Решение

Используя критерий Найквиста, убеждаемся, что система такого типа неустойчива при любых значениях параметров K (общее усиление разомкнутой системы) и Т (рис. 12.1). На рис. 12.1, а представлены АФХ системы для двух значений коэффициента усиления: K (кривая 1) и 2K (кривая 2) при Т =const. Рис. 12.1, б иллюстрирует влияние постоянной времени на форму АФХ при K = const (кривая 1 соответствует значению Т₁, а кривая 2 – Т ₂>Т₁).

Системы, устойчивость которых не может быть обеспечена надлежащим выбором параметров, называются структурно неустойчивыми.

Рис. 12.1

Пример 13

Определить критическое усиление для замкнутой статической системы, состоящей из четырёх инерционных звеньев с одинаковыми постоянными времени Т.

Решение

Построим кривую АФХ (качественно, поскольку параметры K и Т не определены) для критического случая (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Для частоты =0 модуль АФХ равен K, а для частоты  он равен нулю (при этом фазовый сдвиг составляет 2 рад). В силу идентичности звеньев фазовый сдвиг, вносимый каждым звеном в отдельности на частоте среза, равен /4 радиан, а коэффициент передачи составляет (общее усилениеK учтем путем введения безынерционного звена). Отсюда общий коэффициент усиления разомкнутой системы на частоте среза можно представить в виде

и, следовательно, K_кр=4.

Результат справедлив для любого значения Т, так как при K=const изменение Т приводит лишь к разной скорости «закручивания спирали» (c ростом Т уменьшается значение частоты среза ).

Задача 34

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 34.1).

Рис. 34.1

Определить запас устойчивости замкнутой системы.

Задача 35

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 35.1).

Рис. 35.1

Определить запас устойчивости замкнутой системы.

Задача 36

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 36.1).

Рис. 36.1

Определить значение параметра K, при котором обеспечиваются запас устойчивости по усилению не менее 6 дБ и по фазе не менее 30 град (для замкнутой системы).

Задача 37

ЛАХ разомкнутой системы имеет вид (рис. 37.1).

Рис. 37.1

Определить значение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором запас по фазе Δφ=π/6 рад (для замкнутой системы).

Занятие 6. Оценка качества переходного процесса

Пример 14

Оценить качественные показатели переходного процесса в замкнутой системе (рис. 14.1, а), используя операторный метод Лапласа.

Рис. 14.1

Решение

Передаточная функция замкнутой системы равна

Учитывая, что изображение Лапласа от функции единичного скачка, X(p)=1/p, находим изображение управляемой переменной

По таблице преобразований Лапласа [Приложение 1] находим оригнал,

что совпадает с переходной характеристикой инерционного звена с постоянной времени Т=0,1с.

Следовательно, переходный процесс монотонный (без перерегулирования), а длительность его t_п=3Т=0,3c (рис 14.1, б).

Пример 15

Используя метод цифрового моделирования построить график переходного процесса для системы, рассмотренной в примере 14. Определить быстродействие системы.