Решение Передаточная функция замкнутой системы равна

(7.1)

Поделив числитель и знаменатель в (7.1) на В(p) =K, запишем

(7.2)

Выражение (7.2) описывает передаточную функцию колебательного звена с параметрами

АЧХ рассматриваемой системы описывается формулой (7.28) ( лекция 7). График приипредставлен на рис. 7.1,б. Пиковое значение соответствует частоте. Частота среза, определяемая из условияравна.

Задача 21

Найти передаточную функцию разомкнутой системы, ЛАХ которой представлена на рис. 21.1. Построить годограф K_р(jω).

Рис. 21.1

Задача 22

Для заданной структурной схемы (рис. 22.1) найти передаточную функцию, ЛАХ и ФЧХ разомкнутой системы. Построить графики ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы, полагая k_д = 0,1; k₀ = 10; k₁ = 10; Т = 0,1 с; k₂ = 100 с^–1.

Рис. 22.1

Задача 23

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 23.1).

Рис. 23.1

Найти: а) АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы и построить их графики; б) передаточную функцию замкнутой системы.

Задача 24

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 24.1).

Рис. 24.1

Найти: а) АЧХ разомкнутой системы, построить ее график; б) передаточную функцию замкнутой системы.

Задача 25

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 25.1).

Рис. 25.1

Найти передаточную функцию и АЧХ замкнутой системы.

Задача 26

Найти передаточную функцию замкнутой системы, если асимптотическая ЛАХ разомкнутой системы определяется как

Задача 27

Передаточная функция разомкнутой системы

Найти: а) АФХ разомкнутой системы и построить ее график (годограф);б) передаточную функцию замкнутой системы.

Задача 28

Найти АЧХ замкнутой системы (рис. 28.1) и построить ее график.

Рис. 28.1

Занятие 4. Устойчивость замкнутых автоматических

систем

Пример 8

Провести анализ устойчивости замкнутой системы, состоящей из последовательно соединенных типовых звеньев: безынерционного (с коэффициентом усиления K₁), интегрирующего (с коэффициентом передачи K₂), форсирующего и инерционного (коэффициенты передачи последних полагаются равными единице, а постоянные времени – соответственно Т₁ и Т₂).

Решение

Передаточная функция рассматриваемой разомкнутой (по цепи обратной связи) системы имеет вид

(8.1)

где K=K₁ K₂ – общее усиление разомкнутой системы.

Для анализа воспользуемся выражением (8.45) для передаточной функции замкнутой системы (лекция 8)

(8.2)

Подставив (8.1) в (8.2) после несложных преобразований имеем

(8.3)

Полином А(р) в (8.3) определяет характеристическое уравнение системы

с коэффициентами ,,.

Положительность коэффициентов а₀, a₁ и a₂ , (необходимое условие устойчивости) обусловлена тем, что постоянные времени Т₁ и T₂, а также коэффициенты усиления K₁ и K₂ не могут быть отрицательными (или равными нулю) по своему физическому смыслу. Положительность коэффициентов характеристического уравнения определяет также и достаточное условие устойчивости, так как порядок уравнения равен двум, а минор с максимальным индексом, который необходимо вычислить, – это ₁=a₁>0.

Таким образом, рассмотренная замкнутая система устойчива при любых значениях параметров K_1, K₂, T₁ и Т₂ Системы такого вида называют «абсолютно устойчивыми ».

Пример 9

Провести анализ устойчивости замкнутой системы, отличающейся от рассмотренной в примере 8, лишь тем, что она содержит не один, а два интегратора с общим коэффициентом усиления K.