Завдання для самостійної роботи
Розв’язати СЛАР методом Ґаусса:
Знайти наближене розв’язання системи
методом
простої ітерації з точністю
Розв’язати СЛАР, використовуючи розглянуті прямі та ітераційні методи:
Коефіцієнти і вільні члени СЛАР заданої системи рівнянь наведено у табл. Б.5 додатка Б.
Порядок виконання самостійної роботи
Розв’язання СЛАР матричним методом і за допомогою функції lsolve.
Для виконання завдання необхідно:
Задати матрицю коефіцієнтів системи, матрицю-стовпець вільних членів.
Упевнитися, що СЛАР має розв’язання, для чого необхідно обчислити детермінант або ранґ матриці (як зроблено в прикладах).
Розв’язати СЛАР за формулою (2.3).
Перевірити правильність розв’язання множенням матриці коефіцієнтів на матрицю-стовпець розв’язання, зробити висновки.
Знайти розв’язання системи за допомогою функції lsolve.
Розв’язання СЛАР методом Ґаусса
Задати матрицю коефіцієнтів системи, матрицю-стовпець вільних членів.
Отримати розширену матрицю системи, наприклад, за допомогою функції augment.
Привести розширену матрицю системи до матриці, що має вигляд сходинки (функція rref).
Отримати матрицю-стовпець розв’язання системи.
Перевірити правильність розв’язання множенням матриці коефіцієнтів на матрицю-стовпець розв’язання, зробити висновки.
Розв’язання СЛАР ітераційним методом та за допомогою обчислювального блока
Задати матрицю коефіцієнтів системи, матрицю-стовпець вільних членів і точність обчислень (можна скористатись вбудованою змінною пакета TOL, наприклад
;
значення за замовчуванням
).Перетворити початкову систему до вигляду (2.9).
Перевірити збіжність ітераційного процесу (обчислити будь-яку норму матриці: функції norm1(A), norm2(A), norme(A)).
Задати кількість ітерацій (можна скористатися формулою (2.13)).
Задати у вигляді матриці-стовпця початкове (нульове) наближення до шуканого розв’язання.
Увести формулу ітераційного процесу, за якою й розв’язати СЛАР.
Обчислити похибку отриманого наближення, зробити висновки.
Задати початкові наближення (можна окремими змінними, як це зроблено в прикладі 5; можна матрицею-стовпцем; можна індексованими змінними через клавішу "[").
Записати обчислювальний блок, використовуючи функції Find або Minerr (під час запису рівнянь системи необхідно використовувати символьне дорівнює “Ctrl – ‘‘=”).
Примітка. Для виконання завдання необхідно мати уявлення про процедуру розв’язання матричних рівнянь з використанням формул Крамера, оберненої матриці, метода Ґаусса, ітераційних методів і застосування засобів пакета MathCAD.
Контрольні запитання
Наведіть загальний вигляд СЛАР.
Запишіть СЛАР у матричному вигляді й наведіть її розв’язання, використовуючи формули Крамера.
Назвіть основні типи й властивості матриці.
Як обчислюють визначник матриці?
Які дії виконують над матрицями?
Які матриці називають однорідними, визначеними?
Як здійснюють обернення й транспонування матриць?
На які групи поділяють на практиці методи, що використовують для розв’язання СЛАР? Дайте порівняльну оцінку методам розв’язання СЛАР.
У чому полягає суть методу Ґаусса з вибором головного елемента? Поясніть поняття “прямий” та “зворотний” хід методу Ґаусса. Навіщо у методі Ґаусса потрібний етап “вибір головного елемента”?
Як перевірити збіжність методу?
У чому полягає метод простих ітерацій?
Що є умовою закінчення ітераційного процесу?
Як засобами пакета MathCAD розв’язують СЛАР?
Література: [1, C. 24-59; 7, C. 65-118; 11, C. 55-63].