7. Ток в нелинейном резисторе при воздействии

СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ

7.1. Анализ графическим методом

Графические методы позволяют определить реакцию произвольного безынерционного нелинейного элемента на заданное внешнее воздействие.

Пусть i(u) – ВАХ некоторого нелинейного резистора (рис.16.1), причем напряжение u – величина, принятая в качестве внешнего воздействия, а ток i – величина, рассматриваемая как реакция нелинейного резистора на это воздействие.

Построим на этом же резисторе зависимость внешнего воздействия u = u(t) и реакции i = i(t) от времени. График u(t) расположим в нижней части рисунка так, чтобы ось и этого графика была параллельна оси и вольтамперной характеристики, а ось времени – направлена вниз и являлась продолжением оси графика i(u). Зависимость i = i(t) построим в правой части рисунка так, чтобы ось времени была направлена вправо и явилась продолжением оси и графика i(u), а ось i(t) была расположена параллельно оси i ВАХ.

Алгоритм анализа. Для определения реакции цепи на заданное внешнее воздействие необходимо для каждого момента времени t₁ выполнить следующие графические построения:

1) по графику функции u(t) найти мгновенное значение внешнего воздействия u(t₁);

2) по ВАХ i(u) определить соответствующее этому внешнему воздействию мгновенное значение реакции i(t₁) на графике i = i(t).

Рис.16.1

Очевидно, что при увеличении числа точек на временной оси, для которых выполняются такие построения, точность нахождения реакции элемента на заданное внешнее воздействие возрастает.

Недостатком рассматриваемого приема является то, что графики u(t) и i(t) построены в разных местах чертежа, а это неудобно при определении взаимно соответствующих точек на временных осях и затрудняет сравнение формы кривых напряжения u(t) и тока i(t).

Этот недостаток может быть устранен, если график u(t) построить непосредственно под графиком i(t) (рис.16.2). В этом случае линии, проецирующие точки графика и = u(t) на ВАХ i(и), перегнутся под углом 90⁰, причем токи перегиба расположатся на некоторой вспомогательной прямой, проведенной под углом 45⁰ к координатным осям через точку пересечения оси i ВАХ и оси времени зависимости i = i(t).

Рис.16.2

Таким образом, из выполненного графическим методом анализа следует, что реакция нелинейной цепи на гармоническое воздействие в общем случае не является гармонической функцией времени.

Графические построения, приведенные на рис.16.2, можно использовать и для решения обратной задачи – определения вида ВАХ безынерционного нелинейного резистивного элемента по известной реакции этого элемента на заданное внешнее воздействие.

Например, на рис.16.3 показано, как с помощью описанных графических построений найти вид ВАХ нелинейного резистивного элемента, обеспечивающего двустороннее ограничение гармонических колебаний.

Рис.16.3

7.2. Анализ аналитическим методом

Графические методы анализа позволяют установить только качественное соответствие между видом ВАХ нелинейного резистивного элемента и реакцией этого элемента на заданное гармоническое воздействие. Для получения количественных соотношений необходимо воспользоваться аналитическими методами.

Пусть ВАХ некоторого нелинейного резистора может быть аппроксимирована полиномом n-й степени

(16.1)

а внешнее воздействие u = u(t) является гармонической функцией времени

u = U_mcost. (16.2)

Подставляя (16.2) в (16.1) и выражая слагаемые вида a_k(U_mcost)^k через гармонические функции кратных частот

и т.д.,

получаем (16.3)

где

Анализ полученных выражений (16.3) показывает, что при полиноминальной вольтамперной характеристике нелинейного элемента и гармоническом воздействии на НЭ:

1. Реакция нелинейного элемента на гармоническое внешнее воздействие определенной частоты  представляет собой сумму постоянной составляющей I₀ и гармонических составляющих (гармоник) с частотами, кратными частоте внешнего воздействия.

2. Основные гармоники напряжения и тока совпадают по фазе, т.е. резистивный элемент потребляет только активную мощность по первой гармонике.

3. Амплитуда k-й гармоники I_mk зависит только от членов полинома k-й и более высоких степеней.

4. Амплитуды четных гармоник и постоянная составляющая определяется только членами полинома четных степеней, а амплитуды нечетных гармоник – членами полинома нечетных степеней. Следовательно, если ВАХ нелинейного резистора аппроксимируется четным полиномом, то реакция нелинейного резистора не будет содержать нечетных гармоник, а если ВАХ аппроксимируется нечетным номиналом, то реакция нелинейного резистора на гармоническое воздействие не будет содержать постоянной составляющей и четных гармоник.

Таким образом, выражение (16.3) иллюстрирует важнейшее свойство нелинейных цепей, заключающееся в том, что их реакция на гармоническое воздействие содержит колебания различных частот (в том числе и нулевой), т.е. нелинейная цепь является генератором колебаний, частота которых отличается от частоты внешнего воздействия.

Если функционирование нелинейной частоты не связано с использованием высших гармоник, то нелинейность ВАХ реальных элементов приводит к искажению формы воздействующих колебаний. Такие искажения называются нелинейными. Нелинейные искажения носят паразитный характер и строго нормируются.

Количественно нелинейные искажения оцениваются с помощью коэффициента гармоник

(16.;)

определяемого как отношение корня квадратного из суммы квадратов действующих значений всех гармонических составляющих А₂, А₃, А₄, ..., кроме первой, к действующему значению первой (основной) гармоники А₁.