4. Аналитические и численные методы

АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

4.1. Аналитический метод анализа нелинейных резистивных

ЦЕПЕЙ ПРИ ПОЛИНОМИНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Алгоритм расчета. Последовательность расчета такая же, как и в ряде других аналитических методов.

1. Аппроксимируют ВАХ нелинейных элементов удобным аналитическим выражением, в данном случае степенным полиномом:

i(u) = a₀ +a₁u + a₂u² + ... + a_nuⁿ (16.1)

Если ВАХ немонотонна, и требуется отразить ее особенности, учитывается большее число точек ВАХ. При этом коэффициенты аппроксимации определяются по формуле Лагранжа (16.7).

2. Составляют систему уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа.

Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в случае линейных цепей.

По первому закону Кирхгофа записываются n₁=q– 1 уравнений для независимых узлов вида:

,

где q– количество узлов в цепи;

m– число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа записываются n₂=р–q+ 1 уравнений для независимых контуров вида:

,

где n– число ветвей, входящих в контур;

p– число ветвей, входящих в цепь.

Далее система уравнений, описывающая состояние цепи дополняется уравнениями, аппроксимирующими ВАХ нелинейных элементов вида (16.1).

3. Исключают из системы уравнений промежуточные переменные и находят нелинейное функциональное уравнение (НФУ) для отыскания искомого тока (напряжения):

q(i) =в₀ + в₁i+в₂i²+ ... +в_niⁿ= 0 (16.2)

4. Решают НФУ (16.2) для каждого момента времени и находят искомые значения тока (напряжения). При этом используют методы решения нелинейных алгебраических уравнений. Однако процесс решения НФУ может существенно затрудниться.

Иллюстрация метода.

Пример 1. В цепи, приведенной на рисунке 16.1,U= 40 В,R₁= 10 Ом, ВАХ нелинейного резистораR₂аппроксимирована полиномом:

и_нэ(i) = -6,7i³+ 30i²– 13,3i. Необходимо найтии_нэ иi.

Рис.16.1

Решение. Уравнение второго закона Кирхгофа для цепи имеет вид: R1i+uнэ(i) –U= 0. После подстановки в него численных значений R1,U, а также аппроксимирующей функцииинэ(i) получим

Таким образом, для отыскания тока цепи необходимо найти корни следующего НФУ:

Пример 2. В цепи, приведенной на рис. 16.2,Е= 14В,J= 10 мА,

R₁= 1 кОм,I_н= 10^-5U_н². Необходимо найтиI₂,U₂.

Рис.16.2

Решение. Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур и один независимый узел. Уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа, имеют следующий вид: I1 + J – I2 = 0; (16.3) I1R1 + U2 = E. (16.4)

Эти уравнения дополняем уравнением функции, аппроксимирующей ВАХ нелинейного элемента:

(16.5)

Неизвестными в данной системе уравнений являются напряжение U₂и токиI₁иI₂. Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения.

Для получения аналитического решения предположим вначале, что решение системы уравнений существует при U₂> 0. Тогда уравнение НЭ имеет вид

I₂=U₂². (16.6)

Выразим из уравнения (16.3) ток I₁=I₂–Jи подставим его в уравнение (16.4).

В результате этой операции получим

I₂R₁-JR₁+U₂–E= 0. (16.7)

Подставив в (16.7) выражение (16.6), получим уравнение относительно неизвестного напряжения на нелинейном двухполюснике, т.е. НФУ, в виде

(16.8)

Отсюда имеем

(16.9)

После подстановки численных значений в (16.9) получим U₂₍₁₎= 20 В.

Второе решение уравнения (16.8) даст U₂₍₂₎ < 0. Это решение не подходит, так как применялось уравнение НЭ, справедливое приU₂ > 0.

Допустим теперь существование решения системы уравнений (16.3)-(16.4) при U₂< 0. Согласно уравнению НЭ (16.5)I₂= 0. Тогда из уравнения (16.7) имеем

U₂=JR₁+E= 24B> 0,

а это противоречит условию, что U₂< 0.

Таким образом, остается первое решение (16.9). Найдем остальные неизвестные. Из (16.6) имеем I₂=U₂²= 10^-520²= 4 мА, а из (16.3)

I₁= I₂–J= -6 мА.

В данном примере получено аналитическое решение системы нелинейных уравнений. Если бы ВАХ нелинейного элемента описывалось более сложной функцией, то этого достичь не удалось бы.