Розв’язання систем нелінійних рівнянь

Систему n нелінійних (алґебраїчних чи трансцендентних) рівнянь з n невідомими в загальному випадку може бути записано так:

.

Такі системи розв’язують практично тільки ітераційними методами, найбільше поширення серед яких отримали методи Ньютона і Зейделя.

Метод Ньютона ґрунтується на введенні матриці Якобі - матриця перших частинних похідних функцій за зміннимипричому функціїє неперервно диференційованими. Якщо матрицяне є виродженою, то система має єдине розв’язання. Вибирають вектор початкових наближеньі розв’язують лінійну систему:, де– вектор, що є розв’язанням системи. Наступне наближення обчислюють за формулою:. Ітераційний процес припиняється, якщо виконується умовадля кожного.

За початкове наближення може бути взято будь-яке значення шуканого кореня. Однак метод Ньютона ефективний у достатньо малому окілу кореня.

У методі Зейделя початкову систему нелінійних рівнянь замінюють еквівалентною . Задають початкові наближення і здійснюють ітераційний процес Зейделя, аналогічний однойменному процесу розв’язання СЛАР:

,

тобто вже обчислені наближення невідомих використовують під час обчислення. Як критерій припинення ітераційного процесу може бути використано умову:,

де  – задана точність обчислень. Обчислення за методом Зейделя достатньо прості. Однак отримання системи , еквівалентній початковійз одночасним забезпеченням збіжності, є складною задачею. Ітераційний процес збігається за умови:

.

Рекомендації щодо оброблення результатів в пакеті MathCad

Етапи відділення та уточнення коренів нелінійного рівняння достатньо легко реалізувати як засобами пакета MathCAD, так і методами, що описано вище.

Для чисельного обчислення коренів рівнянь з однією змінною в пакеті призначені функції polyroots і root. Перша функція має наступний формат polyroots (“Вектор”), і дозволяє обчислити корені (як дійсні, так і комплексні) звичайного полінома ступеня n. Аргумент “Вектор” – матриця-стовбець розмиру , елементами якого є коефіцієнти полінома. Функція повертає розв’язання у вигляді матриці-стовпця.

Функція root обчислює один корінь (дійсний або комплексний) і має наступний формат

root (“Вираз”, “Змінна”).

Арґумент “Вираз” визначає ліву частину рівняння (3.1), арґумент “Змінна” вказує ім’я ведучої змінної (початкове наближення), відносно якої розв’язують рівняння. Перед використанням функції root значення ведучої змінної повинно бути визначено (наприклад, з графіка функції). Пакет використовує це значення () як початкову точку для організації послідовних наближень до шуканого кореня, припиняючи обчислення під час виконання вимоги, тобто наближене обчислення кореня проводять з точністю, що визначається значенням зумовленої змінної пакета TOL (за замовчанням TOL = 0.001). Під час обчислення дійсного кореня зміннійнадається дійсне значення, а під час обчислення комплексного – комплексне. При перевищенні наперед заданої кількості ітерацій без виконання даної вимоги пакет припиняє обчислення та ідентифікує функціюroot діагностичним повідомленням “Not converning” – немає збіжності. Основними причинами появлення даного повідомлення є:

• відсутність у функції f(x) кореня даного типу;

• некоректне визначення першого наближення ;

Розв’язок систем нелінійних рівнянь здійснюють за допомогою обчислювального блока (Given, Find та Minerr), застосування якого описано у практичній роботі 2.