4.2. Численные методы анализа нелинейных цепей

Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения НФУ может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения. Наиболее простой алгоритм имеют методы последовательных приближений, т.е. итерационные методы. Среди них самым быстрым по сходимости является метод Ньютона-Рафсона.

Сущность метода.

НФУ (i) = 0 в окрестностях некоторого приближенияi_kраскладывают в ряд Тейлора:

Необходимо найти такую поправку на очередном шаге расчета, чтобы

(i_k+1) 0.

Подставив i=i_k+1в ряд и ограничившись двумя его первыми членами, получим

(i_k) +’(i_k)(i_k+1 -i_k) = 0,

Откуда расчетная формула метода Ньютона-Рафсона

(16.10)

Алгоритм расчетасодержит выполнение следующих операций:

1) аппроксимация ВАХ нелинейных элементов;

2) составление системы уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа;

3) исключение из системы уравнений состояния цепи промежуточных переменных и получение нелинейного функционального уравнения

(i) = 0;

4) определение первой производной полинома НФУ ’(i);

5) определение первого приближения на основании выражения (16.10) при нулевом приближении i₀=0; если полученное первое приближение противоречит физическому смыслу, нулевое приближение определяют повторно на основании приближенного графического расчета;

6) выполнение последующих шагов итерации по формуле (16.10); проверка сходимости итерационного процесса между шагами по условию

7) окончание итерационной процедуры при i_kн i_k.

Иллюстрация метода

Пример 3. Решить НФУ примера 1.

Имеем (i) = 6,7i³ – 30i² + 3,3i + 40 = 0.

Находим ’(i) = 20,1i² – 60i + 3,3.

Считая нулевым приближением i₀= 0, получим на основании (16.10) первое приближение

Поскольку в рассматриваемой цепи (рис.16.1) ток i > 0, прекращаем итерацию и выбираем новое значениеi₀= 1.

Тогда на первом шаге расчета

Следующий шаг итерационного расчета дает значение

i₂= 1,55 – (6,71,55³- 301,55²+ 3,31,55 + 40) :

: (20,11,55²- 601,55 + 3,3) = 1,502,

что практически соответствует данным аналитического расчета в примере 1.

Как видим, при численном расчете большое значение имеет удачный выбор исходного приближения. В относительно простых задачах нулевое приближение часто определяют в результате приближенного графического расчета.

Алгоритм расчета методом Ньютона-Рафсона имеется в математическом обеспечении ЭВМ.

5. Метод линеаризации цепи

Метод используется, если в заданном (рабочем) диапазоне изменений напряжений (токов) ВАХ элементов цепи можно заменить эквивалентными прямыми линиями, т.е. ВАХ могут быть аппроксимированы прямыми. При этом нелинейный элемент может быть представлен эквивалентным линейным участком, а вся нелинейная электрическая цепь – эквивалентной линейной схемой замещения.

Алгоритм расчета.Метод приведения нелинейной электрической цепи к эквивалентной линейной предполагает выполнение следующих операций:

1) составление исходной схемы замещения цепи;

2) линеаризация вольтамперных элементов на избранных участках и аналитическую запись уравнений линеаризированных кривых;

3) составление схемы замещения эквивалентной линейной электрической цепи;

4) аналитический расчет токораспределения в линейной эквивалентной цепи обычными методами.

Иллюстрация метода.

Идею, суть, алгоритм расчета рассмотрим на примере конкретной нелинейной цепи (рис.16.3), которая содержит вилитовый разрядник FVи лампу накаливанияHL. Необходимо рассчитать токораспределение в заданной нелинейной цепи.

Рисунок 16.3 – Принципиальная Рисунок 16.4 – Схема замещения

электрическая цепи

схема цепи

Решение.

1. Составляем расчетную схему замещения цепи (рис.16.4).

2. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов (рис.16.5, 16.6) имеют участки, близкие к прямым линиям, что позволяет аппроксимировать их прямыми в диапазоне токов _I₁и_I₂. Вычерчиваем заданные вольтамперные характеристики элементов цепи (рис.16.5, 16.6), производим линеаризацию рабочих участков (участки А-В).

Рисунок 16.5 – ВАХ лампы Рисунок 16.6 – ВАХ разрядника

3. Производим аналитическую запись линеаризированных участков ВАХ (уравнения пунктирных прямых).

Из рисунка 16.5 U₁+U₀₁=I₁tg₁=I₁R_диф1 (16.11)

Из рисунка 16.6 U₂+U₀₂=I₂tg₂=I₂R_диф2 (16.12)

В соответствии с соотношением (16.3) определяем дифференциальные сопротивления элементов R_д1иR_д2по вольтамперным характеристикам (рис.16.5, 16.6):

R_д1= кtg₁;R_д2= кtg₂.

Уравнениям (16.11) и (16.12) соответствуют эквивалентные схемы замещения (рисунки 9 и 10)

Рисунок 16.7 – Эквивалентная схема Рисунок 16.8 – Эквивалентная схема

замещения лампы замещения разряд-

накаливания ника

4. Вычерчиваем схему замещения эквивалентной линейной цепи (рис.16.9)

Рисунок 16.9 – Эквивалентная схема замещения цепи

5. Токораспределение в полученной схеме рассчитывается обычными методами.

Выбираем метод законов Кирхгофа