете ПТС опре-

деляют расход греющей среды на каждый теплообменник или температуру обогреваемой среды на выходе из теплообменника. Эти величины определя- ются из уравнений тепловых и материальных балансов, составленных для элементов тепловой схемы.

Расчет ПТС выполняется в следующем порядке. В начале рассчитыва- ются теплообменники, не входящие в регенеративную схему (расширители непрерывной продувки, испарители и паропреобразователи, сетевые подог- реватели и т. д.). Затем рассчитываются теплообменники регенеративной схемы (ПВД, ПНД, деаэраторы, насосы и т. д.). При этом расчет выполняется от котельного агрегата против хода питательной воды и основного конденса- та. Уравнения материального и теплового баланса объединяются в систему линейных алгебраических уравнений, для решения которой необходимо ис- пользовать специальные численные методы (метод Крамера, метод Гаусса и т. д.). Для этого балансовые уравнения для необходимых групп теплообмен- ников приводят к соответствующему виду:

ìa11x1 + a12 x2 + a13x3 + ... + a1n xn = b1

ïa

x + a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ ...+ a

2n

x

n

= b

2

ï

21 1

ï

+ a33x3

+ + a3n xn

= b3

ía31x1 + a32 x2

ï.....................................................

ï

x + a

x

+ a

x

+ + a

x

= b

ïa

n2

2

n3

3

nn

n

n

î

n1 1

После определения расходов пара в регенеративные отборы определя-

ют расчетную мощность отсеков паровой турбины и общую суммарную электрическую нагрузку:

n	n
Wэр = åWэрi = åDi H0iη0iηэм =
i=1	i=1
где W p	– расчетная мощность
эi

пара через i -й отсек турбины; Hi = H

n

åDi Hiηэм ,

i=1

i -го отсека турбины, кВт; Di – расход 0iη0i – действительный теплоперепад на