1.3. Похибки вимірювання

Якість результатів вимірювання (РВ) та засобів вимірювання (ЗВ) прийнято харак­теризувати показом їх похибок. У загальному, похибка вимірювання – це критерій якості проведеного вимірювання і, являє собою відхилення результату вимірювання ФВ від її істинного значення. Поняття похибки використовується для оцінки характеристик як ЗВ так і РВ. Потрібно відрізняти похибку засобу вимірювання та похибку результату вимірювання.

Похибка результату вимірювання Δ - це число, яке показує можливі межі невизначеності значення вимірюваної ФВ, тобто, Δоцінює відхилення результатуХвимірювання ФВ певним ЗВ від її істинного Q чи дійсного Q значення в об'єкті.

Похибка засобу вимiрювання Δ- це властивістьЗВ, вимірювати ФВ з наперед заданою межею невизначеності, і для визначення цієї властивості у ЗВ необхiдно попередньо провести його метрологічні дослідження, використовуючи вiдповiднi правила метрологічної повірки або атестації.

За способом числового вираження розрізняють два види похибок: абсолютні та відносні, а також різновид відносних - приведені.

Абсолютною похибкою вимірювання ΔХ називається рiзниця мiж

результатом вимiрювання (показом приладу) Хта iстинним (дійсним) значенням Q вимірюваної величини («виміряне мінус істинне») i надається в одиницях вимірюваної величини:

Δ X = Х–Q= Х-Q. (1.2)

Так як істинне значення Q вимірюваної величини не відоме, то не відома й по­хибка вимiрювання. Тому для одержання, хоча б приблизних відомостей про неї у формулу (1.2) підставляють Q вимірюваної величини.

Абсолютна похибка не може в повній мірі використовуватись як показник точності проведеного вимірювання, так як одне й теж її значення, наприклад, ΔX = 0.05мм при Q = 100мм – відповідає відносно високій точності

вимірювання, а в другому випадку при Q = 1мм – низькій.

Для більш наглядної оцінки точності проведеного вимірювання, введене поняття відносної похибки. Відносною похибкою вимірювання () називається похибка, яка визначається як відношення абсолютної похибки вимірювання до iстинного Q чи дiйсного Q значення вимiрюваної величини i подається у вiдсотках (%) або в долях одиниці:

= (Δ / Q) ∙ 100% = [(Х-Q) / Q] ∙100% =

= [(Х-Q) / Q] ∙100%. (1.3)

При використовуванні поняття для розглянутого вище випадку, високій точності вимірювання відповідає мале значення відносної похибки:

= (0,05/100) ∙ 100% = 0,05%, а низькій – велике: = (0,05/1) ∙ 100% = 5%.

Але і така наглядна характеристика точності РВ не завжди придатна, наприклад, для нормування похибок ЗВ, так як дійсне значення вимірюваної величини по діапазону його вимірювання (у цьому випадку це значення міри, що приведене до взаємодії з ЗВ при його метрологічній атестації) може дорівнювати нулю. Характер зміни по діапазону вимірювання у відповідності із залежністю (1.3) має вигляд гіперболи (приймає значення безмежності на початку діапазону ЗВ, а найменше значення - в його кінці).

У зв’язку із цим, для показу й нормування похибок ЗВ, використовується різновид відносної похибки – приведена похибка ().

Приведеною похибкою (вона відноситься тільки до ЗВ) називається

вiдношення абсолютної похибки до розмаху N шкали ЗВ (або до його діапазону D вимірювання), яке виражене у вiдсотках (може бути виражене і в долях одиниці):

= (Δ X / N) ∙100% = (Δ X / D) ∙100%. (1.4)

При постійній абсолютній похибці по діапазону вимірювання, приведена похибка теж постійна й дорівнює відносній похибці в кінці діапазону.

Для того, щоб орієнтуватись у метрологічних характеристиках конкретного ЗВ, щоб завчасно оцінити похибку, яку внесе даний ЗВ в кінцевий результат вимірювання, використовують так звані нормовані значення похибки ЗВ.

