6. Графический метод анализа нелинейных цепей постоянного тока

В основе графического метода лежит графическое решение нелинейных уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, с использованием вольтамперных характеристик нелинейных элементов цепи.

Исходными данными являются схема цепи и ВАХ нелинейных элементов цепи, выполненные в едином масштабе. Если заданы только типы нелинейных элементов, то их ВАХ определяются по справочникам.

Цель расчета – определение токораспределения в цепи.

Алгоритм расчета. Расчет цепи графическим методом предполагает выполнение следующих операций:

1) составление схемы замещения цепи;

2) вычерчивание на общем графике в едином масштабе вольтамперных характеристик всех элементов цепи;

3) построение вольтамперных характеристик эквивалентных участков и вольтамперной характеристики всей цепи;

4) определение по результирующей вольтамперной характеристики цепи тока в цепи (обратная задача) или напряжения на зажимах цепи (прямая задача);

5) определение токов и напряжений в ветвях и на элементах по вольтамперным характеристикам элементов и участков с использованием результатов п.4.

Иллюстрация метода.

Пример 1. Последовательное соединение элементов.

Рис.16.10	Дано: 1) схема замещения цепи (рис.16.10); 2) ВАХ элементов цепи (рис.16.11); 3) напряжение источника Uзад. Определить: ток в цепи и напряжения на элементах.
Рис.16.11

Решение.

1. Строим ВАХ U₁(I) иU₂(I) в едином масштабе.

2. Записываем уравнение последовательной цепи на основании второго закона Кирхгофа:

U(I) =U₁(I) +U₂(I). (16.13)

и решаем его графически, задаваясь последовательно токами I₁,I₂, ...,I_kи для каждого тока суммируя ординаты ВАХ первого и второго нелинейных элементов (а₁в₁+а₁с₁=а₁d₁, ...а_кв_к+а_кd_к). В результате графического суммирования ВАХ первого и ВАХ второго элементов получаем результирующую ВАХ всей цепиU(I) (рис.16.11).

3. По построенной ВАХ U(I), задаваясь напряжением на зажимах цепиU_зад, определяем искомый ток в цепиI_иск.

4. По полученному току I_иск, входя в ВАХ нелинейных элементов, находим напряжения на элементах цепиU₁иU₂.

Возможно решение обратной задачи: по заданному току I_заднаходят напряжение на входе цепиU_иски напряжения на элементах цепиU₁иU₂.

Очевидно, что этим методом можно анализировать электрическую цепь, состоящую из любого числа последовательно соединенных нелинейных и линейных элементов.

Пример 2.

Рис.16.12	Дано: 1) схема замещения цепи (рис.16.12); 2) ВАХ элементов цепи (рис.16.13); 3) напряжение источника Uзад. Определить: токи в ветвях.
Рис.16.13

Решение.

1. Строим ВАХ U(I₁) иU(I₂) в едином масштабе.

2. Записываем уравнение параллельной цепи на основании первого закона Кирхгофа:

I(U) =I₁(U) +I₂(U) (16.14)

и решаем его графически, задаваясь последовательно напряжениями U₁,U₂...,U_ки для каждого напряжения суммируя абсциссы ВАХ первого и второго нелинейных элементов (а₁в₁+а₁с₁=а₁d₁, ...а_кв_к+ а_кс_к=а_кd_к).

В результате графического суммирования ВАХ первого и ВАХ второго элементов получаем результирующую ВАХ всей цепи U(I) (рис.16.13).

3. По построенной ВАХ U(I), задаваясь напряжением на зажимах цепиU_зад, определяем искомые токиI, I₁иI₂.

Возможно решение обратной задачи: по I_заднаходятU,I₁иI₂.

Пример 3. Смешанное соединение элементов.

Рис.16.14	Дано: 1) схема замещения цепи (рис.16.14); 2) ВАХ элементов цепи (рис.16.15); 3) напряжение источника Uзад. Определить: токи в ветвях.
Рис.16.15

Решение.

1. Строим ВАХ всех элементов в едином масштабе:

- ВАХ R₁– кривая 1

U₁₂(I₁) = F₁(I₁);

- ВАХ R₂ – кривая 2

U₁₂(I₂) = F₂(I₂);

- ВАХ R₃ – кривая 3

U₃(I) = F₃(I).

2. Записываем уравнение параллельного участка цепи 1-2 на основании первого закона Кирхгофа

I₁(U₁₂) +I₂(U₁₂) =I(U₁₂) (16.15)

и решаем его графически, задаваясь последовательно напряжениями и для каждого напряжения суммируя абсциссы ВАХ первого и второго нелинейного элементов (кривых 1 и 2) (ав+ас=аd и т.д.). В результате графического суммирования ВАХ первого и ВАХ второго элементов получаем результирующую ВАХ участка 1-2 (кривая 4 на рис.16.15).

Записываем уравнение всей цепи (последовательно включенного участка 1-2 и резистора R₃) на основании второго закона Кирхгофа

U₁₂(I) + U₃(I) = U(I) (16.16)

и решаем его графически, задаваясь последовательно токами и для каждого тока суммируя ординаты ВАХ участка 1-2 и ВАХ резистора R₃(кривой 4 и прямой 3) (а’в’+а’с’=а’d’ и т.д.). В результате этого суммирования получаем ВАХ всей цепи (кривая 5 на рис.16.15).

4. По заданному напряжению U_зади ВАХ всей цепиU(I) (кривой 5) находим искомый токI в неразветвленном участке цепи.

5. По полученному току Iв неразветвленном участке цепи и по ВАХ участка 1-2U₁₂(I) (кривой 4) находим напряжениеU₁₂ между токами 1 и 2.

6. По напряжению U₁₂и ВАХ нелинейных резисторовR₁ и R₂находим токиI₁иI₂в ветвях.

Таким образом, при графическом расчете цепи со смешанным соединением элементов вначале строят эквивалентную ВАХ для параллельного участка на основе первого закона Кирхгофа, а затем общую ВАХ для всей цепи (последовательного участка) на основе второго закона Кирхгофа.