4. Постановка обратной задачи электроразведки для горизонтально-слоистой модели земли. Численное решение обратной задачи градиентным методом.

В настоящее время численные методы интерпретации электроразведочных данных с использованием компьютера повсеместно вытесняют палеточные (ручные) способы. В основе большинства автоматизированных методов интерпретации лежит та же идея подбора, которая является основой палеточного способа. При этом, компьютер не хранит в своей памяти различные кривые зондирования, т. е. не располагает альбомом палеток, как это было при ручной интерпретации, а непосредственно рассчитывает все необходимые по ходу подбора теоретические кривые по специально заложенным в компьютер программам.

Создание автоматизированных систем интерпретации электроразведочных данных связано с принципиальными трудностями. Одна из них – некорректность обратной задачи ВЭЗ, характеризующейся неустойчивостью решения относительно малых изменений исходных данных. Однако благодаря исследованиям ученых А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, В. Н. Страхова и других был разработан принципиально новый подход к решению некорректных задач. Он позволил на основе использования различной дополнительной информации получать приближенные решения, устойчивые к малым изменениям исходных данных, что открыло новые перспективы в создании автоматизированных систем интерпретации.

Обозначим через теоретическую кривую кажущегося сопротивления, отвечающуюN-слойному разрезу с толщиной и удельными электрическими сопротивлениями. Обозначим черезсоответствующую полевую кривую, которую необходимо проинтерпретировать, т. е. определить параметры разреза, над которым она получена. Пусть далееобозначает величинувj-й отсчетной точке на полевой кривой, а - соответствующее значение теоретической кривой вj-й отсчетной точке. Тогда задача подбора искомых параметров разреза может быть сведена к минимизации функции Е, равной сумме квадратов разностей и:

, (4.1)

где M – общее число отсчетных точек, вектор, составленный из параметров геоэлектрического разреза. При этом требуется, чтобы выполнялось условие .

Выводы на лекции 21 были рассмотрены;

1. Постановка обратной задачи для горизонтально-слоистой модели земли.

2. Понятие корректности задачи.

3. Регуляризация задачи по А.Н.Тихонову

Лекция 22.

План лекции:

Понятие о функционале.

Минимизация функционала.

Метод наискорейшего спуска.

Задача подбора решается на основе итерационной процедуры, состоящей в последовательной коррекции вектора параметров и образовании последовательности, , наборов этих параметров, минимизирующей Е. При этом корректировка параметров осуществляется с помощью градиентных методов, при которых теоретические кривые зондирования, полученные на каждом последующем итерационном шаге, лежат ближе (в смысле уменьшения функционала Е) к полевой кривой, чем кривые, найденные на предыдущем шаге. Итерационная процедура завершается тогда, когда функционал Е становится соизмеримым с величиной , характеризующей среднеквадратическую точность определения.

Если обратная задача решается в классе одномерных геоэлектрических моделей с небольшим числом N слоев, причем каждый из слоев предполагается достаточно «толстым» настолько, чтобы избежать действия принципа эквивалентности, ее решение в соответствии с теорией регуляризации Тихонова получается устойчивым. Иными словами, минимизация функционала невязки в классе моделей с небольшим числом достаточно толстых слоев – это простейшая форма регуляризации.

Рассмотрим градиентный метод для решения обратной задачи в случае горизонтально-слоистой среды. Основная идея метода – изменить значения параметров разреза в направлении, противоположном градиенту функционала невязки Е, т. е. частным производным Е по параметрам :

(4.2),

где - изменение параметра,параметр, зависящий от конкретной реализации метода. После внесения корректив в параметры надо вычислить новые значения функционала Е и его частных производных и повторить процедуру. Итерационный процесс корректировки параметров продолжается до тех пор, пока Е не достигнет заданного уровня точности .

В применении градиентного метода к интерпретации результатов зондирования существуют следующие аспекты, допускающие различные модификации:

1. определение функционала невязки (критерия погрешности);

2. определение параметров;

3. определение параметра в уравнении (4.2);

4. использование имеющейся геологической информации.

Например, в методе наискорейшего спуска параметр выбирается из условия :

(4.3)

Однако точное определение величины из (4.3) затруднительно. Поэтому на практике ограничиваются нахождением величины, приближенно удовлетворяющим условиям (4.3). Следует заметить, что антиградиент

указывает направление быстрейшего спуска лишь в достаточно малой окрестности точки . Это означает, что в следующей точкенаправление антиградиента может сильно отличатся от направления. Поэтому, слишком точное определение величиныиз (4.3) не всегда целесообразно.

Выводы:

На лекции 22 мы изучили:

1. Понятие о функционале.

2. Минимизацию функционала.

3. Метод наискорейшего спуска.

Лекция 23.

План лекции:

Решение обратной задачи электроразведки градиентным методом.

Функционал невязки.

Для разработки прикладной программы на языке Турбо-Паскаль 7.0 и решения обратной задачи, будем использовать следующую версию градиентного метода. Функционал невязки вычисляется как среднее квадратов относительных разностей между дискретными значениями кажущегося сопротивления, полученными по полевым данным и для теоретической модели. Таким образом

(4.4)

(4.5)

В качестве градиента невязки Е берется вектор с компонентами .

Выводы:

На лекции 23 мы рассмотрели:

1. Решение обратной задачи электроразведки градиентным методом.

2. Функционал невязки

Лекция 24.

План лекции:

Алгоритм и блок-схема решения обратной задачи электроразведки градиентным методом.

Переменные и константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Частные производные функционала Е находятся путем дифференцирования кажущихся сопротивлений по параметрам модели. Для этого надо дифференцировать трансформанту сопротивления по параметрам модели. Из рекуррентных соотношений Пекериса

(4.6)

видно, что параметры ине влияют на, еслиi>k. Если же i=k, то имеем

(4.7)

(4.8)

Если i<k, то и влияют на только через . Следовательно, для этих значенийi имеем

(4.9)

Первые множители в правой части (4.9) могут быть получены путем дифференцирования уравнения (4.6)

(4.10)

Теперь частные производные кажущихся сопротивлений могут быть получены из частных производных трансформант сопротивления с помощью линейных фильтров Гоша, которые используются для преобразования трансформанты сопротивления в кажущееся сопротивление. В программе это делается с помощью укороченного фильтра, содержащего четыре наибольших коэффициента фильтра Гоша.

(4.11)

Длина шага определяется следующим образом:

1. в начале итерационной процедуры длина шага находится из уравнения

(4.12)

где - оценка минимального значения невязки Е;

2. для надежности длина шага ограничивается максимальным значением 0,5;

3. итерация, которая дает увеличение средней квадратической погрешности в кажущемся сопротивлении, аннулируется, и длина шага уменьшается в 3 раза. Этот шаг используется в последующих итерациях, пока средняя квадратическая погрешность снова не начинает расти.

Программа останавливается, если достигается одно из условий:

1. средняя квадратическая погрешность становится меньше заданной величины ;

2. продолжение программы ведет к длине шага меньше заданной величины (например 0,002);

3. число итераций превышает заданного числа (например 100).

В программе предусмотрена возможность закрепления значений параметров отдельных слоев разреза.

,

Выводы;

На лекции 24 были рассмотрены;

1. Схема решения обратной задачи электроразведки градиентным методом.

2. Переменные и константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Лекция 25.

План лекции:

Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа.

Постановка задачи.

Математическая модель задачи.