Під нормованим значенням похибки засобу вимірювання розуміється граничне значення похибки для даного ЗВ у відповідності з його класом точності.

Нормуються основна та додаткові похибки ЗВ. Тільки границі (межі)

основної похибки, а також коефіцієнти впливу додаткових похибок і заносять

в паспорт кожного ЗВ. Правила, у відповідності з якими назначаються ці межі, або кажуть процедура нормування похибки ЗВ, грунтується на системі стандартів, які забезпечують єдність вимірювання.

Основна похибка ЗВ–це похибка ЗВ при нормальних умовах його

використовування. Вона визначається внаслідок проведення метрологічних випробовувань ЗВ в нормальних умовах, під якими при експлуатації ЗВ розуміється наступні загально прийняті умови:

• напруга мережі живлення - (220) В;

• температура навколишнього середовища – (202)С;

• відносна вологість – від 30 до 80 відсотків;

• тиск – (76025) мм рт. ст. (101325 Па);

• відсутність зовнішніх електричного та магнітного полів, крім земного.

Основна похибка ЗВ може надаватись як абсолютною , так і приведеною.

Клас точності ЗВ – це його загальна характеристика, яка визначає гаранто-

вані межі значення основної та додаткової похибок ЗВ, а також інші властиво-

сті ЗВ, які впливають на його точність.

Виражене в процентах значення основної приведеної похибки ЗВ, яке визначене при проведенні метрологічних досліджень ЗВ та відповідним чином округлене, визначає клас точності ЗВ. Значення класу точності наносять на шкалу приладу.

Відповідність похибки ЗВ, присвоєному йому класу точності за час експлуатації, провіряється при періодичних повірках.

Основні способи встановлення граничних значень допустимих похибок і позначення класів точності ЗВ регламентується відповідним стандартом .

Похибка засобів вимірювання Δописується певною математичною моделлю. У загальному випадку при багаторазових вимірюваннях математичну модель абсолютної похибки Δ вимірювання надають у вигляді декількох складових, а в мінімумі - як суму двох складових, які розрізняються за закономірностями прояву:

Δ = Δc + Δв, (1.5)

де Δc систематична та Δв випадкова складові похибки.

Кожна із цих складових обумовлена дією різних чинників і може складатись у свою чергу ще з декількох складових. При такому додаванні Δв повинна бути визначена як довірча межа інтервалу невизначеності і відповідати

певній довірчій ймовірності.

Випадкова складова похибки (ВСП) Δ- це складова загальної похибки вимiрювання, яка змінюється за повторних вимiрювань одного i того ж значення ФВ випадковим чином і в появі різних значень якої (і по знаку, і по розміру) не вдається визначити будь-яку закономірність.

Під систематичною складовою похибки (ССП) Δ_c розуміється складова

загальної похибки, яка залишається постійною або закономірно змінюється за повторних вимiрюваннях одного i того ж значення ФВ.

Для визначення ССП та ВСП проводяться перевірення або метрологічна атестації ЗВ, при яких виконуються (як правило) багаторазові вимірювання значення Хоі зразкової міри, що приводиться до взаємодії з ЗВ.

Отримавши ряд n результатів вимірювання Х1, Х2, Х3, ...Xn (загалом прийнято, щоб їх було не менше 20), для визначення систематичної складової похибки Δc, необхідно вирахувати середнє арифметичне цього ряду результатів вимірювання за формулою:

= 1/n * (X1+X2+X3+...+Xn) = Хi.(1.6)

Різниця – Хоі = Δc визначає ССП ЗВ. Таким чином, відхилення середнього значення вимірюваної величини (значення зразкової міри, що подається на вхід ЗВ) від її дійсного (істинного) значення (для цього випадку Q= Хоі ), характеризує ССП. ССП ще називають середньою арифметичною похибкою, або середнім арифметичним відхиленням.

