3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).

Поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов.

Введем по переменной t равномерную сетку с шагом h>0, т.е. рассмотрим множество точек .

1. Метод Эйлера. Уравнение (3.1) заменяется разностным уравнением

.

Где

Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле .

Погрешность метода. , где– константа, зависящая от правой части дифференциального уравнения (3.1). В этом случае метод имеет первый порядок точности.

Выводы:

На лекции 6 мы изучили:

1. Задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методы численного решения дифференциального уравнения первого порядка.

3. Метод Эйлера и его погрешность.

Лекция 7.

План лекции:

Метод Рунге-Кутта второго порядка точности и его погрешность.

Метод Рунге-Кутта третьего порядка точности и его погрешность.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности и его погрешность.

2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.

Предположим, что приближенное значение решение исходной задачи в точкеуже известно. Для нахожденияпоступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлеравычислим промежуточное значение, а затем воспользуемся разностным уравнением, из которого явным образом найдем искомое значение.

Погрешность метода. , где– константа, зависящая от исходных данных (3.1). Этот метод имеет второй порядок точности.

3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.

Считаем, что решение задачи (3.1) – (3.2) в точке уже известно. Тогда решение задачи (3.1) – (3.2) определяется по следующей схеме:

Погрешность метода.

, где – константа, не зависящая отк.

4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

Погрешность метода.

, где – константа, зависящая от начальных данных и не зависящая отк.

Замечание: Метод Рунге-Кутта также применяется, если неизвестная функция является вектором, т.е.

, где Лекция 7.

Выводы:

На лекции 7 мы изучили:

1. Метод Рунге-Кутта второго порядка точности и его погрешность.

2. Метод Рунге-Кутта третьего порядка точности и его погрешность.

3. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности и его погрешность.

Лекция 8.

План лекции.

Конечно-разностная аппроксимация первой производной и ее погрешность.

Конечно-разностная аппроксимация второй производной и ее погрешность.

Конечно-разностная аппроксимация первой и второй производной получается из определения производной. Используя разложение функции в окрестности точки х в ряд Тэйлора с остаточным членом в форме Пеано, мы получаем правую и левую конечные разности, а также аппроксимацию второй производной.

Выводы:

На лекции 8 мы научились аппроксимировать первую и вторую производные функции.

Лекция 9.

План лекции:

Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки.

Математическая модель задачи теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки.

§ 4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки . Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача

1-го рода.

4.1. Постановка задачи.

Задача 4. Длинный трубопровод с теплопроводностью λ (ккал/м.час град.) находится в состоянии теплового равновесия, т.е. температура точек трубопровода не изменяется во времени. Потеря тепла через поверхность трубопровода в окружающую среду, температура которой θ₀ = const, пропорциональна разности температур с постоянным коэффициентом теплопередачи α (ккал/м². час град.). Считая температуру θ во всех точах поперечного сечения трубопровода постоянной, найти ее зависимость θ = θ(х) от координаты, отсчитываемой от какого-либо конца.