- •Прокатка особо толстых полос - 0,1 - 0,2
- •15. Энергосиловые параметры процесса прокатки
- •15.1. Контактные напряжения
- •15.2 Дифференциальное уравнение прокатки
- •15.3. Теории касательных контактных напряжений
- •15.4. Теоретическое определение контактных напряжений при прокатке
- •15.5 Определение среднего нормального контактного напряжения по Целикову а.И.
15.2 Дифференциальное уравнение прокатки
Дифференциальное уравнение прокатки было выведено Т. Карманом. При этом он сделал такие предположения:
принята плоская деформация;
в очаге деформации имеют место две зоны скольжения – зона отставания и зона опережения;
в каждой из зон скольжения изменения сил трения определяется законом Амонтона;
вынужденный порог текучести не изменяется вдоль дуги контакта;
принятая гипотеза плоских сечений, или постоянство горизонтальных скоростей частиц металла и напряжений по высоте сечения в очаге деформации;
не учитывается влияние внешних зон;
не учитывается упругая деформация валков.
Рассмотрим в очаге деформации элементарный объем аbсd (рис. 53), который ограничен поверхностями валков и двумя параллельными плоскостями, и условие его равновесия. Для этого спроектируем все силы, которые действуют на выделенный элемент, на ось х.
Рис. – 53 Условия равновесия элементарного объема металла в зоне опережения
На элементарный объем действуют силы:
– нормальная сила ;
сила трения , или
при
(знак „+” относится к зоне опережения,
знак "-" – к зоне отставания).
– сжимающие силы, которые действуют в плоскости bс:
;
– сжимающие силы, которые действуют в плоскости сd:
Сумма горизонтальных проекций всех сил, которые действуют на элементарный объем в зоне опережения:
(15.1)
После преобразования получаем:
(15.2)
Для решения этого уравнения необходимо найти зависимость между и. С учетом гипотезы плоских сечений одно из главных напряженийσ, всегда будет направлено вертикально, а два других - в горизонтальной плоскости:
–по направлению прокатывания, а
- перпендикулярно к нему.
Условие пластичности для плоской деформации в главных напряжениях
, (15.3)
где – вынужденный порог текучести металла.
Если принять ,, получим:
После дифференцирования (15.4)
В связи с тем, что для плоской деформации ,=1,15
Из рисунка 53 видно, что
Подставляем все это в уравнение равновесия и получаем:
(15.5)
Знак ”–„ – используется для зоны опережения,
„+” – для зоны отставания.
Это и есть дифференциальное уравнение прокатки Т. Кармана. Его можно подать в виде:
, (15.6)
где ,.
Решение этого уравнения очень сложно. Поэтому, ввиду того, что угол захвата в большинстве случаев не превышает 30° при горячей прокатке и 8° при холодной, с достаточной точностью дугу захвата можно приравнять к кривой, при которой решение уравнения будет более простым. Такой кривой Т. Карман принял параболу, уравнение которой имеет вид:
(15.7)
Тогда (15.8)
Однако и в этом случае после подстановки в дифференциальное уравнение значений ,инеобходимо решать сложное интегральное уравнение, поэтому, в дальнейшем, были попытки заменить дугу контакта хордой.
Для разнообразных условий процессов прокатки характерные разные законы изменения , которые принимаются на основе теорий касательных контактных напряжений.