- •Глава III. Элементы геометрии Лобачевского
- •§1. Параллельные прямые
- •§2. Угол параллельности
- •§3. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского
- •§4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского
- •§5. Окружность, эквидистанта и орицикл
- •§6. Модель Клейна геометрии Лобачевского (доказательство непротиворечивости л)
- •§7. Параллельность и перпендикулярность в модели Клейна
- •§8 Расстояние на плоскости Лобачевского
- •§9 Интерпретация Пуанкаре
§6. Модель Клейна геометрии Лобачевского (доказательство непротиворечивости л)
Рассмотрим на евклидовой плоскости некоторую окружность с центромOи радиусомr=1. Назовем ееабсолютом.- круг с границей, а-множество внутренних точек этого круга. Вот на этом объекте и будет построена модель.
- точкой назовем любую евклидову точку М.
- прямой – любую хорду без концов окружности . Отношения инцидентности и лежать между в обычном смысле.
Ясно, что аксиомы игрупп Гильберта (для плоскости) имеют место. А значит, имеют место и следствия из них и можно ввести соответствующие понятия: луча (полухорды), полуплоскость (открытый сегмент), флаг, угол и т.д.
А вот с группой несколько сложнее. Для этого необходимо, ввести понятие конгруэнтности (равенства). Введем преобразования, которые круг отображают на себя. На самом деле это будут преобразования стационарной подгруппы круга группы проективных преобразований плоскости. Т.е. модель, которую мы строим, вообще говоря, является проективной моделью, если окружность рассматривать как овальную линию на проективной плоскости (на расширений евклидовой плоскости).
Напомнимсложным отношением четырех точек прямой А, В, С иDназывается число (АВ, СD)=
Свойства: 10. Если (АВ, СD)=(АВ, СD/), тоD=D/
20. (АВ, СD)=(СD, АВ)=(ВА,DС)=(DС, ВА)
30. Если четыре точки прямой заданы своими координатами М1(х1,у1), М2(х2,у2), М3(х3,у3), М4(х4,у4), то (М1М2,М3М4)=
Опр. 1Биективное отображением f: назовем - преобразованием, если
а) внутренние точки круга переходят во внутренние точки того же круга, а граничные – в граничные
б) Любая хорда окружности переходит в некоторую хорду этой же окружности и при этом сохраняется сложное отношение соответственных точек.
Корректность.Множество таких преобразований не пусто, т.к. евклидовы повороты вокруг т. О и евклидовы симметрии относительно диаметров, удовлетворяют всем требованиям, поскольку сохраняется простое отношение трех, а значит и сложное отношение четырех точек прямой.
Но ими множество -преобразований не исчерпывается, если бы исчерп., то о Лобачевском и речи бы не было. Рассмотрим следующие отображенияf:в системе координатOху :
(1)
(2)
Каждая точка множества имеет образ, т.к. 1-ах0 и т.к. -1х1 проверим а)1-х/2-у/2=, ясно, если правая часть0, то и левая0, если правая часть =0, то и лева часть=0.
Далее из вида формул (2) заключаем, что то же самое имеет место и для прообразов f:биективно и удовлетворяют условие а).
Отображение f - инволютивно, т.к. М/=f(M),f(M/)=Mf-1=f. Непосредственной подстановкой формул (2) в уравнение прямой Ах+Ву+С=0 убеждаемся в выполнении первой части свойства б). Чтобы убедится в том, что сохраняется сложное отношение четырех точек достаточно подставить формулу (2) в свойство 30сложного отношения (). Возможно, есть и другие- преобразования (не все они инволютивны). Для доказательства аксиомIIIгруппы нам понадобятся свойства этих- преобразований.
1. Еслиfиg- преобразования, тоfgиf-1являются- преобразованиями.
2. Любое- преобразование сохраняет отношение «лежать между» точек круга.
Доказательство.Пусть А, В, Си А-В-С. А/, В/, С/- образы. А,В,Сuv, А/,В/,С/u/v/: если А и С концы хорды, то утверждение очевидно. Пусть точкаuне совпадает ни с А, ни с С. Тогда (АС,ВU)=(А/С/,В/U/), т. е.(АС,U)<0, и т.к. границав границу, то (А/С/,U/)<0, но (AC,B)>0(А/С/, В/)>0B/лежит между А/и С/. ч.т.д.
