- •Глава III. Элементы геометрии Лобачевского
- •§1. Параллельные прямые
- •§2. Угол параллельности
- •§3. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского
- •§4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского
- •§5. Окружность, эквидистанта и орицикл
- •§6. Модель Клейна геометрии Лобачевского (доказательство непротиворечивости л)
- •§7. Параллельность и перпендикулярность в модели Клейна
- •§8 Расстояние на плоскости Лобачевского
- •§9 Интерпретация Пуанкаре
§7. Параллельность и перпендикулярность в модели Клейна
С параллельностью ясно, а вот с сложнее. Пусть АВСD, т.е.АОD=АОС=СОВ=ВОD. Рассмотрим этот круг на расширенной евклидовой плоскости (т.е. в проективной модели).
Теорема 1. АВОD когда они изображаться хордами абсолюта, лежащими на проективных прямых, каждая из которых проходит через полюс другой.
Доказательство: Пусть СDАВ. АОС=АОD - преобразование (проективное!), которое АОСАОD O = f(O), A = f(A) B=f(B), D=f(C)- три точки прямой неподвижныэто гомологияу нее есть центр Е касательнаяв касательнуюв неподвижной поляритете совпадает с этим- преобразованием, через который проходит прямая ДС. Учитывая в поляритетеч.т.д.
Пусть СД проходит через Е. Рассмотрим гомологию с центром в точке Е и осью АВ. Репер АСВОпроективный репер АДВОЭта гомология на круге есть- преобразование, т.е. перепереводит в себяАОСАОД.Т.е. Е-помос и значит все прямые делятся в том же отношений.
Теперь легко доказать теорему 2.
Th2 Две расходящие прямые имеют единственный общий.
Ясно, т.к. для каждой хорды единственный помос, а через две точки единственная прямая проходит- нет общего перпендикуляра.тоже нет.
§8 Расстояние на плоскости Лобачевского
Мы с вами уже говорили, что две фигуры равны, если $L- преобразования которые одну фигуру переводят в другую, т.е.L- преобразования – есть движения плоскости Лобачевского. Но мы знаем, что движения должны сохранять какие-то расстояния. Что же понимать под расстоянием здесь? Эти самыеL- преобразования сохраняют следующие отношения четырех точек прямой. Наверное, оно должно участвовать в формуле расстояний.Пусть А (х1, у1) и В (х2, у2). Прямая АВ пересекает окружностьwв точках С (х3, у3) иD(х4, у4). Ясно, что (АВ, СD)=>0
df1под расстоянием на плоскости Лобачевского назовем числоd=(сказать об аксиомах расстояния) или в координатахd=
Теперь мы можем найти расстояние между бесконечно близкими точками, т.е. линейный элемент: ds2.
(х, у) (x+dx,y+dy).
ds2=c, c>0.
Рассматривая линейный элемент ds2как линейный элемент поверхности в
Евклидовом пространстве, выясним, что это за поверхность.
Можно воспользоваться формулой Гаусса, дающей выражения полной кривизны через коэффициенты Iквадратичной формы и их производные, получаемk= -c.
Th Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость) локально изометричные поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Не удивительно, ведь мы же знаем, что и там сумма углов геодезического треугольника < p. (a+b+g)-p=ks.
Наиболее известна – псевдосфера.
Т.к. отображение плоскости Лобачевского на поверхность отрицательной кривизны есть локальная изометрия, то прямые перейдут в геодезические, и значит геометрия прямых на поверхности отрицательной кривизны (т.е. в модели Бельтракт) есть геометрия геодезическая.
ЗамечаниеДоказано: что в трехмерном евклидовом пространстве не существует ни какой поверхности, которая своей внутренней геометрией представляла бы всю плоскость Лобачевского.
Книга: Мищенко, Фоменко (издание дифференциальной геометрии и топологии. Издательство МГУ,1960г.)