- •В.Н.Бондаренко
- •Занятие 1. Типовые звенья систем радиоавтоматики
- •Решение
- •Решение
- •Задача 1
- •Решение
- •Задача 11
- •Решение Передаточная функция замкнутой системы равна
- •Задача 21
- •Решение в этом случае передаточная функция разомкнутой системы
- •Решение
- •Задача 29
- •Решение
- •Решение
- •Задача 34
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Задача 38
- •Задача 39
- •Занятие 7. Точность действия автоматических систем
- •Решение
- •Решение
- •Шумовая полоса системы в соответствии с (1.98) равна
- •Решение
- •Задача 40
- •Решение
- •Решение
- •Значение частоты среза определим по заданному времени переходного процесса
- •Что удовлетворяет требованию по точности (1%).
- •Решение Представим частотную ошибку в виде
- •На основе структурной схемы находим
- •Решение
- •Запас устойчивости по фазе равен
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Задача 51
- •Ответы к задачам
Решение
Передаточную функцию Ke(p) преобразуем к виду
. (18.2)
Отсюда находим передаточную функцию разомкнутой системы
(18.3)
Рассматриваемая система имеет первый порядок астатизма и добротность K1=K=100 с–1. Следовательно, установившаяся динамическая ошибка в первом случае равна
а во втором случае
Для нахождения коэффициента С2/2 используем уравнение (11.8) (лекция 11), которое в данном случае принимает вид
(18.4)
где A(p)=T1T2p2+(T1+T2)p+1, а B(p)=1.
Приравнивая коэффициенты при p2 в обеих частях уравнения, находим
или
.
Подставив значения параметров K, Т1 и Т2, получим С2/2=0,001.
Окончательно для ошибки имеем
Первая составляющая (0,019) определяет скоростную ошибку, а вторая (–0,01t) – ошибку по ускорению. Как видим, вклад составляющей – С2/2=–0,001 действительно мал, и можно полагать, что .
Пример 19
Провести оптимизацию системы (рис. 19.1) по параметру kи при воздействии и помехе– белом шуме с спектральной плотностьюN0 Bт /Гц.
Решение
Оптимизацию проводим в соответствии с критерием (1.106), так как воздействие детерминированное.
Рис. 19.1
Используя результаты п.п. 1.5.2, 1.5.3, для среднего квадрата ошибки (1.94) запишем
(19.1)
Шумовая полоса системы в соответствии с (1.98) равна
где
(19.2)
– табличный интеграл вида (1.100), а полиномы
соответствуют передаточной функции замкнутой системы Kз(p)=1/[1+p(1/K1)].
Подставив значения параметров a0=1/K1, a1=1 и b0=1 в (19.2), находим I1=K1/2.
Шумовая полоса определяется добротностью системы по скорости K1=kдkи:
(19.3)
Критерий оптимизации (1.106) в данном случае принимает вид
(19.4)
Решая уравнение (19.4), получаем
Оптимальное значение шумовой полосы и минимально достижимую ошибку находим подстановкой в выражение дляFш (19.3) и , (19.1):
(19.5)
Анализ выражения (19.5) показывает, что оптимальное значение полосы системы определяется скоростью изменения воздействия и интенсивностью шумаN0 (уменьшается с ростом N0).
Пример 20
Для системы, рассмотренной в примере 19, провести оптимизацию по параметру kи при условия, что воздействие х(t) – стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью
Sx()=
(помеха n(t), как и ранее, белый шум со спектральной плотностью N0).
Решение
В качестве критерия оптимальности используем выражение (1.107), которое принимает вид
(20.1)
Дисперсию динамической ошибки находим из (12.10) (лекция 12) после подстановки в него выражений для энергетического спектра воздействия и квадрата АЧХ
Используя для Sx() представление в виде
Sx() =
дисперсию динамической ошибки выражаем через табличный интеграл:
(20.2)
где полиномы
A2(j)=(j)2+(+K1)(j)+K1,
B2()=2.
После подстановки параметров a0=1, a1=+K1, a2=K1, b0=1 и b1=0 в выражение (20.2), получаем
Дисперсия динамической ошибки
С учетом этого выражения после решения уравнения (20.1) относительно параметра kи опт имеем
(20.3)
Значения оптимальной шумовой полосы и минимально достижимой ошибки находим подстановкой k иопт в соответствующие выражения для Fш опт и . Как видно из (20.3), значениеkиопт (а следовательно, Fшопт) определяется дисперсией и шириной спектра воздействия, а также интенсивностью шума N0.