1.4.1. Похибка суми й різниці.

Нехай

. (15)

Оскільки згідно з (13) , то, враховуючи (12), отримаємо

. (16)

Тут ми врахували вимогу, що треба обчислювати граничну (максимальну за абсолютним значенням) похибку, тобто брати до уваги найнесприятливіше накладання похибок. У випадку алгебраїчної суми (15) це буде тоді,коли похибки ідля членів одного й того ж знака будуть мати однаковий знак,а похибка для доданка зі знаком „мінус”‑ протилежний знак.

Таким чином, середня абсолютна похибка суми або різниці дорівнює сумі абсолютних похибок окремих членів. Це правило стосується, очевидно, довільної кількості доданків.

Для відносної похибки суми або різниці знаходимо:

. (17)

1.4.2. Похибка добутку.

Нехай:

. (18)

Оскільки абсолютні похибки є малі порівняно з модулями відповідних величин (,), то добуткому(18) можна знехтувати,як малою величиною другого порядку порівняно з . Таким чином,рівність (18) набуває вигляду (12), де

. (19)

Узагальнимо цю формулу на більше число множників. У випадку добутку трьох множників два з них об’єднаємо,двічі використаємо (19)і знехтуємо малими членами другого порядку:

(20)

Для відносної похибки одержимо:

(21)

Аналогічні вирази можна записати для довільної кількості множників.Таким чином,відносна похибка добутку дорівнює сумі відносних похибок множників:

. (22)

1.4.3. Похибка степеня.

Нехай , де‑ показник степеня. Запишемо степінь якдобуток однакових множників і знайдемо відносну похибку за формулою (22),в якій буде однакових доданків. Отже,

. (23)

Абсолютну похибку степеня виразимо через відносну на основі (14) і (23):

,

тобто

. (24)

1.4.4. Похибка кореня.

Нехай . Використовуючи формули (23) і (24), отримуємо

. (25)

. (26)

1.4.5. Похибка дробу.

Нехай . Знайдемо відносну похибку,використовуючи формули (22)і (23):

. (27)

Тут знак „” у другому члені враховує те, що нас завжди цікавить максимальна за абсолютним значенням похибка. Абсолютну похибку дробу визначимо через відносну:

. (28)

З (28) видно, що відносна похибка дробу дорівнює сумі відносних похибок чисельника й знаменника.

Зауважимо, що для суми й різниці дуже простими є правила знаходження абсолютних похибок, а для добутку, дробу, степеня і кореня правила для відносних похибок. При розрахунках доцільно спочатку обчислювати ту похибку, яка визначається простішою формулою.

1.4.6. Похибки тригонометричних функцій.

Нехай , де . Тоді

.

Але - мала величина, тому можна вважати, що,.Тоді:

.

Згідно з умовою ,тому

. (29)

Відносна похибка:

.

Тобто:

. (30)

Нехай , де . Тоді:

.

Оскільки , а. Отже,абсолютна похибка косинуса:

, (31)

а відносна похибка:

. (32)

Формули для обчислення похибок подано в табл. 1.

Формули для похибок функцій ілегко вивести за допомогоюрівностей (27) і (28), враховуючи,що і.

Приклад 1. Знайти абсолютну похибку , якщо.Згідно з формулою (27):

.

Користуючись формулами (15, 19),можна записати:

.

Остаточно отримаємо:

.

Приклад 2. Знайти абсолютну похибку ,якщо , де,,,,‑результати вимірювань. Оскільки обчислення абсолютної похибки цього виразу,очевидно, буде громіздким,то простіше спочатку обчислити відносну похибку,а потім із виразузнайти абсолютну похибку.

.

.

На закінчення, наводимо таблицю формул для обчислення похибок (див. табл. 1).

Таблиця 1

Формули для обчислення похибок

Математична операція	Похибка
	середня абсолютна	відносна