Случай точечного источника

Рассмотрим метод решения прямой и обратной задачи в случае точечного источника g(t)=δ(t), где δ(t) – дельта-функция Дирака.

Основное свойство дельта-функции Дирака:

- для любой бесконечно-дифференцируемой финитной функции φ(t).

В этом случае точечного источника постановка задачи следующая:

Прямая задача (1’): найти функцию по известной функции.

Обратная задача (1’), (2’): определить коэффициент по известным данным о решении прямой задачи.

Условие означает, что до момента временисреда находилась в покое.

Структура решения прямой задачи (1’)

Известно, что если g(t)=δ(t), то структура решения прямой задачи (1’)

следующая:

,

где - достаточно гладкая функция и

- тэта функция Хевисайда:

.

Тогда обратная задача (1’), (2’) сводится к следующей задаче:

Здесь .

Требуется найти функцию по известным данным.

Решение обратной задачи (1), (2) находится из соотношения .

Условия согласования: .

Связь между различными уравнениями

Рассмотрим уравнение:

.

Здесь - скорость распространения волн,- плотность среды,- давление.

Сделаем замену переменной (travel-time)

и введем новые функции

, ,.

Тогда от уравнения (i) можно перейти к следующему уравнению относительно акустической жесткости среды :

.

Если ввести новые функции

,

Тогда от уравнения (ii) можно перейти к уравнению

.

Решение прямой задачи (7)-(9)

Решаем прямую задачу (7)-(9) конечно-разностным методом.

Заменяем производные конечно-разностными аналогами:

Схему (11) упростим, сокращая и группируя подобные слагаемые:

.

Из (13) находим

.

Алгоритм решения прямой задачи:

1. Находим , при;

2. По формуле (15) определяем ;

3. Из схемы (14) находим ;

4. Из (15) находим;

5. По формуле (14) определяем ;

6. По формуле (14) определяем ;

7. Из (15) находим ;

и т.д.

Выводы:

На лекции 15 мы рассмотрели:

1. Постановку обратной задачи для уравнения акустики и колебаний струны.

2. Конечно-разностный аналог обратной задачи.

3. Дельта-функцию Дирака.

Лекция 16.

План лекции:

Метод обращения разностной схемы для обратной задачи акустики.

Алгоритм метода обращения разностной схемы.

Блок-схема, переменные, константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Метод обращения разностной схемы

Основная идея метода обращения разностной схемы – замена обратной задачи конечно-разностным аналогом и дальнейшее решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений достаточно простым способом.

Для численного решения записываем

конечно-разностную апроксимацию обратной задачи (7):

и упрощаем (8)

.

Для нахождения неизвестного коэффициента наслое полагаем в (20)и получаем уравнение для. Откуда находимиз соотношения

.

Алгоритм метода обращения разностной схемы:

1. Определяем , при;

2. Находим ;

3. Определяем u на первом вертикальном слое при ;

4. Находим ;

5. По формуле (21) определяем ;

6. По формуле (20) находим , при;

7. По формуле (21) определяем ;

8. По формуле (20) находим , при;

и т.д.

Выводы:

На лекции 16 мы рассмторели:

1. Метод обращения разностной схемы для обратной задачи акустики.

2. Алгоритм метода обращения разностной схемы.

3. Блок-схема, переменные, константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Лекция 17.

План лекции:

Методы электроразведки. Введение.

Методы постоянного и переменного поля

Вертикальное электрическое зондирование.

Четырехточечные установки