- •Методичні вказівки
- •Практичне заняття № 1
- •Рекомендації щодо оброблення результатів
- •Приклади виконання самостійної роботи
- •Порядок виконання і завдання для самостійної роботи
- •Контрольні запитання
- •Практичне заняття № 2
- •Рекомендації щодо оброблення результатів
- •Рекомендації щодо оброблення результатів у пакеті MathCad
- •Приклади виконання самостійної роботи
- •Завдання для самостійної роботи
- •Порядок виконання самостійної роботи
- •Контрольні запитання
- •Практичне заняття № 3
- •Рекомендації щодо оброблення результатів
- •Розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною
- •Розв’язання систем нелінійних рівнянь
- •Рекомендації щодо оброблення результатів в пакеті MathCad
- •Приклад виконання самостійної роботи
- •Завдання для самостійної роботи
- •Порядок виконання самостійної роботи
- •Контрольні запитання
- •Підготовка до модульного контролю Перелік питань до модуля 1
- •Список літератури
- •Додаток б
- •3 9614, М. Кременчук, вул. Першотравнева, 20
Приклад виконання самостійної роботи
Приклад 1. Методом простої ітерації знайти наближене значення кореня рівняння з точністю 0,001.
Розв’язок
Знайдемо інтервал ізоляції дійсного кореня рівняння. Подамо дане рівняння у вигляді і побудуємо графік функціїі. Абсциса точки М перетину цих графіків знаходиться на проміжку [1, 2], тому за початкове значенняможна взяти(рис. 3.4).
Рисунок 3.4 – До прикладу 1
Запишемо вхідне рівняння у вигляді . Тут,, тобтона проміжку [1, 2] і тому метод ітерацій можна застосовувати. Знайдемо перше наближене значення:
.
Знайдемо друге і наступні наближення:
;
;
;
Таким чином, шуканий корінь .
Приклад 2. Методом хорд знайти позитивний корінь рівняння з точністю до 0,01.
Розв’язок
Позитивний корінь поміщений у проміжку (1; 1,7), оскільки , а.
Знайдемо перше наближене значення кореня за формулою:
.
Так як , то знову застосуємо метод хорд до проміжку (1,588; 1,7):
; .
Знайдемо третє наближене значення:
; .
Знайдемо четверте наближене значення:
; .
Отже, з точністю до 0,01 шуканий корінь дорівнює 1,64.
Приклад 3. Розв’язати приклад 2 методом Ньютона (дотичних).
Розв’язок
Тут ,,. Так якіпримають один і той же самий знак, а самеі, то скористуємося формулою, де. Тоді
.
Застосуємо знову метод дотичних. Маємо де,; значить
.
Аналогічним чином знаходимо ;, тобто
.
Отже, шуканий корінь з точністю до 0,01 дорівнює 0,64.
Приклад 4. Обчислити корені рівняння засобами пакету MathCAD з точністю.
Розв’язок
Зауваження. Операція – називається векторизацією – поелементна робота зі значеннями матриці.
Приклад 5. Обчислити корені рівняння засобами пакета MathCAD.
Розв’язок
Для графічного відділення коренів рівняння зручно окремо побудувати графіки функцій та. З графіка видно, що рівняння має один корінь, який належить відрізку [1; 1.5].
Приклад 6. Обчислити корені рівняння на інтервалізасобами пакета MathCAD.
Розв’язок
Під час розв’язання цієї задачі можливі два підходи: а) послідовне визначення (із графіка) початкового наближеного значення кореня й уточнення його функцією root; б) автоматизоване обчислювання значень коренів із допомогою введеної функції користувача.
Приклад 7. Обчислити корінь рівняння на інтервалі[0, 3] з точністю методом поділу навпіл та Ньютона засобами пакетаMathCAD.
Розв’язок
Приклад 8. Обчислити корінь рівнянняна інтервалі [0,1; 2] методом хорд засобами пакета MathCAD.
Розв’язок
Приклад 9. Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь з використанням обчислювального блока пакета MathCAD.
Розв’язок
а) за допомогою обчислювального блока Given-Find:
б) за допомогою оптимізаційного блока Given-Minerr:
Не завжди можна отримати розв’язання системи нелінійних рівнянь за допомогою обчислювального блока Given-Find. У цьому випадку застосовують оптимізаційний блок Given-Minerr, який дозволяє здійснити вибір методу пошуку розв’язання системи нелінійних рівнянь з таких як: Квазі-Ньютона, Левенберга-Маркварда, З’єднаного ґрадієнта. Вибір методу здійснюють натисканням правою клавішею миші на команді „Minerr”. На рисунку продемонстровано вибір методу Левенберга-Маркварда. За замовчуванням оптимізаційний блок розв’язує запропоновану систему нелінійних рівнянь методом З’єднаного ґрадієнта.
Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь за допомогою оптимізаційного блока Given-Minerr різними методами:
Квазі-Ньютона
З’єднаного градієнта
Левенберга-Маркварда
Зважаючи на отримані результати, необхідно проводити розрахунок різними методами розв’язання систем нелінійних рівнянь і проводити перевірку отриманих коренів. У результаті вибирати той метод, який дає найменшу похибку обчислення.
Приклад 10. Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь
методом Ньютона з точністю засобами пакета MathCAD.
Розв’язок
Видно, що є розв’язком системи, що розв’язують.
Матриця Якобі задається функцією користувача, кожний елемент якої обчислюють так: з транспонованого (позначка "Т") векторавиділяється (позначка "<n>") стовбець з номером n залежно від номера стовпця матриці Якобі. За допомогою функціїtr вибирають перший елемент n-го стовпця транспонованого вектора , для якого й обчислюють частинну похідну за вказаною змінною.