2. Математическая формулировка основной задачи опти­мизации параметров и допусков

Большинство задач па­раметрического синтеза элементов сводится к решению задачматематического программирования.

Задача математического программированияформули­руется следую­щим образом:

, (5.4)

т. е. нужно найти экстремум(максимум или минимум)целевой функцииF(X), иначе называемойфункцией ка­чества, в пределах допустимой областиХДизменения управляемых параметровX. ОбластьХДможет зада­ваться совокупностью ограничений типа неравенств и типа равенств , т. е.

. (5.5)

где φ(Х) иψ(Х) — вектор-функции.

Основная задача оптимизации пара­метров и допусков— двухэтапная.

Этап 1— решениезадачи предварительной оптими­зации параметров элементов. Цель решения этой зада­чи — определение некоторой опорной точки (точки экстремума) , рис.5.4а.

Воз­можны случаи, когда вектор ТТзадан достаточно жест­ко и областьХРоказываетсяпустой. В этих случаях ре­зультатом решения является фикса­ция данного факта с указанием тех выход­ных параметров, требования к которым не могут быть одновременно удовлетворены. На основании этих данных инженер принимает решение либо об изменении струк­туры объекта, либо об изменении технических требований.

Основными вопросами, решаемыми при сведении пред­варительной задачи оптимизации к задаче математиче­ского программирования (5.4), явля­ютсявыбор крите­рия оптимальности, количественно выражаемогоцеле­вой функцией,ограниченийиспособа нормирования параметров.

Целевая функция и ограничения обычно формируются на основе заданных условий работоспособности. Наибо­лее популярны частныйимаксиминныйкритерии опти­мальности.

В частном критерии оптимальностив каче­ствецелевой функциивыбирается один из выходных па­раметров, напримерy_k. Условия работоспособно­сти всех остальных выходных параметроввходят вограничения.Система ограниченийдо­полняется прямыми ограничениями (5.2).

Чаще используют максиминный критерий оптимальности, при кото­ром точкаХ_эразмещается внутри областиХРнамаксимальном расстоянииот ближай­шей границы области. Постановка задачи обычно производится при выборе в качествецелевой функциинаименьшего из запасов работоспособности выходных параметров

, (5.6)

а в качестве ограничений— прямых огра­ничений (5.2).

Этап 2— решениезадачи вписывания допусковой области. Задача сводится к взаимному расположению заданной области работоспособностиХРи некоторой допусковой областиXGв про­странствеХП.

Задача может быть представлена как за­дача математического програм­ми­рования, в которой в качестве управляемых параметровфигурируют парамет­ры, задающиеформугиперфигурыXGи ееположениев пространствеХП, в качествецелевой функции— неко­торая оценка размеров области пересеченияХРиXG, а в качествеограничений— условия малости рассогласова­ния положений областейХРиXG. При определении допусков вписываемой фигурой яв­ляется гипер­парал­ле­ле­пипед, рис.5.4б.

3. Разновидности постановок задач параметрического синтеза

Постановки остальных задач параметрического синтеза как задач матема­ти­ческого программирования являются теми или иными разновидно­стями рассмотренных постановок предварительной оптимизации и вписы­вания гипер­фигур.

Для решения задач оптимизации параметровдоста­точно выполнить этап предварительной оптимизации с использованием максиминного критерия и с нормирова­нием пространства выходных параметров с помощью за­пасов работоспособности (5.6).

Задачи назначения допусковсводятся к выполнению только этапа впи­сы­ваниягиперфигурыв область рабо­тоспособности. Упрощающим отличием этих задач явля­ется задание положенияцентравписываемогогиперкуба.

Задачи совмещения и центрирования— двухэтапные: этап 1 —предвари­тельная оптимизация, а этап 2 —центрирование. Последнее отличается тем, что здесь допуски заданы и нужно только совместить центр области работоспособности с центром допусковой области. Такое совмещение может выполняться аналогично вписыванию гиперкуба в основ­ной задаче, но возможны и другие способы, например центрирование путем вписываниягиперсферымакси­мального радиуса.

Задачи назначения технических требований на промежуточных иерархических уровнях нисходящего проектированияпо своему характеру, способам постановки и решения близки к основной за­даче оптимизации параметров и допусков. Но в задачах назначения ТТ результатом решения являются условия работоспособности при проектировании объекта на сле­дующем иерархическом уровне, а не допуски, использу­емые при дальней­шем изготовлении деталей.

Задачи назначения технических требований ТТ на ос­нове мнений экспертоврешаются в процессевнешнего проектирования, когда структура будущего объекта от­личается большой неопределенностью. Поэтому первой особенностью этих задач является использованиепри­ближенных математи­ческих моделей, отражающих пред­ставления идеологов разрабатываемой сложной системы о соотношениях между достижимыми параметрами объ­ектов, сроками проектирования, затратами на разработку и изготовление, т. е. учитываются технико-экономические соображения, относящиеся ко всему жизненному циклу объекта.

В процессе внешнего проектирования разработчик должен иметь возмож­ность оперативного внесения изменений в используемые математические моде­ли, изме­нений целевых функций, ограничений и управляемых параметров. Такая оперативность — вторая особенность реализации задач назначения ТТ при внешнем проекти­ровании.

Задачи идентификации параметров разрабатываемых математичес­ких моделейформулируются как задачи ма­тематического программирования, в которыхцелевая функция— оценка степени совпадения выходных пара­метров, получаемых с помощью испытуемой и эталонной моделей, ауправляемые параметры — параметры испы­туемой математической модели.

Задачи определения областей адекватности математи­ческих моде­лейотличаются от задач назначения допус­ков при заданном векторе номиналь­ных значений тем, что вписывание производится не в пространстве пара­метров элементов, а в пространстве внешних параметров, так как область адекватности должна характеризовать диапазоны изменения внешних переменных, в которых математическая модель адекватна.

Решение задач параметрического синтеза в САПР выполняется методами поисковой оптимизации, основанной на последовательных приближениях к опти­­­маль­ному решению. Каждая итерация представляет со­бой шаг в прост­ранстве управляемых параметров.

Ос­новными характеристиками метода опти­мизации являют­ся способы определения направления, в котором произво­дится шаг в пространстве ХП, величины шага и момента окончания поиска. Эти характеристики и формули­ровки задач матема­тического программирования определяют показатели эф­фек­тив­ности поиска — надежность отыскания экстремальной точки, точность попадания в окрестности этой точки, затраты вычислительных ресурсов на поиск.