7.6. Задания для лабораторной работы.

Составить программу и произвести расчет при следующих начальных данных распределения температуры и теплопроводных характеристиках грунта.

1. Температура воздуха изменяется по закону

.

Варианты значений θ_max и θ_min:

1. θmax = - 40^0, θmin = -50^0 2. θmax = - 43^0, θmin = -51^0 3. θmax = - 30^0, θmin = -38^0 4. θmax = - 20^0, θmin = -30^0 5. θmax = - 35^0, θmin = -45^0 6. θmax = - 24^0, θmin = -35^0

7. θmax = - 18^0, θmin = -25^0 8. θmax = - 13^0, θmin = -20^0 9. θmax = - 24^0, θmin = -33^0 10. θmax = - 28^0, θmin = -40^0 11. θmax = - 14^0, θmin = -25^0 12. θmax = - 34^0, θmin = -45^0

Глубина заложения трубопровода Н = 1,5 м; t_max =24 час, считаем, что начальное распределение температуры от трубопровода до поверхности изменяется по закону

Температура на поверхности трубопровода равен θ₁ = 45⁰.

Теплопроводные характеристики грунта приведены в таблице 1.

	ρ,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	340 1,8 – 1,9 1,9 – 1,95 2,6 – 2,8 2,3 - 3 2,2 – 2,4 2,3 –2,6 3,3 3-3,2 2-2,2 3,3-3,5 2,4-2,6	0,075 + 0,00021 · θ 0,72 + 0,0005 · θ 0,8 + 0,0006 · θ 4,0 - 0,0015 · θ 4,0 - 0,0017 · θ 1,45 - 0,0002 · θ 1,8 + 0,0016 · θ 1,2 + 0,00055 · θ 1,6 + 0,00045 · θ 4,5 - 0,0012 · θ 1,4 + 0,0025 · θ 4,7 - 0,0014 · θ	0,91 0,21 + 0,00055 · θ 0,2 + 0,00003 · θ 0,2 + 0,0002 · θ 0,43 + 0,0001 · θ 0,2 + 0,0003 · θ 0,19 + 0,0001 · θ 0,13 + 0,0003 · θ 0,12 + 0,0035 · θ 0,15 + 0,0031 · θ 0,23 + 0,0004 · θ 0,32 + 0,0005 · θ

Выводы:

На лекция 27 были рассмторены:

1. Метод прогонки для решения разностной схемы.

2. Алгоритм и блок-схема.

3. Переменные и константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Лекция 28.

План лекции:

Постановка прямой и обратной задачи для уравнения теплопроводности. Нахождение градиента функционала.

§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.

Пусть - коэффициент теплопроводности,

- температура в точке z в момент времени t.

Тогда процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением

В прямой задаче надо найти по известной функции.

Для единственности решения прямой задачи необходимо задать начальные условия

и по одному условию на каждой из границ, например, поток

Если данные прямой задачи (1)-(4) достаточно гладкие и , то решение прямой задачи существует и единственно.

Обратная задача. Пусть о решении прямой задачи (1)-(4) известна дополнительная информация

Требуется определить один из коэффициентов уравнения (1) (или какую-либо их комбинацию) из соотношений (1)-(5).

Численное решение обратной задачи (1)-(5) будем искать при , минимизируя целевой функционал

Зададим начальное приближение .

Приближение будем вычислять методом простой итерации

Здесь - достаточно малое число,- градиент функционала.

Обратная задача 1: найти коэффициент из соотношений:

Найдем приращение функционала (6):

Здесь .является решением следующей задачи

Выводы:

На лекции 28 были рассмотрены;

1. Постановка прямой и обратной задачи для уравнения теплопроводности.

2. Нахождение градиента функционала.

Лекция 29.

План лекции:

Решение сопряженной задачи.

Восстановление кусочно-постоянной среды в обратной задаче.

Рассмотрим сопряженную задачу:

Умножим обе части равенства (12) на функцию и проинтегрируем по области:

Проинтегрируем по частям выражение

Имеем

Тогда учитывая условия (13)-(15) и (17)-(19), получим, что

Последние два слагаемых в правой части равенства (21) имеют второй порядок малости. Тогда получаем следующий градиент функционала

Здесь - решение сопряженной задачи.

Восстановление кусочно-постоянной среды

Предположим, что искомая функция q(x) кусочно-постоянна

В этом случае градиент функционала J(q) записывается в виде:

Решение обратной задачи, т.е. вектор ищем методом простой итерации

Алгоритм метода

1. Пусть приближение известно.

2. Решаем прямую задачу

3. Решаем сопряженную задачу

5. Находим значение градиента функционала

7. Находим следующее приближение .

Выводы:

На лекции 29 были рассмотрены следующие пункты:

1. Решение сопряженной задачи.

2. Восстановление кусочно-постоянной среды в обратной задаче.

Лекция 30.

План лекции:

Численное решение обратной задачи для уравнения теплопроводности.

Алгоритм и блок-схема численной реализации.