3.При- преобразовании отрезок, принадлежащий кругу, переходит в отрезок, полухорда в полухорду, сегмент в сегмент, а если ввести понятие-флага, то-флаг-флаг. ( т.к. полупл.в полупл.)
4.Какова бы ни была точка А круга, существует инволютивное-преобразование, которое переводит точку А в центр О круга, а точку О в точку А.
Доказательство: Пусть ОА=а(<1) систему координат Оху выберем так, чтобы А имела координаты (а, 0) тогда- преобразование, заданное формулами (1)-искомое. Ч.т.д.
5.Каковы бы ни были флагии- преобразование, котороеI1переводит вI2.
Доказательство:f1(A1) = О, f2(A2) = О,f0- вращение с отражениями:f1(I1)=I1/, f2(I2)=I2/f2 f0 f1- искомое.
6. Каковы бы ни были полухорды А1U1и А2U2, существует- преобразование, которое полухорду А1U1переводит в полухорду А2U2.
7. Если-преобразование какой-нибудь- флаг переводит в себя, то оно является тождественным преобразованием.
Теперь введем отношение конгруэнтности (равенства).
Отрезок АВ называется конгруэнтным (равным) отрезку А/В/, если такое - преобразование, которое отрезок АВ переводит в отрезок А/В/.Угол hk считается равным h/k/ , если - преобразование f, которое угол hk переводит в h/k/ (т.е. h/=f(h) и k/=f(k) или k/=f(h) и h/=f(k)).
Замечание.Всегда можно считать, чтоh/=f(h) иk/=f(k), т.к. иначе по свойству4 переведем его в угол с вершиной О и добавим симметрию с осью, совпадающей с биссектрисой.
Теперь мы готовы к доказательству HIII. Докажем выполнениеIII1, III2,III3.
III1. Пусть АВ данный отрезок на лучеh, аh/- луч, исходящий из т.А/. Докажем, чтоВ/h/,такая что А/В/=АВ. По6, существует- преобразованиеf: АUА/U/. Тогдаh/=f(h) и В/=f(В)h/ - искомая точка и поdfА/В/=АВ.
Замечание:В/- единственна, самостоятельно.
III2Если АВ=А/В/и АВ= А//В//, то А/В/= А//В//. Очевидно из1.
III3А-В-С, А/-В/-С/, если АВ=А/В/и ВС=В/С/, то АС=А/С/. По6- преобразованиеf: ВVB/V/, и т.к. хордахорду, то ВUB/V/ . Пусть А1=f(А), С1=f(С) т.к. ВА=B/A/ и ВА=B/А1А1=А/, аналогично С1=С/f: АСА/С/, т.е. АС= А/С/.
III4. Пусть дан уголhkи флаг (А/,h/,/). Докажем, что существует единственный лучk//, так чтоhk=h/k/. Рассмотрим- флагиI=(АU,) иI/=(А/U/,/) по свойству 5- преобразованиеf:I/=f(I). Лучk/=f(k)-искомыйhk=h/k/.
Единственность.Пустьk//– луч, т. чтоhk=h/k//иk// I/, тогдаh/k/=h/k//-преобразованиеg:h/=g(k/),k//=g(k/)- преобразованиеg-флагI/переводит в себя, значит оно тождественноеk/иk//-совпадают.
III5. Пусть вАВС и А/В/С/АВ=А/В/, АС=А/C/иВАС=В/А/С/. Докажем, чтоАВС=А/В/С/.
HIVимеет место, т.к. она эквивалентнаThДедекинда.
V*тоже (см. картинку).
Значит, мы построили модель геометрии Лобачевского. Тем самым, доказав, что лнепротиворечива, если непротиворечиваН, ноНнепротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.
Теорема 1.Л непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.
Теорема 2.V постулат не зависит от остальных четырех групп аксиом Гильберта евклидовой планиметрии.