Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Донбаський державний технічний університет
В.І. Рубежанський, т.В. Бірюкова коливання та хвилі в динамічних системах
Навчальний посібник
Рекомендовано вченою радою ДонДТУ
Алчевськ 2011
УДК 534+537.86
ББК В 3
Р 82
Рубежанський Василь Іванович – к.ф.-м. н., доц. кафедри теоретичної та будівельної механіки Донбаського державного технічного університету, доктор філософії в фізико-математичних науках, академік МАНЕБ;
Бірюкова Тетяна Вікторівна – к.т.н., доц. кафедри радіофізики Донбаського державного технічного університету.
Рецензенти:
І.В. Жихарєв – к.ф.-м.-н., доц. кафедри фізики та нанотехнологій Луганського Національного університету ім. Т.Г. Шевченка;
Є.В. Мочалін – д.т.н., проф., зав. каф. теоретичної та будівельної механіки Донбаського державного технічного університету
(м. Алчевськ).
Рекомендовано вченою радою ДонДТУ
(Протокол № 6 від 01.07.2011 р.)
Р 82
Коливання та хвилі в динамічних системах: Навч. посіб. / В.І. Рубежанський, Т.В. Бірюкова. – Алчевськ: ДонДТУ, 2011. – 117 с.
ISBN 978-966-310-267-2
Даний навчальний посібник призначений для студентів спеціальності 7.070201 «Радіофізика і електроніка» денної форми навчання.
УДК 534+537.86
ББК В 3
© В.І. Рубежанський, Т.В. Бірюкова, 2011
© ДонДТУ, 2011
© дизайн обкладинки О.М. Ульянов, 2011
ЗМІСТ
ВСТУП 9
1 Коливання систем з одним ступенем свободи 11
1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем свободи 11
1.2 Лінійні коливальні системи без тертя 12
1.3 Метод фазової площини 13
1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень 18
1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю 24
1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю 28
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 1 33
2 ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ В ДИСИПАТИВНИХ СИСТЕМАХ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ 33
2.1 Випадок сухого тертя 34
2.2 Випадок лінійного тертя 34
2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах 39
2.4 Негативна дисипація 41
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 2 44
3 ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ 44
3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі 46
3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора 49
3.2.1 Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою 50
3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням 53
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 3 57
4 КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ДВОМА СТУПЕНЯМИ СВОБОДИ 58
4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи 58
4.2 Биття 64
4.3 Нормальні координати 66
4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри 68
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 4 73
5 ПАРАМЕТРИЧНІ КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ 74
5.1 Загальні поняття 74
5.2 Коливання при відсутності тертя 77
5.3 Параметричне гармонійне збурення 81
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 5 82
6 АВТОКОЛИВАННЯ В СИСТЕМАХ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ 82
6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем 82
6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля 84
6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям 85
6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем 87
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 6 89
7 КОЛИВАННЯ У ВПОРЯДКОВАНИХ СТРУКТУРАХ. ХВИЛЬОВЕ РІВНЯННЯ 90
7.1 Загальні зауваження 90
7.2 Поперечні коливання струни з вантажами 91
7.3 Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння 95
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 7 96
8 СКАЛЯРНІ І ВЕКТОРНІ ХВИЛІ 97
8.1 Початкові відомості про хвилі 97
8.2 Гармонійні хвилі 98
8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль 100
8.4 Рівняння хвиль в поглинаючому середовищі 101
8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямі 102
8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі 105
8.7 Енергія пружних хвиль 107
8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення 109
8.9 Стояча хвиля 111
8.10 Векторні хвилі. Поляризація 113
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 8 115