При визначення ВСП використовують математичний апарат теорії ймовірності та поняття законів розподілу ВСП, як випадкової величини. При цьому, для практичних розрахунків ВСП використовують тільки основні числові характеристики цих законів розподілу, до яких відноситься середньоквадратичне відхилення (СКВ) σ_х розсіювання окремих результатів Хі вимірювання відносно середнього .

При метрологічних дослідженнях в залежності від кількості n проведених вимірювань використовують різні формули для визначення СКВ.

Для нормального закону розподілу ВСП, який, як правило, має місце при великій кількості проведених вимірювань (n ≥ 20-30), σ_х дорівнює:

σ_х=(приn≥20-30). (1.7)

а абсолютна ВСП (індекспоказує вибрану довірчу ймовірністьз якою проведена оцінки похибки), визначається за формулою:

(1.8)

де t - нормована квантіль (коефіцієнт) для заданої довірчої ймовірності , який вибирають із довідника по метрології для конкретного числаn.

При малому числі n вимірювань (2<n<20-30) для розрахунку ВСП використовують формулу:

, (1.9)

де – тежСКВ σ_х, але для малої кількості проведених вимірювань його зображують як , і яке розраховують за формулою:

= , (1.10)

а - коефіцієнт Стьюдента, значення якого в залежності від кількості проведених вимірюваньn та заданою довірчою ймовірністю вибирають із метрологічних таблиць.

Якщо варіація відсутня або нею можна нехтувати, то основна абсолютна похибка ЗВ в кожній точці його характеристики перетворення визначається за формулами:

- при малому числі n дослідів (n<20) ; (1.11)

- при великому числі n дослідів (n ≥ 20-30) (1.12)

Результат метрологічних досліджень (атестації) нестандартних ЗВ – є теж визначення максимальної ∆_Оmax із основних абсолютних ∆_О похибок ЗВ в діапазоні вимірювання D, які для всіх точок по діапазону (в спрощеному вигляді при відсутності варіації та довірчій ймовірності Рд=0.95) вираховують за формулою:

∆_О =│∆_С│+ 2 σ_х , (1.13)

де σ_х – середнє квадратичне відхилення ВСП.

Після отримання значення максимальної основної абсолютної похибки ЗВ по діапазону вимірювання D за формулами 1.12; 1,13 або 1.15, визначається максимальна приведена похибки ЗВ в цьому діапазоні:

= (∆_Оmax / D) ∙100%. (1.14)

Така основна приведена похибка ЗВ після округлення до більшого із ряду: 6-4-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5-0,2-0,1-0,05-0,02-0,01-0,005-0,002-0,001 і т.д., визначає його клас точності, який наносять на шкалу ЗВ.

Додаткові похибки – це похибки, які виникають при відхиленні умов використовування ЗВ від нормальних і нормуються, показуванням впливу зміни окремого фактору на зміну показів ЗВ, у вигляді певного коефіцієнта або відсотка від основної похибки. Наприклад, при зміні при зміні напруги живлення в межах +10 та -15 відсотків від номінального значення 220 В, додаткова похибка не повинна перевищувати0,15 основної приведеноїпохибки.

У загальному вигляді сумарна абсолютна похибка засобу вимірювання з урахуванням факторів, що впливають на ЗВ:

, (1.15)

де - основна абсолютна похибка при нормальних умовах ;

- додаткові похибки, які визиваються зміною і-го впливаючого фактору.

Експлуатаційна похибка ЗВ – це похибка в реальних умовах використовування ЗВ і складається із його основної похибки та всіх додаткових похибок. Вона може бути набагато більшою за основну похибку, так як додаткові похибки до основної (формула 1.14). Всі складові експлуатаційної похибки оговорюються в технічній документації на ЗВ і визначаються при метрологічних випробовування, у відповідності з розробленими по стандарту методиками.

В техніці вимірювань використовують поняття допустимої основної похибки ЗВ, яка дозволяє проводити вимірювання за допомогою конкретного ЗВ з наперед заданою точністю. Допустима основна похибка ЗВ - це найбільша похибка результатів вимірювання даним ЗВ, яка допустима стандартом для його класу точності.