4. Численное решение прямой задачи с помощью линейных фильтров.

В начале мы преобразуем полученные уравнения для , вводя логарифмические переменные. Преимущество логарифмического масштаба перед линейным заключается в том, что кривые кажущегося сопротивления и трансформанты сопротивления становятся более регулярными, т.е периоды оссиляций функций не очень сильно изменяются вдоль кривых. Вводя независимые логарифмические переменные, надо учесть, чтоимеет физическую размерность обратного расстояния, и чтобы независимые переменные в функциях сопротивления и трансформанты сопротивления были сопоставимы по размерности. В связи с этим определяем переменныеx и y следующим образом:

Тогда для теоретической установки Шлюмберже из (2.12) имеем

, (3.1).

Для расчета значений кажущегося сопротивления применим метод линейных фильтров, разработанный Гошем. При линейной фильтрации мы определяем значения как линейную комбинацию дискретных значений (отсчетов )

Дискретизация ведется с постоянным шагом по оси абсцисс, коэффициенты линейной комбинации называются коэффициентами фильтра. Для нахождения коэффициентов фильтра используем следующую теорему Котельникова:

Если функция представлена ее дискретными значениями в точках с абсциссами, то при любой абсциссеy

, (3.2)

где - начало отчета на оси абсцисс.

В качестве примера, рассмотрим соотношения между кажущимся сопротивлением и трансформантой сопротивления в установке Шлюмберже. Подставим в уравнение (2.12) функцию из (3.2):

(3.3)

Это можно записать так

(3.4)

где -интегралы из уравнения (3.3) являются коэффициентами фильтра.

Введем обозначение и представим коэффициенты фильтра в виде:

, (3.5)

из этого уравнения видно, что коэффициент фильтра зависит только от , т.е. от расстояния по оси абсцисс от точки отсчета до точки, в которой определяется. Следовательно, эту функцию можно рассматривать как непрерывную функцию от; эту функцию будем называть- откликом фильтра. Функцияприприближается к нулю. Практически это означает, что в (3.4) достаточно просуммировать конечное число членов, т.е. фильтр может быть ограничен конечным числом коэффициентов (число коэффициентов будем называтьдлиной фильтра).

Расчет теоретических кривых состоит из двух этапов. На первом этапе по параметрам слоев вычисляются дискретные значения трансформанты сопротивления. Расчет ведется с помощью рекуррентных соотношений Пекериса (2.9).

Второй этап вычислений состоит в применении линейных фильтров, преобразующих дискретные значения кажущегося сопротивления. Эту операцию можно определить уравнением

, (3.6)

Здесь - абсцисса точки выходной функции (кажущегося сопротивления),- абсцисса первой точки входной функции (трансформанты сопротивления); если сдвиг между отсчетами входной и выходной функции отсутствует, то.

Выводы:

На лекции 20 мы исследовали:

1. Численное решение прямой задачи электроразведки с помощью линейных фильтров.

2. Алгоритм и блок-схема решения прямой задачи.

3. Переменные и константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Лекция 21.

План лекции:

Постановка обратной задачи для горизонтально-слоистой модели земли.

Понятие корректности задачи.

Регуляризация задачи по А.Н.Тихонову