На основе структурной схемы находим

(24.2)

где K=k_дk_иk_г – добротность системы по скорости.

Используя (24.1) и (24.2), получаем (см.п. 5)

(24.3)

Рис. 24.1

Аналогично для дисперсии составляющей ошибки, обусловленной нестабильностью частоты ПГ, можем записать

(24.4)

Здесь учтено, что передаточные функции для ошибки по возмущению f_г и по воздействию F_д отличаются лишь знаком (квадраты АЧХ в обоих случаях одинаковы |1 –K_з(j)|²).

Дисперсия шумовой составляющей ошибки

(24.5)

где – спектральная плотность эквивалентного частотного шума;

F_щ= K/4 – шумовая полоса замкнутой системы.

Используя (24.3) – (24.5), для дисперсии результирующей ошибки запишем

(24.6)

Оптимизация системы по шумовой полосе сводится к нахождению оптимального значения K, при котором минимизируется (24.6). В общем случае выражение для K_опт представить невозможно (один из способов решения задачи графический). Однако для случая высокой точности слежения, когда K>>_д и K>>_н формула для оптимальной полосы F_ш принимает вид

Чем больше дисперсия (мощность) частотных флуктуации F_Д(t) и f_г(t) и чем шире их спектры _д и _н, тем более широкая полоса требуется для слежения с минимально достижимой ошибкой.

Пример 25

Произвести выбор структуры ФНЧ и параметров системы ФАПЧ, обеспечивающих заданные показатели качества: быстродействие t_п0,1с; перерегулирование 30%, фазовую ошибку /20 рад при ускорении =20 рад/с².

Решение

По заданному времени переходного процесса находим частоту среза разомкнутой системы: _срс^–1. Выбираем значение _ср=40с^–1.

При выборе структуры ФНЧ учитываем, что система должна обеспечить постоянную фазовую ошибку по ускорению (обладать астатизмом второго порядка). Кроме того, ЛАХ разомкнутой системы на частоте среза должна иметь наклон –20дБ/дек (протяженность участка ЛАХ с таким наклоном должна составлять декаду и более). Это гарантирует необходимый запас устойчивости и требуемое качество переходного процесса. Для эффективного подавления шумов наклон ЛАХ в области верхних частот должен составлять не менее – 40дБ/дек (см. п. 5).

Указанным требованиям удовлетворяет типовая ЛАХ, представленная на рис. 25.1. Она соответствует ФНЧ с передаточной функцией

Рис. 25.1

Выбираем частоты сопряжения: и, что соответствует постоянным времениТ₁=0,1c и Т₂=0,01с.

Заданному перерегулированию 30% соответствует показатель колебательности АЧХ замкнутой системыМ1,5, что достигается при отношении _cр/₀1,7 (см. лекцию 10), то есть значении собственной частоты системы

₀=(выбираем ).

Усиление разомкнутой системы (добротность по ускорению)

K₂=2k_Дk_гK=₀²=.

Запас устойчивости по фазе равен

=–_р(_ср)=

что является приемлемым (запас по усилению определять не требуется, так как ФЧХ не пересекает линию – рад).

Динамическая ошибка системы второго порядка астатизма равна (см. лекцию 11) рад, что удовлетворяет требованиям.

Пример 26

Для системы ФАПЧ, представленной структурной схемой на рис. 26.1 (синтезатор частот), произвести оптимизацию шумовой полосы по параметру K₂, используя критерий минимума дисперсии фазового шума на выходе. Фазовый шум ₀(t) опорного генератора полагается белым со спектральной плотностью N₀, а фазовый шум _г(t) подстраиваемого генератора имеет спектральную плотность N_г/².

Рис. 26.1