Казахстанско-британский технический университет

Базовый факультет

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

О П О Р Н Ы Й К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й

По дисциплине Математические методы в нефтегазовой индустрии

.

(Для студентов ФЭиНГИ )

Сакабеков А.С., Рысбайулы Б., Кенжебаев Т.С.

АЛМАТЫ 2010

Лекция 1.

План лекции:

Задача интерполяции функции, заданной в нескольких точках.

Методы интерполяции.

Кусочно-линейная интерполяция. Сплайн первого порядка.

Погрешность. Блок-схема.

§1. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.

Интерполяция

Приближение функции, известной на конечном множестве точек М, некоторой функцией (сплайном, многочленом Лагранжа и т.п.), значения которой совпадают со значениями данной функции на М.

Постановка задачи. Функция у = f(x) задана в табличном виде

X	x0	x1	x2	x3	…	xn
f(x)	f(x0)	f(x1)	f(x2)	f(x3)	…	f(xn)

в точках ,

Найти приближенное значение функции у = f(x) в промежуточных точках

Решение. Если аналитический вид функции у = f(x) неизвестен, то значения функции вычисляются приближенно. Приближенные методы вычисленияназывается интерполированием функции. Наиболее точным и простым методом интерполирования функции является интерполирование функции сплайном.

1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).

Точки исоединяются прямыми линиями, т.е. получаем ломаную линиюА0, А1, А2, …, Аn (рис.1.1).Используя уравнение прямой, проходящей через точки Аi (xi, уi), Ai+1 (xi+1 ,уi+1) получим

у А1 А3 А2 А0 Аn a=х0 х1 0 х2 х3 хn=b х Рис.1.1.

(1.1)

где y_i = f(x_i), x_i = a + ih, a = x₀. Из (1.1) получим

(1.2)

В (1.2) функция у зависит от i и х. Поэтому запишем в следующем виде

S(x)=(1.3)

Функция (1.3) называется сплайном 1-го порядка.

Лабораторная работа №1. Задать самостоятельно функцию у = f(x). Составить таблицу функции у = f(x) на отрезке [а;в] в узлах х_i =a+ih. Вычислить промежуточные точные значения .

Вычислить погрешность .

Найти среднюю арифметическую величину (мат.ожидание)

и среднеквадратическое отклонение

.

1. Переменные программирования.

Массивы.

Переменные. Введем обозначения

M а= А, sig =σ , x = x,i=i .

Константы. a, b, n, h, k

2. Программа.

Пусть

Ma : = Ø ; Sig : = Ø ;

For i : = Ø fo n-1 do

Ma : = Ma + D [i] /n ;

for i : = Ø to n-1 do

Sig : = Sig + SQR (D [i] – Ma) / (n-1) ;

Sig : = SQRT (Sig);

WRITELN (’У = ’, ’ ’, ’У1= ’,’ ’, ’S = ’, ’, ’D =’);

For i : = Øto n-1 do

WRITELN (У[i]:9:4,’ ’ , У1[i]:9:4, ’ ’ ,S[i]:9:4, ’ ’ , D[i]:9:4);

WRITELN (’ Ma ’, Ma, ’ ’, ’ Sig = ’, Sig) ;

end.

Выводы:

На лекции 1 мы:

1. познакомились с понятием интерполяции,

2. рассмотрели способ интерполяции, основанный на приближении функции при помощи кусочно-линейной функции, совпадающей с заданной функцией в узлах сетки,

3. рассмотрели программу на языке Паскаль вычисления значений приближенных значений функции в промежуточных точках.

Лекция 2.

План лекции:

Сплайн второго порядка. Погрешность. Блок-схема.

Приложения сплайнов.

Расчетные формулы для сплайна второго порядка.