§9 Интерпретация Пуанкаре

Рассмотрим открытую полуплоскость. Точками будем называть общие евклидовые точки. Lпрямыми полуокружности с центрами на границе и открытые лучи^границе.

А в качестве движений можно рассмотреть композиции инверсий относительно этих окружностей и отражения от лучей.

Тогда все аксиомы будут выполняться. Эту модель называют конформноймоделью Пуанкаре.

Спроектируем круг Клейма х²+ у²< 1 на полусферу х²+ у²+z²= 1,z> 0.

Из т. л. о. о. на плоскость Oyz(получим модель Пуанкаре).

При первом проектировании точка (х, у)®(х, у,) проектирующая прямая проходит через две точки (1, 0, 0) и

==Çх = 0

в точках = 0,=,=

+Þ1Þ(1)

Пусть хорда в плере Клейна задается уравнением ах+ву+с=0, подставляем сюда (1), получаем:z^/>0

При с+а0 это полуплоскость с центром на оси у при с+а=0 это лучоси оу (подставим (1) в формулу линейного элемента т.к. это является мерина §8). Вид линейного элемента- это отображение является конформным (сохранение углы)

А значит, модели изоморфны. Имеет место важная теорема:

ThВсе модели геометрий Лобачевского одной размерности- изоморфны.

Поговорить о вязкости разных интерпретаций

15