Решение в этом случае передаточная функция разомкнутой системы

(9.1)

Для передаточной функции замкнутой системы в соответствии с (8.44) можем записать

(9.2)

Отсюда находим характеристическое уравнение

T₂p³ + p² +KT₁p + K=0, (9.3)

коэффициенты которого определяются как

a₀=T_2, a₁=1, a₂=KT₁, a₃=K. (9.4)

Необходимое условие устойчивости выполняется при любых значения параметров (по физическому смыслу все параметры положительны).

Достаточное условие устойчивости сводится к проверке неравенства

(9.5)

так как условие ₁= а₁> 0 выполняется автоматически.

Подставив в (9.5) выражение (9.4) для коэффициентов уравнения, находим, что для устойчивой системы необходимо выполнение условия Т₁>Т₂ (при этом коэффициент усиления K может быть любым). Равенство постоянных времени форсирующего и инерционного звеньев соответствует системе, находящейся на границе устойчивости (такая система эквивалентна системе, состоящей из безынерционного звена и двух интеграторов, так как общий коэффициент передачи форсирующего и инерционного звеньев равен единице на всех частотах от нуля до бесконечности).

Пример 10

Определить критический коэффициент усиления для системы, содержащей безынерционное звено и три инерционных звена с постоянными времени Т₁, Т₂ ,Т₃.

Решение

Характеристическое уравнение замкнутой системы в данном случае имеет вид

(10.1)

где

(10.2)

(K– общее усиление разомкнутой системы).

Критическое значение коэффициента усиления можно определить на основании критерия Гурвица, полагая

(10.3)

Подставив в (10.3) значения коэффициентов (10.2), получим

После алгебраических преобразований (раскрывая скобки и поделив на значение a₀) запишем

(10.4)

Из (10.4) можно сделать весьма важный практический вывод: критический коэффициент усиления является функцией отношения постоянных времени. Изменяя это отношение, можно в достаточно широких приделах получать значения K_кр. Например, приТ₁=Т₂=Т₃=ТимеемK_кр=8 независимо от величины 0<T<(заметим, что системы, не содержащие интегрирующих звеньев, называются статическими).

Задача 29

Для заданной структурной схемы (рис. 29.1) построить ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы. Определить запас устойчивости по фазе и усилению при k₀ = 0,01; k₁ = 10 с^-1.

Рис. 29.1

Задача 30

Выбрать значение параметра Т, при котором обеспечивается приемлемый запас устойчивости системы (рис. 30.1).

Рис. 30.1

Задача 31

Передаточная функция разомкнутой системы

Определить запас устойчивости для замкнутой системы.

Задача 32

Передаточная функция разомкнутой системы

Выбрать значение параметра K, обеспечивающее приемлемый запас устойчивости для замкнутой системы

Задача 33

Передаточная функция разомкнутой системы

Найти значение параметра K из условия, что запас по фазе для замкнутой системы π/4 рад, а запас по усилениюррррара L  6дБ.

Занятие 5. Устойчивость замкнутых автоматических

систем

Пример 11

Провести анализ устойчивости замкнутой системы, состоящей из типовых звеньев: двух интегрирующих (с общим коэффициентом передачи k_и =10⁴ с^–2), инерционного и форсирующего (постоянные времени соответственно равны 0,002 с и 0,05 с, а коэффициенты передачи – единице).

Решение

Определяем частоты сопряжения асимптот ЛАХ форсирующего и инерционного звеньев, а также частоту среза двух интеграторов (считая их одним звеном с передаточной функцией k_и/p²):

С учетом этих данных строим логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (рис. 11.1). ЛАХ разомкнутой системы состоит из трех асимптот: 1 и 3 с наклоном – 40 дБ/дек и 2 – с наклоном – 20 дБ/дек. ЛФХ системы не пересекает уровень –  рад, поэтому замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе составляет приблизительно /4 рад, а запас по усилению не имеет смысла определять (теоретически он бесконечен, так как ЛФХ достигает –  рад лишь в асимптотических точках 0 и ).

Рис. 11.1

Пример 12

Провести анализ устойчивости замкнутой системы, состоящей из двух интегрирующих звеньев и инерционного звена с постоянной времени Т.