Тема №12 Система одновременных уравнений

Измерение тесноты связи между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для объяснения функционирования сложных экономических систем. Изменение одной переменной не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Таким образом отдельно взятое уравнение регрессии не может характериовать истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Поэтому в экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между системой переменных.

Система одновременных уравнений — это система эконометрических уравнений, содержащая взаимозависимые переменные, которые включены в одно из уравнений модели в качестве результативного признака, а в другие уравнения - в качестве факторного признака.

Примером системы одновременных уравнений может служить следующая гипотетическая модель:

где ε1 ε2 — случайные ошибки.

Эндогенные переменные — это взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы).

Как правило, каждое уравнение модели определяет одну эндогенную переменную, стоящую в левой части уравнения.

Таким образом, число уравнений в системе равно числу эндогенных переменных.

Экзогенные переменные — это независимые переменные, которые определяются вне системы.

В приведенной выше системе одновременных уравнений Y1 и Y2 являются эндогенными, a X1 и X2 — экзогенными переменными

Предопределенные переменные — это экзогенные и лаговые (за предшествующие промежутки или моменты времени) эндогенные переменные системы

Пример

Модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. Из модели можно найти значение Y_t для любого момента времени.

Первые 2 слагаемых показывают что совокупный уровень доходов зависит от постоянной составляющей объема потребления и от объема инвестиций.

Если объем инвестиций возрастет на 1, то совокупный доход увеличится на 1/(1-β). Это мультипликатор.

I_t – экзогенная переменная.

Наличие связи между переменными С_t и Y_t определяемой вторым уравнением, требует корректировки МНК для оценивания параметров β и α.

Структурная форма модели — это система уравнений, отражающая взаимосвязь между переменными в соответствии с положениями экономической теории и характеризующая структуру экономики или ее сектора.

Параметры структурной формы модели называют структурными параметрами.

Если модель содержит тождества, то их можно назвать уравнениями, в которых структурные параметры при переменных равны 1.

Уравнения кейнсианской модели – это структурные уравнения

Приведенная форма модели — это система уравнений, в которой каждая эндогенная переменная есть линейная функция от всех предопределенных переменных модели.

В этих уравнениях эндогенные переменные выражены только через экзогенные и случайные составляющие

Уравнения в приведенной форме

Структурные параметры системы одновременных уравнений нельзя определить обычным МНК, так как правая часть системы одновременных уравнений содержит эндогенные переменные

В этом случае была бы нарушена предпосылка о причинно-следственной зависимости между факторным и результативным признаками, а также ряд других предпосылок обычного МНК.

Наиболее распространенными методами расчета структурных параметров системы одновременных уравнений являются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов

Косвенный МНК состоит в следующем:

(а) Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК.

(б) Путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК состоит в следующем:

(а) Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК.

(б) Выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят их расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

(в) Обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Возможность применения косвенного или двухшагового МНК для оценки структурных параметров уравнения модели зависит от того, можно ли однозначно выразить структурные параметры через приведенные коэффициенты модели. Данную проблему называют проблемой идентификации.

Если структурные параметры уравнения модели однозначно определяются по приведенным коэффициентам, то говорят, что данное уравнение точно идентифицировано.

Структурные параметры такого уравнения можно найти косвенным МНК.

Если из приведенной формы модели можно получить несколько оценок структурных параметров, то говорят, что уравнение сверхидентифицировано.

Структурные параметры такого уравнения определяются двухшаговым МНК.

Если структурные параметры уравнения модели нельзя найти через приведенные коэффициенты, то такое структурное уравнение называется неидентифицируемым, и численные оценки его найти нельзя.

Чтобы определить, идентифицировано ли структурное уравнение модели, применяют так называемое порядковое условие идентификации.

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Если обозначить число эндогенных переменных в -м уравнении системы через, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, через, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

	уравнение идентифицируемо
	уравнение неидентифицируемо
	уравнение сверхидентифицируемо

Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели.

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.

Основная литература: [4, С.90-175], [10], [14]

Дополнительная литература: [20],[22],[23],[25], [32]